【概率论基础进阶】随机变量及其分布-常用分布

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

一、$0-1$分布

定义：如果随机变量$X$有分布律

 

$X$	$0$	$1$
$P$	$1-p$	$p$

$0<p<1$，则称$X$服从参数为$p$的$0-1$分布，或称$X$具有$0-1$分布

 

二、二项分布

定义：如果随机变量$X$有分布律

其中$0<p<1,q=1-p$，则称$X$服从参数为$n,p$的二项分布，记作$X \sim B(n,p)$

 

在$n$重伯努利试验中，若每次实验成功率为$p(0<p<1)$，则在$n$次独立重复试验中成功的总次数$X$服从二项分布

 

当$n=1$时，不难验证二项分布就退化成$0-1$分布。所以$0-1$分布也可以记为$B(1,p)$

 

三、几何分布

定义：如果随机变量$X$有分布律

其中$0<p<1,q=1-p$，则称$X$服从参数为$p$的几何分布，或称$X$具有几何分布

 

在独立地重复做一系列伯努利试验中，若每次试验成功率为$p(0<p<1)$，则在第$k$次试验时才首次试验成功的概率服从几何分布

 

四、超几何分布

定义：如果随机变量$X$有分布律

其中$l_{1}=\max(0,n-N+M),l_{2}=\min(M,n)$。则称随机变量$X$服从参数为$n,N,M$的超几何分布

 

如果$N$件产品中含有$M$件次品，从中任意一次取出$n$件（或从中一件接一件不放回地取出$n$件），令$X=抽取的n件产品中的次品件数$，则$X$服从参数为$n,N,M$的超几何分布

 

如果$N$件产品中含有$M$件次品，从中一件接一件有放回的取$n$次（即每次取出记录后就放回，再取下一个），则$X$服从$B(n, \frac{M}{N})$

 

五、泊松分布

如果随机变量$X$的分布律为

其中$\lambda>0$为常数，则称随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记作$X \sim P(\lambda)$

 

对于泊松分布有

即为$e^{x}$的幂级数展开

 

例1：设一文本各页的印刷错误$X$服从泊松分布。已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的$4$页中无印刷错误的概率$p=()$

 

注意理解题意！

 

解得$\lambda=2$，则某也没有印刷错误的概率为$P \left\{X=0\right\}= e^{-2}$。可以理解各页印刷错误相互独立

 

不独立就不能往下算了

 

六、均匀分布

定义：如果连续型随机变量$X$的概率密度为

则称$X$在区间$[a,b]$上服从均匀分布，记作$X \sim U[a,b]$

 

如果概率密度为

则称$X$在区间$(a,b)$上服从均匀分布，记作$X \sim U(a,b)$

 

无论$X\sim U[a,b]$或$X\sim U(a,b)$，它们的分布函数均为

 

性质

设$X \sim U[a,b]$，则对$a \leq c <d \leq b$有

即随机变量$X$落入区间$[c,d]$的概率等于该区间长度与$[a,b]$长度之比

 

七、指数分布

定义：如果连续型随机变量$X$的概率密度为

则称$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，记作$X \sim E(\lambda)$

 

设$X \sim E(\lambda)$，则$X$的分布函数为

 

性质

设$X\sim E(\lambda)$，则有

• $P \left\{X>t\right\}=\int_{t}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda t}dt=e^{-\lambda t},t>0$

• $P \left\{X>t+s|X>s\right\}=\frac{P \left\{X>t+s\right\}}{P \left\{X>s\right\}}=\frac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P \left\{X>t\right\},t,s>0$

         此性质称为指数分布具有无记忆性

 

八、正态分布

定义：如果随机变量$X$的概率密度为

其中$\mu ,\sigma$为常数且$\sigma>0$，则称$X$服从参数为$\mu ,\sigma$的正态分布，记作$X \sim N(\mu ,\sigma^{2})$

当$\mu =0,\sigma^{2}=1$时，即$X \sim N(0,1)$，称$X$服从标准正态分布，此时用$\phi (x)$表示$X$的概率密度，即

 

标准化$X \sim N(\mu ,\sigma^{2})$，则$\frac{x-\mu }{\sigma}\sim N(0,1)$

 

$X \sim N(\mu ,\sigma^{2})$，其分布函数为

当$X \sim N(0,1)$时，分布函数用$\Phi (x)$表示

 

性质

设$X \sim N(\mu ,\sigma^{2})$，其分布函数为$F(x)$，则

• $\begin{aligned} F(x)=P \left\{X \leq x\right\}=P \left\{\frac{X-\mu }{\sigma}\leq \frac{x-\mu }{\sigma}\right\}=\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma})\end{aligned}$

• $\begin{aligned} P \left\{a<X \leq b\right\}=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma}\right)- \Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma}\right),a<b\end{aligned}$

• 概率密度$f(x)$关于$x=\mu$对称，$\phi (x)$是偶函数

• $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$，也就有$\Phi (0)=\frac{1}{2}$

• 当$X \sim N(0,1)$且$a>0$时，$\begin{aligned} P \left\{|X| \leq a\right\}=2 \Phi (a)-1\end{aligned}$

 

例2：设随机变量$X_{1}\sim N(\mu_{1},\sigma^{2}_{1}),X_{2}\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，且$P \left\{|X_{1}-\mu_{1}|<1\right\}>P \left\{|X_{2}-\mu_{2}|<1\right\}$，证明$\sigma_{1}<\sigma_{2}$

 

一维正态题做题步骤：查表，标准化，对称性，定参数或系数

 

由题意，有