【概率论基础进阶】数理统计的基本概念-常用统计分布

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$\chi^{2}$分布

定义：设随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立且均服从标准正态分布$N(0,1)$，则称随机变量

服从自由度为$n$的$\chi^{2}$分布，记作$\chi^{2}\sim \chi^{2}(n)$

 

$n$个相互独立标准正态随机变量的平方和$\chi^{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}$称为$\chi^{2}(n)$的典型模式

 

性质

设$\chi^{2}\sim \chi^{2}(n)$，对给定$\alpha(0<\alpha<1)$，称满足条件

的点$\chi^{2}_{\alpha}(n)$为$\chi^{2}(n)$分布的上$\alpha$分位点，如下图所示

 

 

 

对不同的$\alpha$和$n$，$\chi_{\alpha}^{2}$通常通过查表求得

 

设$\chi^{2}\sim \chi^{2}(n)$，则$E(\chi^{2})=n,D(\chi^{2})=2n$

设$\chi_{1}^{2}\sim \chi^{2}(n_{1}),\chi_{2}^{2}\sim \chi^{2}(n_{2})$，且$\chi_{1}^{2}$和$\chi_{2}^{2}$相互独立，则$\chi_{1}^{2}+\chi_{2}^{2}\sim \chi^{2}(n_{1}+n_{2})$

 

例1：已知$\chi^{2}\sim \chi^{2}(n)$，则$E(\chi^{4})=()$

 

 

$t$分布

定义：设随机变量$X$和$Y$相互独立，且$X \sim N(0,1),Y \sim \chi^{2}(n)$，则称随机变量服从自由度为$n$的$t$分布，记作$T \sim t(n)$

 

满足$X,Y$独立，$X \sim N(0,1),Y \sim \chi^{2}(n)$三条件的$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$称为$t(n)$的典型模式

 

性质

$t$分布的概率密度$f(x)$是偶函数，即

且当$n$充分大时，$t(n)$分布近似于$N(0,1)$分布

 

 

 

设$T \sim t(n)$，对给定的$\alpha(0<\alpha<1)$，称满足条件

的点$t_{\alpha}(n)$为$t(n)$分布的上$\alpha$分位点

 

由于$t(n)$分布的概率密度为偶函数，可知$t$分布的双侧$\alpha$分位点$t_{\alpha/2}(n)$，有

 

如图，由对称性可知

 

$F$分布

定义：设随机变量$X$和$Y$相互独立，且$X \sim \chi^{2}(n_{1}),Y \sim \chi^{2}(n_{2})$，则称随机变量

服从自由度为$(n_{1},n_{2})$的$F$分布，记作$F \sim F(n_{1},n_{2})$，其中$n_{1}$和$n_{2}$分别称为第一自由度和第二自由度

 

满足$X,Y$独立，$X \sim \chi^{2}(n_{1}),Y \sim \chi^{2}(n_{2})$三条件的$\begin{aligned} F=\frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\end{aligned}$称为$F(n_{1},n_{2})$的典型模式

 

性质

设$F \sim F(n_{1},n_{2})$，对给定的$\alpha(0<\alpha<1)$，称满足条件

的点$F_\alpha(n_{1},n_{2})$为$F(n_{1},n_{2})$分布的上$\alpha$分位点

 

如果$F \sim F(n_{1},n_{2})$，则$\begin{aligned} \frac{1}{F}\sim F(n_{2},n_{1})\end{aligned}$，且有

证明：

有$\begin{aligned} P\left\{ \frac{1}{F}>  \frac{1}{F_{1-\alpha}(n_{1},n_{2})}\right\}=\alpha\end{aligned}$，又根据$F$分布的性质，有

因此$\begin{aligned} \frac{1}{F_{1-\alpha}(n_{1},n_{2})}=F_{\alpha}(n_{2},n_{1})\end{aligned}$

 

正态总体的抽验分布

一个正态总体

$X \sim N(\mu,\sigma^{2}),X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体的样本，样本均值为$\bar{X}$，样本方差为$S^{2}$，则有：

• $\begin{aligned} \bar{X}\sim N(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}),U=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\end{aligned}$

• $\bar{X}$与$S^{2}$相互独立，且$\begin{aligned} \chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n-1)\end{aligned}$

• $\begin{aligned} T=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\Big/\sqrt{\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}(n-1)}}=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \chi^{2}=\frac{1}{\sigma^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}\sim \chi^{2}(n)\end{aligned}$

 

两个正态总体

$X \sim N(\mu,\sigma^{2}_{1})$和$Y \sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}),X_{1},X_{2},\cdots,X_{n_{1}}$和$Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{n_{2}}$是分别来自总体 $X$和$Y$的样本且相互独立，样本均值分别为$\bar{X}$和$\bar{Y}$，样本方差分别为$S_{1}^{2}$和$S_{2}^{2}$，则有

• $\begin{aligned} \bar{X}-\bar{Y}\sim N\left(\mu_{1}-\mu_{2}, \frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+ \frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}\right),U=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+ \frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}\sim N(0,1)\end{aligned}$

• 如果$\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}$，则

         $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-(\mu_{1}-\mu_{2})}{S_{w}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+ \frac{1}{n_{2}}}}\sim t(n_{1}+n_{2}-2)$

         其中$\begin{aligned} S_{w}^{2}=\frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\end{aligned}$

• $\begin{aligned} F=\frac{S_{1}^{2}/\sigma_{1}^{2}}{S_{2}^{2}/\sigma_{2}^{2}}\sim F(n_{1}-1,n_{2}-1)\end{aligned}$

 

若$X$与$Y$相互独立$X \sim \chi^{2}(n_{1}),Y \sim \chi^{2}(n_{2})$，则

$F=\frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})$

称为自由度为$n_{1},n_{2}$的$F$分布

 

例1：设总体$X$的概率密度$\begin{aligned} f(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|},-\infty<x<+\infty,X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\end{aligned}$为总体$X$的简单随机样本，其样本方差为$S^{2}$，则$E(S^{2})=()$

 

因此$E(S^{2})=2$

 

例2：$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$为来自总体$N(1,\sigma^{2})(\sigma>0)$的简单随机样本，证明统计量$\begin{aligned} \frac{X_{1}-X_{2}}{|X_{3}+X_{4}-2|}\sim t(1)\end{aligned}$

 

$X_{1}-X_{2}$与$X_{3}+X_{4}-2$相互独立，$\begin{aligned} \frac{X_{1}-X_{2}}{\sqrt{2}\sigma}\end{aligned}$与$\begin{aligned} \left(\frac{X_{3}+X_{4}-2}{\sqrt{2}\sigma}\right)^{2}\end{aligned}$也相互独立，综上所述，记

其中$X \sim N(0,1),Y \sim \chi^{2}(1)$，且$X$与$Y$相互独立，因此$\begin{aligned} \frac{X_{1}-X_{2}}{|X_{3}+X_{4}-2|}\sim t(1)\end{aligned}$

 

例3：设总体$X$和$Y$均服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2}),\sigma>0 ,X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$和$Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{n}$分别是来自总体$X$和$Y$的两个相互独立的简单随机样本，它们的样本方差分别为$S^{2}_{X}$和$S_{Y}^{2}$，则统计量$\begin{aligned} T=\frac{n-1}{\sigma^{2}}(S_{X}^{2}+S_{Y}^{2})\end{aligned}$服从的分布及参数为（）

 

又因为它们相互独立，故

 

例9：设随机变量$X \sim t(n),Y \sim F(1,n)$，给定$\alpha(0<\alpha<0.5)$，常数$c$满足$P \left\{X>c\right\}=a$，则$P \left\{Y>c^{2}\right\}=()$

 

因为$t$分布的密度函数是偶函数，所以对给定的$\alpha$，常数$c$满足$P \left\{X>c\right\}=P \left\{X<-c\right\}=a$。又有

因此$X^{2}\sim F(1,n)$，因此有