【660-线性代数】补充爪型行列式 方阵的行列式 & 行列式练习

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

279范德蒙行列式

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\ 9 & 8 & 7 & 6\end{vmatrix}=()$

 

如果确定了题目使用范德蒙行列式公式，一定不要忘记构造全$1$的行

 

 

此处$10\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\1 & 1 & 1 & 1\end{vmatrix}=-10 \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3}\end{vmatrix}$，并不是$1,4$行直接互换，而是逐行互换到第$1$行

 

281爪型行列式

一般的，我们要求爪型行列式形如

$\begin{vmatrix}x_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ a_{1} & x_{2} & a_{3} & a_{4} \\ a_{1} & a_{2} & x_{3} & a_{4} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & x_{4}\end{vmatrix}$

然后化简

$\begin{aligned} D&=\begin{vmatrix}x_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\a_{1}-x_{1} & x_{2}-a_{2} & 0 & 0 \\ a_{1}-x_{1} & 0 & x_{3}-a_{3} & 0 \\ a_{1}-x_{1} & 0 & 0 & x_{4}-a_{1}\end{vmatrix}\\&=\underbrace{\prod\limits_{i=1}^{4}(x_{i}-a_{i})}_{各列分别提出因式x_{i}-a_{i}}\begin{vmatrix}\frac{x_{1}}{x_{1}-a_{1}} & \frac{a_{2}}{x_{2}-a_{2}} & \frac{a_{3}}{x_{3}-a_{3}} & \frac{a_{4}}{x_{4}-a_{4}} \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1\end{vmatrix}\\&=\prod\limits_{i=1}^{4}(x_{i}-a_{i})\begin{vmatrix}1+\sum\limits_{i=1}^{4}\frac{x_{i}}{x_{i}-a_{i}} & \frac{a_{2}}{x_{2}-a_{2}} & \frac{a_{3}}{x_{3}-a_{3}} & \frac{a_{4}}{x_{4}-a_{4}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{vmatrix}\\&=\prod\limits_{i=1}^{4}(x_{i}-a_{i})(1+\sum\limits_{i=1}^{4}\frac{x_{i}}{x_{i}-a_{i}})\end{aligned}$

这是完全公式化操作的结果

观察下面的行列式

$\begin{vmatrix}x_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\a_{1}-x_{1} & x_{2}-a_{2} & 0 & 0 \\ a_{1}-x_{1} & 0 & x_{3}-a_{3} & 0 \\ a_{1}-x_{1} & 0 & 0 & x_{4}-a_{1}\end{vmatrix}$

如果没有未知数，可以不选择模板套路

考虑将后面行的$\begin{aligned} \frac{a_{i}}{x_{i}-a_{i}}\end{aligned}$倍减到首行，使行列式变为下三角形式

同样可以考虑将后面列$\begin{aligned} \frac{a_{1}-x_{1}}{x_{i}-a_{i}}\end{aligned}$倍减到首列，使行列式变为上三角形式

这里讨论将后面列$\begin{aligned} \frac{a_{1}-x_{1}}{x_{i}-a_{i}}\end{aligned}$倍减到首列的情况。由于没有未知数，假设首列不符合爪型行列式的要求，即

$\begin{vmatrix}x_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\n_{2} & x_{2}-a_{2} & 0 & 0 \\ n_{3} & 0 & x_{3}-a_{3} & 0 \\ n_{4} & 0 & 0 & x_{4}-a_{1}\end{vmatrix}$

依旧可以将后面列$\begin{aligned} \frac{n_{i}}{x_{i}-a_{i}}\end{aligned}$倍减到首列，依旧能使行列式变为上三角形式

因此，当没有未知数的时候，想要用爪型行列式计算方法，只需要满足

$\begin{vmatrix}x_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ n_{2} & x_{2} & a_{3} & a_{4} \\ n_{3} & a_{2} & x_{3} & a_{4} \\ n_{4} & a_{2} & a_{3} & x_{4}\end{vmatrix}$

其中$n_{i}$为任意数，且化简为

$\begin{vmatrix}x_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\n_{2} & x_{2}-a_{2} & 0 & 0 \\ n_{3} & 0 & x_{3}-a_{3} & 0 \\ n_{4} & 0 & 0 & x_{4}-a_{1}\end{vmatrix}$

可以选择逐行减第一行，也可以选择逐列减第一列

以上只是对列相同的爪型行列式讨论，行相同的爪型行列式同理可用

 

$\begin{vmatrix}5 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 5 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 5\end{vmatrix}=()$

 

行列式全为数字，第二、三、四列元素一样是爪型行列式，符合上面的定义。把第一行的$-1$倍分别加到其他各行，

 

对于数字型行列式的计算思路及方法有

• 做$0$后展开

• 爪型行列式

• 三角行列式

• 范德蒙行列式

• 拉普拉斯公式

 

282行列式之和

设四阶方阵$A=(\alpha,\gamma_{2},\gamma_{3},\gamma_{4}),B=(\beta,\gamma_{2},\gamma_{3},\gamma_{4})$，其中$\alpha,\beta,\gamma_{2},\gamma_{3},\gamma_{4}$，均为四维列向量，且$|A|=5,|B|=- \frac{1}{2}$，则$|A+2B|=()$

 

因为

 

注意上式是矩阵的和的行列式，而不是行列式的和的行列式，如果是后者，应该写做$||A|+|2B||$

 

故有

 

注意

• $|AB|=|A|\cdot |B|$，但$|A+B|\ne |A|+|B|$

• $|\alpha+\beta,\gamma,\delta |=|\alpha,\gamma,\delta |+|\beta,\gamma,\delta |$，但$(\alpha+\beta,\gamma,\delta )\ne (\alpha,\gamma,\delta )+(\beta,\gamma,\delta)$

第二条能说明，行列式对单行是线性的，因此第一条一定不成立；矩阵整体是线性的，因此有$(A+B)=(A)+(B)$

 

283方阵的行列式

设$A,B$均为$n$阶矩阵，且$|A|=2,|B|=-3$，则$|-A^{T}B^{-1}|=()$

 

 

对于$n$阶矩阵，$|kA|=k^{n}|A|$，这里的$k$不是行列式的$k$倍，而是每个元素的$k$倍，即不是$k|A|$或$k \cdot \det(A)$，而是$|kA|$或$\det(kA)$

 

284方阵的行列式

$|A^{*}|=|A|^{n-1}$

这里的$n$是指行列式的阶数$n$