【高等数学基础进阶】常微分方程

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

一、常微分方程的基本概念

定义：含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程

 

定义：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶

 

定义：找出这样的一个函数，把这个函数带入微分方程使该方程成为恒等式，这个函数就叫做微分方程的解

 

定义：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。即几阶微分方程，通解中就会有几个任意常数

 

定义：由于通解中含有任意常数，为了确定任意常数的值，引入初值条件，例如：如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是$y|_{x=x_0}=y_0$，如果微分方程是二阶的，确定任意常数的条件为$y|_{x=x_0}=y_0,y'|_{x=x_0}=y'_0$，其中$x_0,y_0,y'_0$都是给定的值，上述条件即为初值条件，通过初值条件可以确定通解中的任意常数，所得到的就是微分方程的特解。由于几阶微分方程就含有几个任意常数，所以就需要知道几个初值条件

 

定义：微分方程的解对应的曲线就叫做微分方程的积分曲线

 

二、一阶线性微分方程

可分离变量的方程$y'=f(x)g(x)$

定义：如果一个一阶微分方程能写成$g(y)dy=f(x)dx$的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和$dy$，另一端只含$x$的函数和$dx$，那么原方程就称为可分离变量的微分方程

 

求解方法

1. 将微分方程化为$g(y)dy=f(x)dx$

2. 将上式两端同时积分得$\begin{aligned} \int g(y)dt=\int f(x)dx\end{aligned}$

3. 设$G(x)$及$F(x)$依次为$g(y)$及$f(x)$的原函数，得$G(y)=F(x)+C$

 

齐次方程$\frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x})$

定义：如果一阶微分方程可以化为$\frac{dy}{dx}=\phi (\frac yx)$的形式，那么就称该微分方程为齐次方程。

 

$n$次齐次函数，即$f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$

显然本题所谓的齐次方程就是$0$次齐次函数，因此叫齐次方程

 

求解方法

1. 将原微分方程化为$\frac{dy}{dx}=f(\frac yx)$的形式

2. 令$u(x)=\frac yx$，则$y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$

3. 原微分方程可化为$\begin{aligned} u+x\frac{du}{dx}=f(u)\end{aligned}$，将其分离变量得$\begin{aligned} \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\end{aligned}$，两边同时积分得$\begin{aligned} \int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}x\end{aligned}$

4. 求出积分之后，将$\frac yx$代替$u$，得到齐次方程的通解

 

线性方程$y'+P(x)y=Q(x)$

通解为

在这里的如果有$\begin{aligned} \int_{}^{}p(x)dx=\int_{}^{} \frac{1}{x}dx=\ln x\end{aligned}$，可以不加绝对值

 

伯努利方程$y'+P(x)y=Q(x)y^{\alpha}(\alpha \ne 1)$

 

求解方法及通解形式

1. 将等式两端同除$y^n$，得$\begin{aligned} y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)\quad\text{(1)}\end{aligned}$

2. 令$z=y^{1-n}$，那么$\begin{aligned} \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\end{aligned}$

3. 将$(1-n)$乘在(1)式两端，经过代换变成$\begin{aligned} \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)\end{aligned}$，解出方程的通解，再将$z$用$y^{1-n}$代换，得到方程的通解

 

全微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

判定方法：

 

解法：

偏积分、凑微分、线积分

 

三、可降阶的高阶方程

$y^{(n)}=f(x)$

求解方法：

将微分方程$y^{(n)}=f(x)$的两端同时$x$积分得$y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C_1$，再对等式两边同时积分得$y^{(n-2)}=\int[\int f(x)dx+C_1]dx+C_2$，连续积分$n$次，得到方程含有$n$个任意常数的通解

 

$y''=f(x,y')$

求解方法

1. 令$y'=p$，则$y''=\frac{dp}{dx}=p'$

2. 原微分方程变为$\begin{aligned} \frac{dp}{dx}=f(x,p)\end{aligned}$，解微分方程得$p=p(x,C_1)$

3. 由于$\frac{dy}{dx}=p$，则$\frac{dy}{dx}=p(x)$，解得$y=\int p(x,C_1)dx+C_2$

 

$y''=f(y,y')$

求解方法：

1. 令$y'=p$，则$\begin{aligned} y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}\end{aligned}$

2. 原微分方程变为$\begin{aligned} p\frac{dp}{dy}=f(y,p)\end{aligned}$，解微分方程得$p=p(y,C_1)$

3. 由于$\frac{dy}{dx}=p$，再对其分离变量，解得微分方程的通解

四、高阶线性微分方程

线性方程的解的结构

齐次方程：$y''+p(x)y'+q(x)y=0$

非齐次方程：$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$

 

定理1：如果$y_{1}(x)$和$y_{2}(x)$是齐次方程的两个线性无关的特解，那么

就是齐次方程的解

 

定理2：如果$y^{*}$是非齐次方程的一个特解，$y_{1}(x)$和$y_{2}(x)$是齐次方程的两个线性无关的特解，则

是非齐次方程的通解

 

定理3：如果$y^{*}_{1}(x),y^{*}_{2}$是非齐次方程的两个特解，则

是齐次微分方程的解

 

定理4：如果$y^{*}_{1}(x),y^{*}_{2}$分别是方程

的特解，则

是方程$y''+p(x)y'+q(x)y=f_{1}(x)+f_{2}(x)$的一个特解

 

定理5：如果$y^{*}(x)$是非齐次方程的一个特解，$y_{0}(x)$是非齐次方程对应的齐次方程的通解，则

是非齐次方程的通解

 

定理5就是对定理2的简单阐述，主要用于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。用定理2也可以

 

二阶常系数齐次线性微分方程$y''+py'+qy=0$

特征方程$\lambda^{2}+p \lambda+q=0$

 

求解方法及通解形式

1. 写出微分方程的特征方程$\lambda^2+p\lambda+q=0$。即，将$y''+py'+q=0$中y的几阶导数就变为$\lambda$的几次方

2. 求出特征方程的两个根$\lambda_1,\lambda_2$

3. 根据特征根的不同形式，写出微分方程的通解

 

特征方程$\lambda^2+p\lambda+q=0$的两个根$\lambda_1,\lambda_2$	微分方程$y''+py'+q=0$的通解
两个不相等的实根$\lambda_1,\lambda_2$	$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$
两个相等的实根$\lambda_1=\lambda_2=\lambda$	$y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}$
一对共轭复根$\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

 

高阶常系数齐次线性微分方程$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+p_2y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}y'+p_ny=0$

 

特征方程的根	微分方程通解中的对应项
单实数$\lambda$	给出一项：$Ce^{\lambda x}$
一对单复根$\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i$	给出两项：$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
$k$重实根$\lambda$	给出$k$项：$e^{\lambda x}(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})$
一对$k$重复根$\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i$	给出$2k$项：$e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin\beta x]$

 

例1：设高阶常系数齐次线性微分方程的特征根是$\lambda_1=2,\lambda_2=\lambda_3=3,\lambda_{4,5}=1\pm i,\lambda_{6,7}=2\pm 3i,\lambda_{8,9}=2\pm 3i$

 

 

例2：求方程$y^{(4)}-2y'''+5y''=0$的通解

 

解特征方程

解得，

故

二阶常系数非齐次线性微分方程$y''+py'+qy=f(x)$

求解方法及通解形式

 

先求二阶常系数齐次线性微分方程的通解（得到$\lambda_{1},\lambda_{2}$）

一下分两种情况讨论（其余情况不讨论）

$f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x)$

当

$f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x)$

时，$P_{m}(x)$为$x$的$m$次多项式，则微分方程的特解可设为

$y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}$

其中$Q_m(x)$是与$P_m(x)$同次的多项式，$k$是特征方程含根$\lambda$的重数

$y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}$中的

$\begin{cases}e^{\lambda x}\text{照抄}\\x^{k}\text{中的}k=\begin{cases}0,\lambda_{1}\ne\lambda\text{且}\lambda_{2}\ne\lambda\\1,\lambda_{1}=\lambda,\lambda_{2}\ne\lambda\text{或}\lambda_{2}=\lambda,\lambda_{1}\ne\lambda\\2,\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda\end{cases}\\Q_{m}(x)\text{是设的与}P_{m}(x)\text{同次多项式}\end{cases}$

 

$f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x]$

当

$f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x]$

时，其中$P_l(x),P_n(x)$分别为$x$的$l$次，$n$次多项式，则微分方程的特解可设为

$y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos\beta x+R^{(2)}_m(x)\sin\beta x]$

其中$R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)$是两个$x$的$m$次多项式，$m=\max\{l,n\}$，当$\alpha\pm\beta i$不是齐次方程的特征根时，取$k=0$；当$\alpha\pm\beta i$是齐次方程的特征根时，取$k=1$

 

再根据定理5即可得到通解

 

例3：求微分方程$y''+y=x\cos2x$的通解

 

齐次方程，

因此

设

将$y^{*},y'^{*},y''^{*}$代入微分方程

有

故

故

 

例4：求微分方程$y''+5y'+4y=3-2x$的通解

 

齐次方程，

故

设

将$y^{*},y'^{*},y''^{*}$代入微分方程$y''+5y'+4y=3-2x$中

解得

故

故

 

欧拉方程$x^{n}y^{(n)}+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}xy'+a_{n}y=f(x)$

令$x=e^{t}$

记$D= \frac{d}{dt}$，则有

类似地

 

例5：欧拉方程$\begin{aligned} x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+4x \frac{dy}{dx}+2y=0\end{aligned}(x>0)$

 

令$x=e^{t}$，有

对应特征方程

有

 

五、差分方程

一阶常系数线性齐次差分方程$y_{t+1}+ay_{t}=0$

通解为

 

一阶常系数线性非齐次差分方程$y_{t+1}+ay_{t}=f(t)$

通解为

分两种情况讨论

$f(t)=P_{m}(t)$

若$a \ne -1$，令

若$a=-1$，令

 

$f(t)=d^{t}\cdot P_{m}(t)(d \ne 0)$

若$a+d \ne 0$，令

若$a+d=0$，令

 

例6：差分方程$y_{t+1}-2y_{t}=2^{t}$的通解为（）

 

齐次方程的通解为

令$y_{t}^{*}=at2^{t}$，代入原方程得

原方程通解为

 

常考题型与典型例题

微分方程求解

例7：微分方程$xy'+y(\ln x-\ln y)=0$满足条件$y(1)=e^{3}$的解为$y=()$

 

原式两边同除$x$

令$u= \frac{y}{x}$

由$y(1)=e^{3}\Rightarrow C=2$，则

 

例8：微分方程$ydx+(x-3y^{2})dy=0$满足条件$y \Big|_{x=1}^{}=1$的解为$y=()$

 

本题可以用全微分方程的方式，但现在暂时未涉及到相关知识，该种方法会在以后补充

观察本题，现在对于$y$不满足三类的任一一种，一般有两种常用思路：考虑$x,y$对调；做变量代换

 

 

例8：微分方程$y''+2y'+3y=0$的通解为$y=()$

 

 

例9：微分方程$y''-4y'+8y=e^{2x}(1+\cos 2x)$的特解可设为$y ^{*}=()$

 

根据定理4

 

定理4：如果$y^{*}_{1}(x),y^{*}_{2}$分别是方程

$\begin{aligned}y''+p(x)y'+q(x)y=f_{1}(x)\\y''+p(x)y'+q(x)y=f_{2}(x)\end{aligned}$

的特解，则

$y^{*}_{1}(x)+y^{*}_{2}$

是方程$y''+p(x)y'+q(x)y=f_{1}(x)+f_{2}(x)$的一个特解

 

原微分方程可分解为

因此

 

例10：设$y= \frac{1}{2}e^{2x}+(x- \frac{1}{3})e^{x}$是二阶常系数非齐次线性方程微分方程$y''+ay'+by=ce^{x}$的一个特解，求$a,b,c$

 

$y= \frac{1}{2}e^{2x}+(x- \frac{1}{3})e^{x}$是$y''+ay'+by=ce^{x}$的一个特解，根据定理2

 

定理2：如果$y^{*}$是非齐次方程的一个特解，$y_{1}(x)$和$y_{2}(x)$是齐次方程的两个线性无关的特解，则

$y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+y^{*}(x)$

是非齐次方程的通解

即$y= \frac{1}{2}e^{2x}+(x- \frac{1}{3})e^{x}$有一个非齐次的特解，两个齐次的特解，因此需要进行判断

判断前，建议先分成三项

以下 是判断过程，可以省略

$y=\frac{1}{2}e^{2x}+xe^{x}- \frac{1}{3}e^{x}$

如果$\frac{1}{2}e^{2x}$是非齐次方程的一个特解，不管系数，代入$y''+ay'+by=ce^{x}$

$Ae^{2x}=Be^{x}$

显然不成立，因此$\frac{1}{2}e^{2x}$是齐次方程的一个特解

如果$xe^{x}$是非齐次方程的一个特解，显然代入不好判断，考虑其实齐次方程的一个特解的可能性，如果$xe^{x}$是齐次方程的一个特解，那么$1$一定是对应特征方程的二重根，由于之前已经确定齐次方程的一个特解为$\frac{1}{2}e^{2x}$，因此，其不是齐次方程的一个特解，$xe^{x}$是非齐次方程的一个特解

剩余的$- \frac{1}{3}e^{x}$一定是齐次方程的一个特解

 

可知$y_{1}=e^{2x},y_{2}=e^{x}$是齐次方程的两个线性无关的解，$y^{*}xe^{x}$是非齐次方程的一个解，因此齐次方程的特征方程为

将$y=xe^{x}$代入$y''-3y'+2y=ce^{x}$，可得$c=-1$

 

综合题

例11：设$y=f(x)$是微分方程$y''-y'-e^{\sin x}=0$的解，且$f'(x_{0})=0$，说明$f(x)$在$x_{0}$处取得极小值

 

将$x_{0}$代入微分方程

因此$f(x)$在$x_{0}$处取得极小值

 

有关微分方程的综合题有时需不要把解求出来

 

例12：设$y=y(x)$是二阶常系数微分方程$y''+py'+qy=e^{3x}$满足初始条件$y(0)=y'(0)=0$的特解，则当$x \to 0$时，函数$\frac{\ln (1+x^{2})}{y(x)}$的极限为（）

 

由$y''+py'+qy=e^{3x}$知$y''(x)$连续且$y''(0)=1$

 

由于$py',qy,e^{3x}$连续，因此$y''$连续

 

 

例13：已知连续函数$f(x)$满足条件$f(x)=\int_{0}^{3x}f(\frac{t}{3})dt+e^{2x}$，求$f(x)$

 

未知函数在积分里面叫做积分方程，解积分方程的一般方法两边同时求导，化为微分方程

 

两边同时求导

当$x=0$时，代入题目条件

将$f(0)=1$代入$(1)$，得$C=2$，因此

 

例14：设函数$f(x)$连续，且满足$\begin{aligned} \int_{0}^{x}f(x-t)dt=\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt+e^{-x}-1\end{aligned}$，求$f(x)$的表达式

 

令$u=x-t$，则$\begin{aligned} \int_{0}^{x}f(x-t)dt=\int_{0}^{x}f(u)du\end{aligned}$

 

应用题

例15：设函数$f(x)$在定义域$I$上的导数大于零，若对于任意的$x_{0}\in I$，曲线$y=f(x)$在点$(x_{0},f(x_{0}))$处的切线与直线$x=x_{0}$及$x$轴所围成区域的面积恒为$4$，且$f(0)=2$，求$f(x)$的表达式

 

曲线$y=f(x)$在点$(x_{0},f(x_{0}))$处的切线方程为

因此该面积为

 

例16：设非负函数$y=y(x)(x \geq 0)$满足微分方程$xy''-y'+2=0$。当曲线$y=y(x)$过原点时，其与直线$x=1$及$y=0$围成的平面区域$D$的面积为$2$，求$D$绕$y$轴旋转所得旋转体的体积

 

记$y'=p$，则$y''=p'$，代入微分方程得

由方程$xy''-y'+2=0\quad (x \geq 0)$，可知$y$在$x=0$处连续。由$y(0)=0$，有

 

由于上面出现了$\begin{aligned} \frac{1}{x}\end{aligned}$，因此此处不能直接把$x=0$代入方程

由于一阶导数在$x=0$处存在，因此$y$在$x=0$处连续，可以用逼近的方式求

 

由与直线$x=1$及$y=0$围成的平面区域$D$的面积为$2$

故

旋转体体积为

 

一般应用考的较多的就是定积分的应用，和微分方程的应用