672. 灯泡开关 Ⅱ : 分情况讨论

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题目描述

这是 LeetCode 上的 672. 灯泡开关 Ⅱ ，难度为 中等。

Tag : 「脑筋急转弯」、「找规律」

房间中有 n 只已经打开的灯泡，编号从 1 到 n 。墙上挂着 4 个开关 。

这 4 个开关各自都具有不同的功能，其中：

• 开关 1 ：反转当前所有灯的状态（即开变为关，关变为开）
• 开关 2 ：反转编号为偶数的灯的状态（即 2, 4, ...）
• 开关 3 ：反转编号为奇数的灯的状态（即 1, 3, ...）
• 开关 4 ：反转编号为 j = 3k + 1 的灯的状态，其中 k = 0, 1, 2, ...（即 1, 4, 7, 10, ...）

你必须 恰好 按压开关 presses 次。每次按压，你都需要从 4 个开关中选出一个来执行按压操作。

给你两个整数 n 和 presses，执行完所有按压之后，返回 不同可能状态 的数量。

示例 1：

输入：n = 1, presses = 1

输出：2

解释：状态可以是：
- 按压开关 1 ，[关]
- 按压开关 2 ，[开]

示例 2：

输入：n = 2, presses = 1

输出：3

解释：状态可以是：
- 按压开关 1 ，[关, 关]
- 按压开关 2 ，[开, 关]
- 按压开关 3 ，[关, 开]

示例 3：

输入：n = 3, presses = 1

输出：4

解释：状态可以是：
- 按压开关 1 ，[关, 关, 关]
- 按压开关 2 ，[关, 开, 关]
- 按压开关 3 ，[开, 关, 开]
- 按压开关 4 ，[关, 开, 开]

提示：

• $1 <= n <= 1000$
• $0 <= presses <= 1000$

分情况讨论

记灯泡数量为 $n$（至少为 $1$），翻转次数为 $k$（至少为 $0$），使用 1 代表灯亮，使用 0 代表灯灭。

我们根据 $n$ 和 $k$ 的数值分情况讨论：

• 当 $k = 0$ 时，无论 $n$ 为何值，都只有起始（全 1）一种状态；
• 当 $k > 0$ 时，根据 $n$ 进一步分情况讨论：
  • 当 $n = 1$ 时，若 $k$ 为满足「$k > 0$」的最小值 $1$ 时，能够取满「1/0」两种情况，而其余更大 $k$ 值情况能够使用操作无效化（不影响灯的状态）；
  • 当 $n = 2$ 时，若 $k = 1$，能够取得「11/10/01」三种状态，当 $k = 2$ 时，能够取满「11/10/01/00」四种状态，其余更大 $k$ 可以通过前 $k - 1$ 步归结到任一状态，再通过最后一次的操作 $1$ 归结到任意状态；
  • 当 $n = 3$ 时，若 $k = 1$ 时，对应 $4$ 种操作可取得 $4$ 种方案；当 $k = 2$ 时，可取得 $7$ 种状态；而当 $k = 3$ 时可取满 $2^3 = 8$ 种状态，更大的 $k$ 值可通过同样的方式归结到取满的 $8$ 种状态。
  • 当 $n > 3$ 时，根据四类操作可知，灯泡每 $6$ 组一循环（对应序列 k + 1、2k + 2、2k + 1 和 3k + 1），即只需考虑 $n <= 6$ 的情况，而 $n = 4$、$n = 5$ 和 $n = 6$ 时，后引入的灯泡状态均不会产生新的组合（即新引入的灯泡状态由前三个灯泡的状态所唯一确定），因此均可归纳到 $n = 3$ 的情况。

Java 代码：

class Solution {
    public int flipLights(int n, int k) {
        if (k == 0) return 1;
        if (n == 1) return 2;
        else if (n == 2) return k == 1 ? 3 : 4;
        else return k == 1 ? 4 : k == 2 ? 7 : 8;
    }
}

TypeScript 代码：

function flipLights(n: number, k: number): number {
    if (k == 0) return 1
    if (n == 1) return 2
    else if (n == 2) return k == 1 ? 3 : 4;
    else return k == 1 ? 4 : k == 2 ? 7 : 8;
};

• 时间复杂度：$O(1)$
• 空间复杂度：$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.672 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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