复杂度分析
一、为什么只讲复杂度分析
算法：算法就是操作数据的一组方法
1.1 造成APP卡顿的原因
总的来说，造成APP卡顿的原因只有两种：
- 资源类性能
- 交互类性能 --- 今天
其中资源类性能的构成部分为：
- 磁盘
- CPU
- 内存
- 网络(与环境密切相关)
- 耗电
当然，今天我要介绍的就是交互类性能，资源类性能更多的是体现在我们使用代码对APP的操作、对手机的不规范操作上。
交互类性能：对事件的处理时间等方面，其实也是变相的一种耗费CPU、内存的程度决定的。
CPU、内存处理时间等都与代码的书写相关
1.2 复杂度分析
我们都知道，数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题, 即如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。 平时学习算法时所学的算法大多针对于特定的场景，感觉在开发中使用的不是很多，从算法的定义来看：“算法就是操作数据的一组方法”，那我们平时写的代码都是与其有关的。
1.2.1 执行效率是算法一个非常重要的考量标准
如何来衡量你编写的算法代码的执行效率
- 时间复杂度
- 空间复杂度
1.2.2 为什么需要复杂度分析
一个点击事件，从一堆数据中取出一个，给予他的一个变量true或者false，那这个点击事件的完成取决于这堆数据的大小和找到目标数据的速度， 每一个类文件中的一行行的代码，都应该知道其执行多长时间、占用多大内存等
- 事后统计法
把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小
测试结果非常依赖测试环境 测试结果受数据规模的影响很大
所以需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。在开发中就在写代码的时候自己为自己所写的代码进行估算，以此来提高代码健壮性。
目的：
理解代码时间复杂度，提升工作中普通代码算法的健壮性以及性能
二、时间复杂度
算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间
什么是时间复杂度
Exmple: 1
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
此方法在执行一个简单的计算，但是从CPU的角度来看，每一行代码所执行的都是：读数据 - 运算 - 写数据， 其中每行代码对应的CPU执行个数、执行时间都不一样，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time。
所以这样代码的总执行时间是多少呢？
第2行、3行分别执行1个unit_time，4、5都运行了n遍，所以需要的总时间为2n * unit_time, 所以总时间为
(2n + 2) * unit_time
从这个函数中可以看出,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。(即: 每行代码的执行次数越多,所有代码的执行时间就越长. 每行代码的执行次数越少,所有代码的执行时间就越短.)
Exmple: 2
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum = sum + i * j;
}
}
}
依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢？
int cal(int n) {
int sum = 0; // 1unit_time
int i = 1; // 1unit_time
int j = 1; // 1unit_time
for (; i <= n; ++i) { // n * unit_time
j = 1; // n * unit_time
for (; j <= n; ++j) { //n^2 * unit_time
sum = sum + i * j; //n^2 * unit_time
}
}
}
所以T(n) = (2n^2 + 2n + 3) * unit_time
所以：Exmple: 1 T(n) = O(2n+2), Exmple: 2 T(n) = O(2n^ + 2n + 3), 这就是大 O 时间复杂度表示法
其中：大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。
那有什么用呢？
假设，当 n 很大时，可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)
三、时间复杂度分析
接下来介绍几种常见的时间复杂度分析的方法
3.1 只关注循环次数最多的一行代码
大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
拿Exmple: 1来讲，第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)
3.2 加法法则：
总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
int cal(int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; ++p) { //100次 与n 的规模无关
sum_1 = sum_1 + p;
}
int sum_2 = 0;
int q = 1;
for (; q < n; ++q) { //O(n)
sum_2 = sum_2 + q;
}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) { //O(n^2)
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
这段代码分为3部分，分别是求 sum_1、sum_2、sum_3，我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度
整段代码的时间复杂度就为 O(n2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度，将这个规律抽象成公式就是：
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))
3.3 乘法法则
嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
可以同上加法法则抽象其公式
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).
也就是说，假设 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，则 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环
int cal(int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
ret = ret + f(i); //假设 f()只是一个普通加法函数，那4、5T(n) = O(n)
}
}
int f(int n) { //但是f() 不是一个普通函数
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) { // T2(n) = O(n)
sum = sum + i;
}
return sum;
}
所以整个时间复杂度T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n^2)
四、几种常见的时间复杂度
- 多项式量级(重点)
- 非多项式量级
非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)。（把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题。 - 这是一个很牛逼的问题）
当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。
4.1 多项式量级(重点)
4.1.1 O(1)
int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;
只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。
4.1.2 O(logn)、O(nlogn)
> 对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}
根据讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。
那我们直接一眼看出来就是循环体执行最多，我们计算出循环体的执行次数就可以计算该算法的时间复杂度了
所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。（指数与对数）
假设以上代码变为：
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 3;
}
O(log3n)
实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)
为什么呢？
对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一个常量, 基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)
根据乘法法则，如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
4.1.2 O(m+n)、O(m*n)
这个时间复杂度是由两个数组成的，两个数据的规模来决定。
int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
m 和 n 是表示两个数据规模,我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。
// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
int i = 0;
int pos = -1;
for (; i < n; ++i) {
if (array[i] == x) pos = i;
}
return pos;
}
在一个无序的数组（array）中，查找变量 x 出现的位置。如果没有找到，就返回 -1，这种代码在开发中是非常常见的。
根据上面的分析，分析此代码：时间复杂度为： O(n) ,其中就是数据的大小
大家应该能看出问题：
// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
int i = 0;
int pos = -1;
for (; i < n; ++i) {
if (array[i] == x) {
pos = i;
break;
}
}
return pos;
}
这个时候，问题就来了。我们优化完之后，这段代码的时间复杂度还是 O(n) 吗?
- 如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是 O(1)。
- 但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。
所以，不同的情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的。
五、最好时间复杂度
最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度
六、最坏时间复杂度
最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度
七、平均时间复杂度
最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度，我们需要引入另一个概念：平均情况时间复杂度，后面我简称为平均时间复杂度。
// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
int i = 0;
int pos = -1;
for (; i < n; ++i) {
if (array[i] == x) {
pos = i;
break;
}
}
return pos;
}
要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：
简化之后，平均时间复杂度就是O(n)
这个结论是正确的，但是我们还需要考虑一个问题，上述出现的n+1种情况出现的概率是不一样的，
要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦
因为当x在n个数中时，情况只有n中，不在n中时，是n+1种，
为了方便理解，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。
问题：没有将各种情况发生的概率考虑进去
这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。
引入概率之后，前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。
只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。
八、均摊时间复杂度
平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到，而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。
// array表示一个长度为n的数组
// 代码中的array.length就等于n
int[] array = new int[n];
int count = 0;
void insert(int val) {
if (count == array.length) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
sum = sum + array[i];
}
array[0] = sum;
count = 1;
}
array[count] = val;
++count;
}
这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。
最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。那平均时间复杂度是 O(1)。
还是可以通过前面讲的概率论的方法来分析。
假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：
find() 函数在极端情况下，复杂度才为 O(1)。但 insert() 在大部分情况下，时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下，复杂度才比较高，为 O(n)。这是 insert()第一个区别于 find() 的地方。
对于 insert() 函数来说，O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个 O(n) 插入之后，紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作，
所以，针对这样一种特殊场景的复杂度分析，我们并不需要像之前讲平均复杂度分析方法那样，找出所有的输入情况及相应的发生概率，然后再计算加权平均值
摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度
我们还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路
(n+n-1)/n=2,O(1)
九、空间复杂度分析
时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了。
