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整除的基本知识

最大公约数与最小公倍数

公约数 设两个正整数 $a_1,a_2$，如果 $d\mid a_1$ 且 $d\mid a_2$，那么 $d$ 就称为 $a_1$ 和 $a_2$ 的公约数。一般的，设 $k$ 个整数 $a_1,a_2,...,a_k$，如果 $d\mid a_1,d\mid a_2,...,d\mid a_k$，那么 $d$ 就称为 $a_1,a_2,...,a_k$ 的公约数。

最大公约数 设两个不全为 0 的正整数 $a_1,a_2$，它们的所有公约数中最大的称为 $a_1$ 和 $a_2$ 的最大公约数，记作 $(a_1,a_2)$。一般的，设不全为 0 的 $k$ 个整数 $a_1,a_2,...,a_k$，它们的所有公约数中最大的称为 $a_1,a_2,...,a_k$ 的最大公约数，记作 $(a_1,a_2,...,a_k)$。

最大公约数的性质

1. $(a_1,a_2)=(a_2,a_1)=(-a_1,a_2)=(|a_1|,|a_2|)$

   $(a_1,a_2,...,a_k)=(a_2,a_1,a_3,a_4,...,a_k)=(-a_1,a_2,...,a_k)=(|a_1|,|a_2|,...,|a_k|)$

2. 若 $a_1\mid a_j,j=2,3,...,k$ ，则 $(a_1,a_2)=(a_1,a_2,...,a_k)=|a_1|$
3. $\forall x\in N,(a_1,a_2)=(a_1,a_2,a_1x)$
4. $\forall x\in N,(a_1,a_2)=(a_1,a_2+a_1x)$
5. 若 $p$ 是素数，则

即约（互素） 若 $(a_1,a_2)=1$,则称 $a_1$ 和 $a_2$ 是即约的，或是互素的。一般地，若 $(a_1,a_2,...,a_k)=1$，则称 $a_1,a_2,...,a_k$ 是即约的，或是互素的。

$a_1x_1+a_2x_2+...+a_kx_k=1\Leftrightarrow (a_1,a_2,...,a_k)=1$

设正整数 $m|(a_!,a_2,...,a_k)$ ， 则 $m(a_1/m,a_2/m,...,a_k/m)=(a_1,a_2,...,a_k)$，特别地，$(\frac{a_1}{(a_1,a_2,...,a_k)},\frac{a_2}{(a_1,a_2,...,a_k)},...,\frac{a_k}{(a_1,a_2,...,a_k)})=1$

公倍数 设两个正整数 $a_1,a_2$，如果 $a_1\mid l$ 且 $a_2\mid l$，那么 $l$ 就称为 $a_1$ 和 $a_2$ 的公倍数。一般的，设 $k$ 个整数 $a_1,a_2,...,a_k$，如果 $a_1\mid l,a_2\mid l,...,a_k\mid l$，那么 $l$ 就称为 $a_1,a_2,...,a_k$ 的公倍数。

最小公倍数 设两个均不为 0 的正整数 $a_1,a_2$，它们的所有正的公倍数中最小的称为 $a_1$ 和 $a_2$ 的最小公倍数，记作 $[a_1,a_2]$。一般的，设均不为 0 的 $k$ 个整数 $a_1,a_2,...,a_k$，它们的所有正的公倍数中最小的称为 $a_1,a_2,...,a_k$ 的最小公倍数，记作 $[a_1,a_2,...,a_k]$。

最小公倍数的性质

1. $[a_1,a_2]=[a_2,a_1]=[-a_1,a_2]=[|a_1|,|a_2|]$

   $[a_1,a_2,...,a_k]=[a_2,a_1,a_3,a_4,,...,a_k]=[-a_1,a_2,...,a_k]=[|a_1|,|a_2|,...,|a_k|]$

2. 若 $a_2\mid a_1$ ，则 $[a_1,a_2]=|a_1|$。

   若 $a_j\mid a_1,j=2,3,...,k$ ，则 $[a_1,a_2,...,a_k]=|a_1|$

3. $\forall d\mid a_1,[a_1,a_2]=[a_1,a_2,d]$

   $\forall d\mid a_1,[a_1,a_2,...,a_k]=[a_1,a_2,...,a_k,d]$

4. 设正整数 $m$ ， 则 $[ma_1,ma_2,...,ma_k]=m[a_1,a_2,...,a_k]$