【线性代数基础进阶】行列式-补充+练习本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。爪型行列式爪型行列式的标准

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

爪型行列式

爪型行列式的标准形式，即行列式的主对角线有值，第一行、第一列剩余位置为 $1$ ，其他位置为 $0$ ，形如

D=\begin{vmatrix} a_{0} & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & a_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & a_{n} \end{vmatrix}

计算爪型行列式时，通常利用提公因式的方法，除第一行外，每行都把因子为 $a_{i}$ 提到行列式外，再将其转化为三角行列式，即

\begin{aligned} D&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\begin{vmatrix} a_{0} & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \frac{1}{a_{1}} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \frac{1}{a_{2}} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots \\ \frac{1}{a_{n}} & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix}\\ &=\prod^{n}_{i=1}a_{i}\begin{vmatrix} a_{0}-\sum\limits^{n}_{i=1} \frac{1}{a_{i}} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \frac{1}{a_{1}} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \frac{1}{a_{2}} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots \\ \frac{1}{a_{n}} & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix}\\ &=\prod^{n}_{i=1}a_{i}(a_{0}-\sum\limits^{n}_{i=1} \frac{1}{a_{i}}) \end{aligned}

只要行列式除了主对角线上的元素外，其他各列的元素都相同，就可以每行减去第一行，转化为爪型行列式，形如

D=\begin{vmatrix} x_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ a_{1} & x_{2} & a_{3} & a_{4} \\ a_{1} & a_{2} & x_{3} & a_{4} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & x_{4} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ a_{1}-x_{1} & x_{2}-a_{2} & 0 & 0 \\ a_{1}-x_{1} & 0 & x_{3}-a_{3} & 0 \\ a_{1}-x_{1} & 0 & 0 & x_{4}-a_{4} \end{vmatrix}

此处提出系数后（也可以不提，有时为了计算方便）可以其他行减第一行，也可以其他列减第一列

有时是第一行能提因式，有时是第一列能提因式，道理相同

如果是副对角线，考虑转置，转置前后行列式值不变，道理相同

例1：计算行列式的值 $D=\begin{vmatrix}a+x & a & a & a \\ a & a+x & a & a \\ a & a & a+x & a \\ a & a & a & a+x\end{vmatrix}=()$

符合爪型行列式

\begin{aligned} D&=\begin{vmatrix} a+x & a & a & a \\ -x & x & 0 & 0 \\ -x & 0 & x & 0 \\ -x & 0 & 0 & x \end{vmatrix}\\ &此处可以选择后面的行往第一行减,使后三个元素为0\\ &也可以有列进行相同的操作,且列更简单,所以此处用列\\ &=\begin{vmatrix} 4a+x & a & a & a \\ 0 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x \end{vmatrix}\\ &=(4a+x)x^{3} \end{aligned}

例2：计算 $D=\begin{vmatrix}1+x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+y & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=()$

符合爪型行列式

\begin{aligned} D&=\begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1 \\ -x & -x & 0 & 0 \\ -x & 0 & y & 0 \\ -x & 0 & 0 & -y \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} x & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -y \end{vmatrix}\\ &=x^{2}y^{2} \end{aligned}

加边法

加边法，即

\begin{vmatrix} 1 & b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} \\ 0 & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots \\ 0 & a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

一般还要结合爪型行列式、拆项法等

例2也可以用加边法，即

D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\ 0 & 1+x & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1-x & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1+y & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1-y \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & x & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -x & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & y & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & -y \end{vmatrix}

按照爪型行列式的最基本形式做即可

一般加边法结合爪型行列式增加的边，一列元为 $0$ ，一行由各列元素确定，所以是由原本行列式就可以确定出来的

例3：计算 $D=\begin{vmatrix}1+x_{1} & 1+x_{1}^{2} & \cdots & 1+x_{1}^{n} \\ 1+x_{2} & 1+x_{2}^{2} & \cdots & 1+x_{2}^{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1+x_{n} & 1+x_{n}^{2} & \cdots & 1+x_{n}^{n}\end{vmatrix}$

行列式中有能构成范德蒙行列式的条件，但每项都是 $1$ 与某数之和，加行消去 $1$ ，即可得到等比数列，进而使用范德蒙行列式

\begin{aligned} D&=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1+x_{1} & 1+x_{1}^{2} & \cdots & 1+x_{1}^{n} \\ 0 & 1+x_{2} & 1+x_{2}^{2} & \cdots & 1+x_{2}^{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots \\ 0 & 1+x_{n} & 1+x_{n}^{2} & \cdots & 1+x_{n}^{n} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ -1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n}\\ -1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots\\ -1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} 2-1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0-1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n}\\ 0-1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots\\ 0-1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n}\\ 0 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots\\ 0 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n}\\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots\\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n} \end{vmatrix}\\ &=\underbrace{2x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\begin{vmatrix} 1 & x_{1} & \cdots & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & \cdots & x_{2}^{n-1} \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ 1 & x_{n} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{vmatrix}}_{先按第一列展开,再每行提取x_{i}}-\underbrace{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n}\\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots\\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n} \end{vmatrix}}_{本身就是n+1阶范德蒙行列式}\\ &=2\prod^{n}_{i=1}x_{i}\prod_{n\geq i>j\geq1}(x_{i}-x_{j})-\prod^{n}_{i=1}(x_{i}-1)\prod_{n\geq i>j\geq1}(x_{i}-x_{j})\\ &=[2\prod^{n}_{i=1}x_{i}-\prod^{n}_{i=1}(x_{i}-1)]\prod_{n\geq i>j\geq1}(x_{i}-x_{j}) \end{aligned}

应用证明范德蒙行列式的思路对 $n$ 阶行列式证明

例4：证明 $D_{n}=\begin{vmatrix}2 & -1 & & & \\ -1 & 2 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & & 2 & -1 \\ & & & -1 & 2\end{vmatrix}=n+1$

范德蒙行列式的证明给了一个思路，即证明 $n=1,2$ 时成立，假设 $n-1$ 时成立，证明 $n$ 时的情况用 $n-1$ 表示，符合通项即可

当 $n=1$ 时

D_{1}=2=1+1

命题 $D_{n}=n+1$ 成立

当 $n=2$ 时

D_{2}=\begin{vmatrix} 2&-1\\-1&2 \end{vmatrix}=3=2+1

命题 $D_{n}=n+1$ 成立

设 $n<k$ 时，命题 $D_{n}=n+1$ 成立

当 $n=k$ 时

\begin{aligned} D_{n}&=\begin{vmatrix}2 & -1 &   & & \\ -1 & 2 & \ddots & &  \\  & \ddots & \ddots &  &  \\  &  &  & 2 & -1 \\  &  &  & -1 & 2\end{vmatrix}_{k}=2A_{11}-A_{12}\\ &=2\begin{vmatrix}2 & -1 &   & & \\ -1 & 2 & \ddots & &  \\  & \ddots & \ddots &  &  \\  &  &  & 2 & -1 \\  &  &  & -1 & 2\end{vmatrix}_{k-1}+(-1)\cdot(-1)^{1+2}\begin{pmatrix}-1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\0 &  2 & -1 &   & & \\0 &  -1 & 2 & \ddots & &  \\\vdots &   & \ddots & \ddots &  &  \\0  & &  &  & 2 & -1 \\0 &  &  &  & -1 & 2\end{pmatrix}_{k-1}\\ &=2D_{k-1}+\underbrace{(-1)D_{k-2}}_{按第一列展开}\\ &=2(k-1+1)-(k-2+1)\\ &=k+1 \end{aligned}

故对每个自然数 $n$ ，命题 $D_{n}=n+1$ 恒成立

【线性代数基础进阶】行列式-补充+练习

爪型行列式

加边法

应用证明范德蒙行列式的思路对nnn阶行列式证明

应用证明范德蒙行列式的思路对 $n$ 阶行列式证明