【高等数学基础进阶】多元函数的极值与最值本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。无约束极值定义：若在点$

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

无约束极值

定义：若在点 $(x_{0},y_{0})$ 的某邻域内恒成立不等式

f(x,y)\leq f(x_{0},y_{0})\quad (f(x,y)\geq f(x_{0},y_{0}))

则称 $f$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 取得极大值（极小值），点 $(x_{0},y_{0})$ 称为 $f$ 的极大值点（极小值点），极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点

定理（极值的必要条件）：设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 存在偏导数，且 $(x_{0},y_{0})$ 为 $f(x,y)$ 的极值点，则

f_{x}(x_{0},y_{0})=0,f_{y}(x_{0},y_{0})=0

也可表述为

$f(x,y_{0})$ 在 $x=x_{0}$ 处的导数等于 $0$ ， $f(x_{0},y)$ 在 $y=y_{0}$ 处的导数等于 $0$

极值点只可能在驻点和 $f_{x},f_{y}$ 至少有一个不存在的点

定理（极值的充分条件）：设 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x_{0},y_{0})$ 的某邻域内有二阶连续偏导数，又 $f_{x}(x_{0},y_{0})=f_{y}(x_{0},y_{0})=0$ ，记 $A=f_{xx}(x_{0},y_{0}),B=f_{xy}(x_{0},y_{0}),C=f_{yy}(x_{0},y_{0})$ ，则

当 $AC-B^{2}>0$ 时，有极值，若 $A>0$ 为极小值，若 $A<0$ 为极大值
当 $AC-B^{2}<0$ 时，无极值
当 $AC-B^{2}=0$ 时，不一定（一般用定义判定）

条件极值与拉格朗日乘数法

函数 $f(x,y)$ 在条件 $\phi (x,y)=0$ 条件下的极值

令 $F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$

\left\{\begin{aligned}&F_{x}=f(x,y)+\lambda \phi_{x}(x,y)=0\\ &F_{y}=f_{y}(x,y)+\lambda \phi_{y}(x,y)=0\\ &F_{\lambda}=\phi(x,y)=0\end{aligned}\right.

函数 $f(x,y,z)$ 在条件 $\phi(x,y,z)=0,\psi (x,y,z)=0$ 条件下的条件极值

令 $F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda \phi(x,y,z)+\mu \psi (x,y,z)$

设给定目标函数 $f(x,y)$ ，约束条件为 $\phi(x,y)=0$

如图所示，曲线 $L$ 为约束条件 $\phi(x,y)=0$ ， $f(x,y)=C$ 为目标函数的等值线族

在 $f(x,y),\phi(x,y)$ 偏导数都连续的条件下，目标函数 $f(x,y)$ 在约束条件 $\phi(x,y)=0$ 下的可能极值点 $M(x_0,y_0)$ ，从几何上看，必是目标函数等值线曲线族中与约束条件相切的那个切点

因为两曲线在切点处必有公切线，所以目标函数等值线在点 $M(x_0,y_0)$ 处法向量 $\{f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)\}$ 与约束条件曲线在点 $M(x_0,y_0)$ 处法向量 $\{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)\}$ 平行，即

$\begin{aligned}\frac{f'_x(x_0,y_0)}{\phi'_x(x_0,y_0)}=\frac{f'_y(x_0,y_0)}{\phi'_y(x_0,y_0)}\end{aligned}$

也就是说存在实数 $\lambda$ ，使下式成立

$\{f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)\}+\lambda\{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)\}=0$

需要注意的是，目标函数等值线与约束条件曲线的切点未必就是目标函数 $f(x,y)$ 在约束条件 $\phi(x,y)=0$ 下的极值点（如图中的 $M_2$ 点）

链接：拉格朗日乘数法_百度百科 (baidu.com)

最大最小值

求连续函数 $f(x,y)$ 在有界闭域 $D$ 上的最大最小值

求 $f(x,y)$ 在 $D$ 内部可能的极值点（无约束极值）
求 $f(x,y)$ 在 $D$ 的边界的最大最小值（条件极值）
比较

应用题

建立函数关系
求 $f(x,y)$ 在 $D$ 内部可能的极值点（无约束极值）
求 $f(x,y)$ 在 $D$ 的边界的最大最小值（条件极值）
比较

常考题型方法与技巧

求极值（无条件）

例1：设函数 $z=f(x,y)$ 的全微分为 $dz=xdx+ydy$ ，证明点 $(0,0)$ 是 $f(x,y)$ 的极小值点

可以用极值的充分条件，这里不展示过程。这里展示偏积分的方法得到原函数

函数 $z=f(x,y)$ 的全微分为 $dz=xdx+ydy$ ，可知

z_{x}=x,z_{y}=y

由 $z_{x}=x$ ，偏积分得

z=\int_{}^{}xdx=\frac{1}{2}x^{2}+\phi(y)

再代入 $z_{y}=y$ ，确定 $\phi(y)$

\begin{aligned} z_{y}&=\phi'(y)\\ \Rightarrow \phi'(y)&=y\\ \int_{}^{}\phi'(y)dy&=\int_{}^{}ydy\\ \phi(y)&=\frac{1}{2}y^{2}+C\\ z&=\frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2}+C \end{aligned}

根据定义后面不再展示过程

还可以通过凑微分得到原函数

\begin{aligned} dz&=xdx+ydy\\ dz&=d (\frac{1}{2}x^{2})+d (\frac{1}{2}y^{2})\\ dz&=d(\frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2})\\ z&= \frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2}+C \end{aligned}

根据定义后面不再展示过程

求最大最小值

例2：求函数 $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在约束条件下 $z=x^{2}+y^{2}$ 和 $x+y+z=4$ 下的最大值和最小值

设

F(x,y,z,\lambda,\mu)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda(x^{2}+y^{2}-z)+\mu(x+y+z-4)

有

\left\{\begin{aligned} &F_{x}=2x+2\lambda x+\mu=0\\ &F_{y}=2y+2\lambda y+\mu=0\\ &F_{z}=2z-\lambda+\mu=0\\ &F_\lambda=x^{2}+y^{2}-z=0\\ &F_{\mu}=x+y+z-4=0\end{aligned}\right.

解得 $(x_{1},y_{1},z_{1})=(1,1,2),(x_{2},y_{2},z_{2})=(-2,-2,8)$

故所求的最大值为 $72$ ，最小值为 $6$

例3：已知 $z=f(x,y)$ 的全微分 $dz=2xdx-2ydy$ 且 $f(1,1)=2$ 。求 $f(x,y)$ 在 $\begin{aligned} D=\left\{(x,y)\Big|_{}^{}x^{2}+ \frac{y^{2}}{4} \leq 1\right\}\end{aligned}$ 上的最大最小值

先找 $f(x,y)$ ，这里用凑微分（偏积分也行）

\begin{aligned} dz&=2xdx-2ydy\\ dz&=dx^{2}-dy^{2}\\ dz&=d(x^{2}-y^{2})\\ z&=x^{2}-y^{2}+C\\ &代入f(1,1)=2\\ 2&=1-1+C \Rightarrow C=2\\ z&=x^{2}-y^{2}+2 \end{aligned}

令 $\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}=2x=0,\frac{\partial f}{\partial y}=-2y=0\end{aligned}$ ，得驻点为 $(0,0)$

接下来可以用拉格朗日乘数法，运算不难，这里不展示步骤。考虑另一个思路，由于已经知道了约束条件，该约束条件可以代入 $z=f(x,y)$ ，化条件为无条件

由于点在 $x^{2}+ \frac{y^{2}}{4}=1$ 上，有

\begin{aligned} z&=x^{2}-(4-4x^{2})+2\quad x \in [-1,1]\\ z&=5x^{2}-2\\ z_{\max}&=z \Big|_{x=\pm 1}^{}=3\\ z_{\min}&=z \Big|_{x=0}^{}=-2 \end{aligned}

因此最大值为 $3$ ，最小值为 $-2$

对于圆和椭圆可以用参数方程化条件为无条件

椭圆 $\begin{aligned} x^{2}+ \frac{y^{2}}{4}=1\end{aligned}$ 的参数方程为

\left\{\begin{aligned}&x= \cos t\\&y=2 \sin t\end{aligned}\right.

则

\begin{aligned} z=f(x,y)&=x^{2}-y^{2}+2\\ &=\cos ^{2}t-4\sin ^{2}t+2\\ &=3-5\sin ^{2}t \quad t \in [0,2\pi] \end{aligned}