【线性代数基础进阶】行列式本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。一、行列式的概念 1. 二、三阶行列式

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

一、行列式的概念

1. 二、三阶行列式

行列式的结果是数，是不同行不同列元素乘积的代数式

2. 排序、逆序、逆序数

由 $1,2,\cdots,n$ 组成的有序数组称为一个 $n$ 阶排列，通常用 $j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}$ 表示 $n$ 阶排列

例如：

$2,4,1,3\quad 4阶排列$

$1,3,5,4,2\quad 5阶排列$

一个排列中，如果一个大的数排在一个小的数的前面，就称这两个数构成一个逆序。

一个排列的逆序的总数称为这个排列的逆序数，用 $\tau(j_{1},j_{2},\cdots,j_{n})$ 表示排列 $j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}$ 的逆序数

如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列是偶排列，否则称为奇排列

$\tau(1,3,2)=0+1$

$\tau(2,4,3,1)=1+2+1=4$

$1,2,3,\cdots,n\quad 自然排列(偶排列)$

3. $n$ 阶行列式概念

$\begin{vmatrix}{ a _ { 11 } } & { a _ { 12 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 21 } } & { a _ { 22 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { a _ { n 1 } } &{ a _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { n n }}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$

不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积的代数和。当 $j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$ 是偶排列时该项前面带正号；当 $j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$ 时奇排列时，该项前面带负号

$n$ 阶行列式完全展开式有 $n!$ 项

二、行列式的性质

经转置行列式值不变

行的性质和列的性质是相同的

某行有公因数 $k$ 可把 $k$ 提出

特别的，若某行元素全为 $0$ ，则 $D=0$

两行互换行列式的值变号

特别的，两行相同 $\Rightarrow D=0$ ；两行成比例 $\Rightarrow D=0$

如果行列式某行每一项都是两个数的和，则可以把行列式拆成两个行列式的和
把某行的 $k$ 倍加到另外一行，行列式的值不变

例：证明 $\forall a,b,c ,\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\b+c&c+a&a+b\end{vmatrix}=0$

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ b+c&c+a&a+b \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ a+b+c&a+b+c&a+b+c \end{vmatrix}\\ &=(a+b+c)\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ 1&1&1 \end{vmatrix}=0 \end{aligned}

例：证明 $\begin{vmatrix}b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}$

\begin{aligned} D&=2\begin{vmatrix}a_{1}+b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{vmatrix}\quad 该步是为了得到系数2\\ &=2\begin{vmatrix}a_{1}+b_{1}+c_{1}&-b_{1}&-c_{1}\\a_{2}+b_{2}+c_{2}&-b_{2}&-c_{2}\\a_{3}+b_{3}+c_{3}&-b_{3}&-c_{3}\end{vmatrix}\quad 得到二三列\\ &=2\begin{vmatrix}a_{1}&-b_{1}&-c_{1}\\a_{2}&-b_{2}&-c_{2}\\a_{3}&-b_{3}&-c_{3}\end{vmatrix}\\ &=2\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix} \end{aligned}

用拆行列式的方法

\begin{aligned} \begin{vmatrix}b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} b_{1}&c_{1}&a_{1}\\ b_{2}&c_{2}&a_{2}\\ b_{3}&c_{3}&a_{3} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c_{1}&a_{1}&b_{1}\\ c_{2}&a_{2}&b_{2}\\ c_{3}&a_{3}&b_{3}\\ \end{vmatrix}\tag{1}\\ &=2\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix} \end{aligned}

对于 $(1)$ ，选择拆第一列，如果第一列留 $b$ ，第二列 $c,a$ 可以任选，如果 $b+c$ 组合，第三列只能选 $a$ ，如果选 $b$ ，组成 $b+c+b$ ，行列式为 $0$ ；如果 $b+a$ 组合，无论第三列选 $a,b$ ，行列式都为 $0$ 。第一列选 $c$ 同理。最后只剩两个不为 $0$ 的行列式，即 $(1)$ 式

三、按行（列）展开公式

1. 代数余子式

在 $n$ 阶行列式

$D = \begin{vmatrix} { a _ { 11 } } & { a _ { 12 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 21 } } & { a _ { 22 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { a _ { n 1 } } & { a _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { nn }}\end{vmatrix}$

中划去 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 $n-1$ 阶的行列式

\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}

称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ ；称 $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$ ，即

A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

2. 展开公式

$n$ 阶行列式等于它的任一一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

\begin{aligned} |A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum\limits^{n}_{k=1}a_{ik}A_{ik},i=1,2,\cdots,n\\ |A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}=\sum\limits^{n}_{k=1}a_{kj}A_{kj},j=1,2,\cdots,n \end{aligned}

某一行的所有元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和等于 $0$

\begin{aligned} \sum\limits^{n}_{k=1}a_{ik}A_{jk}=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn},i\ne j\\ \sum\limits^{n}_{k=1}a_{ki}A_{kj}=a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj},i\ne j \end{aligned}

特殊情况

上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积

\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ 0&0&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&0\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

关于副对角线的行列式

\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2,n-1}&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&0&\cdots&0&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots &  & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n-1}

两个特殊的拉普拉斯展开式

如果 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶矩阵，则

\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & * \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ * & \boldsymbol{B} \end{vmatrix}=|\boldsymbol{A}|\cdot|\boldsymbol{B}|

\begin{vmatrix} \boldsymbol{O}&\boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{B}&* \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} *&\boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{B}&\boldsymbol{O} \end{vmatrix}=(-1)^{nm}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|

范德蒙行列式

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{vmatrix}=\prod_{1\leq j<i\leq n}(x_{i}-x_{j})

例如

\begin{vmatrix} 1&1&1\\ x_{1}&x_{2}&x_{3}\\ x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2} \end{vmatrix}=(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})

例：计算行列式的值 $D=\begin{vmatrix}a+x & a & a & a \\ a & a+x & a & a \\ a & a & a+x & a \\ a & a & a & a+x\end{vmatrix}$

行列式相同元素在不同行列上出现有规律，看看能不能提出来系数

常用操作

把所有行/列，加到第一行/列
逐行相加/相减
将第一行/列（乘 $-1$ ），加大后面的每一行/列（爪型行列式：即只有第一行、第一列、主对角线上非零）；最后一行/列同理。最终目的化成上三角或下三角行列式

\begin{aligned} D&=\begin{vmatrix} 4a+x & 4a+x & 4a+x & 4a+x \\ a & a+x & a & a \\ a & a & a+x & a \\ a & a & a & a+x \end{vmatrix}\\ &=(4a+x)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & a+x & a & a \\ a & a & a+x & a \\ a & a & a & a+x \end{vmatrix}\\ &=(4a+x)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x \end{vmatrix}\\ &=(4a+x)x^{3} \end{aligned}

以下两题属于 $\lambda$ 的三次方程，故应用观察法对行列式恒等变形以期某一行（或列）出现 $\lambda-a$ 的因式，方便解三次方程

观察法非常重要，经常需要多次尝试

例：已知 $\begin{vmatrix}\lambda-1 & 1 & -1 \\ -2 & \lambda-4 & 2 \\ 3 & 3 & \lambda-5\end{vmatrix}=0$ ，求 $\lambda$

\begin{aligned} 原式&=\begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & -1 \\ 0 & \lambda-4 & 2 \\ \lambda-2 & 3 & \lambda-5 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & -1 \\ 0 & \lambda-4 & 2 \\ 0 & 2 & \lambda-4 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-2)\begin{vmatrix} \lambda-4 & 2 \\ 2 & \lambda-4 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-2)(\lambda^{2}-8\lambda+12)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-6) \end{aligned}

所以 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=6$

例：已知 $\begin{vmatrix}\lambda & -2 & 2 \\ -2 & \lambda-4 & -4 \\ 2 & -4 & \lambda+3\end{vmatrix}=0$ ，求 $\lambda$

把第一列的 $-2$ 倍加到第三列

\begin{aligned} 原式&=\begin{vmatrix} \lambda & -2 & 2-2\lambda \\ -2 & \lambda-4 & 0 \\ 2 & -4 & \lambda-1 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \lambda+4 & -10 & 0 \\ -2 & \lambda-4 & 0 \\ 2 & -4 & \lambda-1 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-1)(\lambda^{2}-36) \end{aligned}

所以 $\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=6,\lambda_{3}=-6$

四、克拉默法则

\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{21}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=b_{1}, \\ a_{21}x_{1}+a_{21}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}, \\ \cdots \\ a_{1n}x_{1}+a_{2n}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}\\ \end{cases}

如果系数行列式 $D=|A|\ne0$ ，则方程组有唯一解，且

x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_2=\frac{D_{2}}{D},\cdots,x_n=\frac{D_{n}}{D}

其中

D_{j}=\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}

常用于证明题，很少用于求解方程组，一般行列式是特殊的行列式可能用于求方程组（范德蒙行列式）

推论1：若齐次方程组

\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{21}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=0, \\ a_{21}x_{1}+a_{21}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0, \\ \cdots \\ a_{1n}x_{1}+a_{2n}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=0\\ \end{cases}

的系数行列式不为 $0$ ，则方程组只有一组零解，即

x_{1}=0,x_{2}=0,\cdots,x_{n}=0

推论2（推论1逆否命题）：若齐次方程组有非零解，则它的系数行列式必为 $0$

【线性代数基础进阶】行列式