【线性代数基础进阶】特征值和特征向量-补充+练习

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

特征值、特征向量

定义：设$A=(a_{ij})$为一个$n$阶矩阵，则行列式

称为矩阵$A$的特征多项式，$|\lambda E-A|=0$称为$A$的特征方程

 

当特征值是二重根时，有可能只有一个线性无关的特征向量，也有可能有两个线性无关的特征向量，这一点在后面的相似对角化问题上是重要的

 

再解释一下之前的例题

例：$A$为$3$阶矩阵，特征值是$-1,0,4$，如果$A+B=2E$，则$B$的特征值为（）

 

由于$A$的特征值是$-1,0,4$，则有

因此对于$B$，有特征方程

 

注意$|\lambda E-A|=0$和$|A-\lambda E|=0$的解是相同的，只是由定义$A \alpha=\lambda \alpha$移项方向不同导致的

 

都看做$A$的特征方程，则有

因此$\lambda_{2}=3,2,-2$，即$B$的特征值为$3,2,-2$

 

如果一个矩阵可逆，则特征值全都不为$0$，若有一个为$0$则矩阵不可逆

依据：$|A|=\prod \lambda_{i}$

 

例：已知三阶矩阵$A$的特征值是$1,-1,2$，证明$A+E$不可逆，$A+2E$可逆

 

$A$的特征值是$1,-1,-2$，可知$A+E$的特征值为$2,0,3$，则有

$A+E$不可逆。同理$A+2E$的特征值为$3,1,4$，则有

$A+2E$可逆

 

此结论未经过验证，请不要随意使用

已知$A$的特征值为$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$，有关系$B=A+\alpha E$，则$B$的特征值为$\lambda_{1}+\alpha,\lambda_{2}+\alpha,\cdots,\lambda_{n}+\alpha$

证明：

对$A$，有

$$|\lambda_{k} E-A|=0的解为\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$$

对$B$，有

$$\begin{aligned} |\lambda_{q} E-B|&=|\lambda_{q} E-A-\alpha E|\\ &=|(\lambda_{q}-\alpha)E-A|=0 \end{aligned}$$

都看做$A$的特征方程，则有$\lambda_{k}=(\lambda_{q}-\alpha)$，因此$B$的特征值为$\lambda_{1}-\alpha,\lambda_{2}-\alpha,\cdots,\lambda_{n}-\alpha$

其实对于$B=\beta A+\alpha E,\beta \ne 0$也能做，只需要在最后提出$\beta A$前面的系数，但注意$\beta$本身是矩阵$A$的系数，放到矩阵里面是每一行都要乘$\beta$，整个特征向量提出的不是$\beta$，而是$\beta^{n}$，其中$n$为$A$的阶数

 

相似矩阵

证明：若$A \sim B$，有

• $A^{n}\sim B^{n}$

         因为$A \sim B$，有$P^{-1}AP=B$，于是

         $$

         B^{2}=(P^{-1}AP)^{2}=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)=P^{-1}A^{2}P

         $$

• $A+kE\sim B+kE$

         因为$A \sim B$，有$P^{-1}AP=B$，于是

         $$

         P^{-1}(A+kE)P=P^{-1}AP+P^{-1}(kE)P=B+kE

         $$

• 且条件$A$可逆，$A^{-1}\sim B^{-1}$

  因为$A \sim B$，有$|A|=|B|$。由$A$可逆知$B \ne 0$，即$B$必可逆

  $$B^{-1}=(P^{-1}AP)^{-1}=P^{-1}A^{-1}(P^{-1})^{-1}=P^{-1}A^{-1}P$$

 

对定理的补充

 

定理：$A\sim \Lambda\Leftrightarrow \lambda$是$A$的$k$重特征值，则$\lambda$有$k$个线性无关的特征向量

$\Leftrightarrow$秩$r(\lambda_{i}E-A)=n-n_{i}$，$\lambda_{i}$为$n_{i}$重特征值

 

注意是$P$中$\alpha$与$\Lambda$中的$\lambda$相会对应，而不是$P^{-1}$

 

施密特正交化

一般地，用数学归纳法可以证明

设$\alpha_1,\cdots,\alpha_{m}(m\leq n)$是$R^{n}$中的一个线性无关的向量组，若令$\begin{gathered}\beta_1=\alpha_1\\\beta_2=\alpha_{2}-\frac{\langle\alpha_{2},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_1\\\beta_{m}=\alpha_{m}-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_{1}-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{2}\rangle}{\langle\beta_{2},\beta_{2}\rangle}\beta_{2}-\cdots-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{m-1}\rangle}{\langle\beta_{m-1},\beta_{m-1}\rangle}\beta_{m-1}\end{gathered}$

则$\beta_{1},\cdots,\beta_{m}$就是一个正交向量组，若再令$e_{i}=\frac{\beta_i}{||\beta_{i}||}(i=1,2,\cdots,m)$

就得到一个标准的正交向量组$e_{1},\cdots,e_{m}$，且该向量组与$\alpha_1,\cdots,\alpha_m$等价

 

例：已知$A$是三阶实对称矩阵，特征值是$3,0,0$，对应于$\lambda=3$的特征向量是$\alpha_{1}=(1,1,1)^{T}$

• 求矩阵$A$关于$\lambda=0$的特征向量

• 求矩阵$A$

• 求正交矩阵$Q$使$Q^{-1}AQ=\Lambda$

 

实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，设$\lambda=0$的特征向量$\alpha=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}$，则有

解得$\alpha_{2}=(-1,1,0)^{T},\alpha_{3}=(-1,0,1)^{T}$，所以矩阵$A$关于$\lambda=0$的特征向量为$k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3},k_{2},k_{3}不全为0$

 

由$A \alpha=\lambda \alpha,A \alpha_{1}=3\alpha_{1},A \alpha_{2}=0,A \alpha_{3}=0$，有

 

对$\lambda=0$，$\alpha_{2},\alpha_{3}$不正交，则

 

这里只是为了求出一个向量，所以矩阵的系数在后面都可以省略

 

单位化

令

有

 

例：已知$A$是三阶实对称矩阵，秩为$2$，$\lambda=6$是$A$的二重特征值，对应的特征向量是$\alpha_{1}=(1,1,0)^{T}$和$\alpha_{2}=(2,1,1)^{T}$，求$A$的另一特征值的对应的特征向量

 

该题可以被分作两道题

已知$A$是三阶实对称矩阵，秩为$2$，$\lambda=6$是$A$的二重特征值，求$A$的另一特征值

已知$A$是三阶实对称矩阵，$\lambda=6$是$A$的二重特征值，对应的特征向量是$\alpha_{1}=(1,1,0)^{T}$和$\alpha_{2}=(2,1,1)^{T}$，求$A$的另一特征向量

 

第一题

由于$A$是三阶实对称矩阵，秩为$2$，有

 

矩阵不满秩即行列式为$0$，行列式为$0$，矩阵一定有特征值$0$

 

因此另一特征值为$0$

 

第二题

令该特征向量为$(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}$，有

对应矩阵

因此，特征向量为$(-1,1,1)^{T}$

 

同一个$\lambda$对应的系数矩阵，若该矩阵有$n$个自由变量，则该特征值对应有$n$个特征向量