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动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题。

最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

  示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]

输出：7

解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]

输出：12

思路：

1. 由于每次只能向下或者向右移动一步，所以要想到达[i,j]的网格，要么是从[i,j-1]向下走一步，要么是从[i-1,j]向右走一步，所以只需要先找到[i,j-1]和[i-1,j]路径和最小的那个然后加上[i,j]位置的值即可。
2. 我们建立一个二维矩阵dp[i][j]存储的是从左上角到其的最短路径和。那么dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i-1][j])+grid[i,j]。
3. 对于第一行的网格，只能从左往右走，dp[i][0] = dp[i−1][0]+grid[i][0],i>0。
4. 对于第一列的网格，只能从上往下走，dp[0]j] = dp[0][j−1]+grid[0][j],j>0。
5. 第一个网格dp[0][0] = grid[0][0]。

代码如下：

fun minPathSum(grid: Array<IntArray>): Int {
    if (grid.isEmpty() || grid[0].isEmpty()) {
        return 0
    }
    val dp = Array(grid.size) { IntArray(grid[0].size) }
    dp[0][0] = grid[0][0]
    for (i in 1 until grid.size) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
    }
    for (j in 1 until grid[0].size) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
    }
    for (i in 1 until grid.size) {
        for (j in 1 until grid[0].size) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j].coerceAtMost(dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
        }
    }
    return dp[grid.size - 1][grid[0].size - 1]
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(mn) 需要对整个网格遍历一次。

• 空间复杂度：O(mn) 创建了一个和网格大小一样的二维数组。