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今天我们来做一下leetcode上面的一道比较经典的题目 322. 零钱兑换
题意
先看题目，题目叙述比较简单，给了我们一个几种面额的硬币无限枚和一个总金额，让我们求使用这些硬币凑成总金额的最少硬币个数。
看到这里，如果是了解动态规划的同学可能会想到这道题会使用到，但是没有接触过的可能就很纳闷了。
思路
好了，废话不多说，直接开始分析。
既然这道题涉及到动态规划，那我们首先要想到的就是题目种隐藏的递推关系和状态转移的过程。
如果拿示例1来看，你可能本能的想到先拿最大的面额，然后最大的超过余额之后，在尝试使用小面额，当然这也是一种搜索方法，自顶向下也可以解决到这个题目。
我们也可以从问题规模入手，先尝试简答的情况，再进一步进行推算。 比如在示例1中 coins=[1,2,5] amount=11
- 1.如果需要凑成的总金额是 1，能使用的硬币有 1 ， 最小的个数当然是1
- 2.如果需要凑成的总金额是 2，能使用的硬币有 1 2，现在有两个选择，选择1还是选择2
- 如果我们使用1，这时最小的兑换次数应该等于 余额1的最小个数 + 选择硬币1的个数1，而由第一步可以知道1的最小兑换个数是1，所以我们得出如果现在使用1时最小的兑换个数是2.
- 同理，如果选择2，那么最小的兑换次数等于 余额0的兑换个数 + 选择硬币2的个数1，而余额如果是0，就不需要兑换了硬币，也就是兑换个数为0，所以，选择2时的最小兑换次数是1。那么，最终，我们在这两种选择方法中选择最小的一个作为答案，我们就得出了，凑成金额2的最小兑换次数是1
- 3.如果要凑金额3，能使用的硬币有 1 2 3，现在有三个选择，拿硬币1、硬币2还是硬币3
- 和2一样，三种情况分别讨论，如果选择1，剩余金额2，次数的最小兑换个数 = 剩余金额2的兑换个数 + 1，由上面2可以知道 金额2的兑换最小个数为1，所以就得到了此时的兑换个数 = 1 + 1 = 2
- 如果选择2，剩余金额1，次数的最小兑换个数 = 剩余金额1的兑换个数 + 1，由上面1可以知道 金额1的兑换最小个数为1，所以就得到了此时的兑换个数 = 1 + 1 = 2
- 如果选择3，剩余金额0，次数的最小兑换个数 = 剩余金额0的兑换个数 + 1，金额0不需要兑换，也就是兑换个数为0，所以就得到了此时的兑换个数 = 0 + 1 = 2
- 综上，三种情况取最小值，最终为min(2,2,1)=1
- 4.如果凑成金额4，分析过程与上面类似。我们持续这样的递推过程，分析当前金额的最小兑换次数时，都可以从之前计算出的前一个结果中，获取到数目，从而计算出更大金额的最小兑换个数，这样的过程也就是状态转移了，转移过程如下表所示。
| 硬币面额\兑换金额 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 |
| 2 | -- | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 |
| 5 | -- | -- | -- | -- | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 |
这个表格中的数字有什么含义呢？ 假设其中加粗的2，代表含义就是在我们从小到大凑金额的过程中，要凑金额4，当前如果拿了面值2的硬币的话，最小的兑换个数 = 2
表格代表我们的递推方向是 从左到右从上到下的，也就是我们从小金额开始凑起，每次按照硬币列表的顺序，一次拿到对应的硬币，然后返回拿到某个硬币之后最小的兑换次数，并保存下来当前的状态，便于后面计算时会使用到
分析完整个递推过程之后，就可以开始编写代码了，当然，也是按照三步进行
- 状态定义
dp[i]凑成金额i的最小兑换次数 - 状态初始化
dp[0]=0 金额0不需要兑换，也就是兑换个数是0 - 递推方程
dp[i] = min(dp[i- coin1] + dp[i-coins2] + ... + dp[i-coins(n-1)]) + 1
代码实现
结束语
如果有更好的分析思路，欢迎大家在评论区发表看法！⛄
