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方阵的特征值与特征向量

$A$ 是 $n$ 阶方阵，如果对于数 $\lambda$ ，存在非零向量 $\alpha$ ，使得 $A \alpha=\lambda \alpha\quad (\alpha \ne \boldsymbol{0})$ 成立，则称 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值， $\alpha$ 是 $A$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量

性质：

不同特征值的特征向量线性无关
任取特征值 $\lambda$ ，线性无关的特征向量的个数 $\leq \lambda$ 的重数
$A$ 的特征值为 $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$ ，则 $\begin{cases}|A|=\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}=\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}\\tr(A)=\sum\limits^{n}_{i=1}a_{ii}=\sum\limits^{n}_{i=1} \lambda_{i}\end{cases}$

步骤：

$| \lambda E-A|=O$ ，解得 $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$
解 $[\lambda_{i}E-A]X=0$ 的解，得到特征向量

例1：求矩阵 $A=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 1 & 3\end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量

$\begin{aligned}|\lambda E-A|&=\begin{vmatrix}\lambda+2&-1&-1\\0&\lambda -2&0\\4&-1&\lambda-3\end{vmatrix}\\&=(-1)^{2+2}(\lambda-2)\begin{vmatrix}\lambda+2&-1\\4&\lambda-3\end{vmatrix}\\&=(\lambda-2)^2(\lambda+1)\\&=0\end{aligned}$

解得 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=2$

当 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=2$ 时

$\begin{aligned}(2E-A)&=\begin{pmatrix}4 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & -1\end{pmatrix}\\\rightarrow& \begin{pmatrix}1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}$

解得 $\alpha_{1}=(\frac{1}{4},1,0)^T,\alpha_{2}=(\frac{1}{4},0,1)^T$

当 $\lambda_{3}=-1$ 时

$\begin{aligned}(-E-A)&=\begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 4 & -1 & -4\end{pmatrix}\\\rightarrow&\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}$

解得 $\alpha_{3}=(1,0,1)^T$

故

当 $\lambda_1=\lambda_2=2$ 时，特征向量为 $k_{1}\alpha_1+k_{2}\alpha_{2}\quad(k_1,k_2$ 不同时为 $0)$

当 $\lambda_{3}=-1$ 时，特征向量为 $k_3\alpha_3\quad(k_{3}$ 为非零常数 $)$

例2：设 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值，证明

$\lambda^2$ 是 $A^{2}$ 的特征值

$\because \lambda$ 为 $A$ 特征值

故 $\exists \alpha \ne \boldsymbol{0}$ ，使 $A \alpha=\lambda \alpha$

设 $\alpha$ 为 $\lambda$ 的特征向量

$A^{2}\alpha=A(A \alpha)=\lambda A \alpha=\lambda^{2}\alpha$

故 $\lambda^2$ 为 $A^2$ 为特征值，且 $\alpha$ 为 $\lambda^2$ 对应的特征向量

当 $A$ 可逆时， $\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值

$\because A$ 可逆

对 $A \alpha=\lambda \alpha$ 左乘 $A^{-1}$

得 $\alpha=A^{-1}\lambda \alpha=\lambda A^{-1}\alpha$

即 $A^{-1} \alpha=\frac{1}{\lambda}\alpha$

故 $\frac{1}{\lambda}$ 为 $A^{-1}$ 的特征值

推广：

$A$	$A^-1$	$f(A)$	$A^{-1}$	$A^*$	$P^{-1}AP$
$\lambda$	$\frac{1}{\lambda}$	$f(\lambda)$	$\lambda$	$\frac{\\|A\\|}{\lambda}$	$\lambda$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	无明显规律	$\alpha$	$P^{-1}\alpha$

其中

$f(A)$ 是 $A$ 的多项式，例如 $A^{3}+2A^{2}+6E$ ，则对应 $f(\lambda)=\lambda^3+2\lambda^{2}+6$
$P^{-1}AP$ 表示 $A$ 的相似矩阵

例3：设 $3$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,-1,2$ ，求 $A^*+3A-2E$ 的特征值

$|A|=-2$

当 $A$ 的特征值为 $1$ 时， $A^*$ 的特征值为 $-2$

当 $A$ 的特征值为 $-1$ 时， $A^*$ 的特征值为 $2$

当 $A$ 的特征值为 $2$ 时， $A^*$ 的特征值为 $-1$

故 $A^*+3A-2E$ 的特征值为 $\frac{|A|}{\lambda}+3\lambda-2$

即为 $-2+3\times1-2=-1,2+3\times(-1)-2=-3,(-1)+3\times2-2=3$

相似矩阵

一、相似矩阵

1. 相似矩阵的定义

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP=B$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，或说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似。对 $A$ 进行运算 $P^{-1}AP$ 称为对 $A$ 进行相似变换，可逆矩阵 $P$ 称为把 $A$ 变成 $B$ 的相似变换矩阵

2. 相似矩阵的性质

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同，从而 $A$ 与 $B$ 的特征值亦相同

二、相似对角化

1. 相似对角化的定义

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵 $\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{pmatrix}$ 相似，则 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 即是 $n$ 个特征值

2. 相似对角化的充要条件

$k$ 重特征值含有 $k$ 个线性无关的特征向量
$n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似（即 $A$ 能对角化）的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量

3. 相似对角化的充分条件

$A$ 是对称矩阵
如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等，则 $A$ 与对角阵相似

例1：设 $A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & x \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ ，问 $x$ 为何值时，矩阵 $A$ 能对角化

先看是不是对称矩阵，发现不是

再算特征值，看特征值是否都不相等

$\begin{aligned}|\lambda E-A|&=\begin{vmatrix}\lambda & 0 & -1 \\ -1 & \lambda-1 & -x \\ -1 & 0 & \lambda\end{vmatrix}\\&=(-1)^{2+2}(\lambda-1)\begin{vmatrix}\lambda&-1\\-1&\lambda\end{vmatrix}\\&=-(\lambda+1)(\lambda-1)^{2}=0\end{aligned}$

解得 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1,\lambda_{3}=-1$

发现特征值不相等，则不能使用充分条件，考虑充要条件

当 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ 时

解 $(1\cdots E-A)X=0$

需要组成基础解系的个数为 $2$ 个

$\therefore n-r(1E-A)=2$ ，其中 $n$ 为 $3$

得 $r(1E-A)=1$

$(E-A)=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -x \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1-x \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

当 $x=-1$ 时， $r(E-A)=1$

$\therefore n-r(E-A)=3-1=2$

故此时矩阵 $A$ 可对角化

实对称矩阵的对角化

一、实对称矩阵的定义

元素 $a_{ij}$ 都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵，即 $A^T=A$

二、实对称矩阵的性质

设 $\lambda_{1},\lambda_{2}$ 是对称阵 $A$ 的两个特征值， $p_1,p_2$ 是对应的特征向量。若 $\lambda_{1}\ne \lambda_{2}$ ，则 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 正交且线性无关
设 $A$ 为 $n$ 阶对称阵，则必有正交阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 是以 $A$ 的 $n$ 个特征值为对角元的对角阵
设 $A$ 为 $n$ 阶对称阵， $\lambda$ 是 $A$ 的特征方程的 $k$ 重根，则矩阵 $\lambda E-A$ 的秩 $R(\lambda E-A)=n-k$ ，从而对应特征值 $\lambda$ 恰有 $k$ 个线性无关的特征向量

三、施密特正交化

一般地，用数学归纳法可以证明

设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{m}(m\leq n)$ 是 $R^{n}$ 中的一个线性无关的向量组，若令 $\begin{gathered}\beta_1=\alpha_1\\\beta_2=\alpha_{2}-\frac{\langle\alpha_{2},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_1\\\beta_{m}=\alpha_{m}-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_{1}-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{2}\rangle}{\langle\beta_{2},\beta_{2}\rangle}\beta_{2}-\cdots-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{m-1}\rangle}{\langle\beta_{m-1},\beta_{m-1}\rangle}\beta_{m-1}\end{gathered}$

则 $\beta_{1},\cdots,\beta_{m}$ 就是一个正交向量组，若再令 $e_{i}=\frac{\beta_i}{||\beta_{i}||}(i=1,2,\cdots,m)$

就得到一个标准的正交向量组 $e_{1},\cdots,e_{m}$ ，且该向量组与 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 等价

例1：设 $A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ ，求一个正交阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP=\Lambda$ 为对角阵

$\begin{aligned}|\lambda E-A|&=\begin{vmatrix}\lambda&1&-1\\1&\lambda&-1\\-1&-1&\lambda\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}\lambda&2&-1\\1&\lambda+1&-1\\0&0&\lambda-1\end{vmatrix}\\&=(-1)^{3+3}(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2)\\&=(\lambda-1)^2(\lambda+2)=0\end{aligned}$

解得 $\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=-2$

当 $\alpha_1=\alpha_2=1$ 时

$(1E-A)\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

解得， $\alpha_{1}=(0,1,1)^T,\alpha_2=(1,0,1)^T$

当 $\alpha_{3}=-2$ 时

$(-2E-A)\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

解得， $\alpha_{3}=(-1,-1,1)^T$

令

$\beta_1=\alpha_1=(0,1,1)$

$\beta_2=\alpha_2-\frac{\langle\alpha_{2},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}-\frac12 \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}=\frac12 \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$

单位化

令

$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix},e_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$

令 $P=\begin{pmatrix}0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}$

使 $P^TAP=\Lambda=\begin{pmatrix}1 & & \\ & 1 & \\ & & -2\end{pmatrix}$

二次型及其标准形

一、二次型的定义

$n$ 个变量的一个二次齐次多项式

\begin{aligned} f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+&2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1x_n\\ +&a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n\\ &\cdots\\ &+a_{nn}x_n^2 \end{aligned}

称为 $n$ 个变量的二次型，系数均为实数时，称为 $n$ 元实二次型

二次型的矩阵形式为 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}=x^TAx$ 。其中 $A^T=A$ 为对称矩阵，称为二次型 $f$ 的对应矩阵

二、合同的定义

设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $C$ ，使 $B=C^TAC$ ，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同。记作 $A\simeq B$

三、用正交变换法化二次型为标准形

任给定二次型 $f=\sum^{n}_{i,j=1}a_{ij}x_iy_j(a_{ij}=a_{ji})$ ，总有正交变换 $x=Py$ ，使 $f$ 化为标准形 $f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$ ，其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是 $f$ 的矩阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值

例1：求一个正交变换 $x=Py$ ，把二次型 $f=-2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$ 化为标准形

$A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$

$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda&1&-1\\1&\lambda&-1\\-1&-1&\lambda\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda&2&-1\\1&\lambda+1&-1\\0&0&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2(\lambda+2)=0$

得 $\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=2$

当 $\lambda_1=\lambda_2=1$ 时

$(E-A)\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

解得 $\alpha_1=(-1,1,0)^T,\alpha_2=(1,0,1)^T$

当 $\lambda_3=-2$ 时

$(-2E-A)\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

得 $\alpha_3=(-1,-1,1)^T$

令 $\beta_1=(-1,1,0)^T,\beta_2=\alpha_2-\frac{\langle\alpha_{2},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_{1=\frac12}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$

则 $e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix},e_3=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$

令 $P=(e_1,e_2,e_3)=\begin{pmatrix}- \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}$

则在正交变换 $x=Py$ 下

能将二次型 $f$ 变换成标准形

即 $f \overset{x=Py}{=}y_{1}^2+y_2^2+2y_3^2$

四、用配方法化二次型为标准形

主要思路：凑完全平方

$f \overset{x=Cy}{=}d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2$

例2：化二次型 $f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3$ 称标准形，并求所用的变换矩阵

先配所有含有 $x_1$ 的平方，减去多余的，然后配 $x_2$ ，依次向后

$\begin{aligned}f&=(x_1+x_2+x_3)^2-x_2^2-x_3^2-2x_2x_3+2x_2^2+5x_3^2+6x_2x_3\\&=(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2+4x_3^2+4x_2x_3\\&=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^2-4x_3^2+4x_3^2\\&=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}+(x_{2}+2x_{3})^{2}+0\cdot x_3^2\end{aligned}$

令 $\begin{cases}y_1=x_1+x_2+x_3\\y_2=x_2+2x_3\\y_3=x_3\end{cases}$

则 $\begin{cases}x_1=y_1-y_2+y_3\\x_2=y_2-2y_3\\x_3=y_3\end{cases}$

令 $C=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

令 $x=Cy$

将二次型化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2$

正定二次型

一、正负惯性指数的定义

设有二次型 $f=x^TAx$ ，它的秩为 $r$ ，有两个可逆变换 $x=Cy$ 及 $x=Pz$ 使 $f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ry_r^2\quad(k_i\ne0)$ ，及 $f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\cdots+\lambda_rz_r^2\quad(\lambda_i\ne0)$ 则 $k_1,\cdots,k_r$ 中正数的个数与 $\lambda_1,\cdots,\lambda_r$ 中正数的个数相等

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，记作 $p$ ，负系数的个数称为负惯性指数，记作 $q$

二、正定二次型

1. 正定二次型的定义

设有二次型 $f(x)=x^TAx$ ，如果对任何 $x\ne0$ ，都有 $f(x)>0$ （显然 $f(0)=0$ ），则称 $f$ 为正定二次型，并称对称阵 $A$ 是正定的；如果对任何 $x\ne0$ 都有 $f(x)<0$ ，则称 $f$ 为负定二次型，并称对称阵 $A$ 是负定的

2. 二次型正定的充要条件

$n$ 元二次型 $f(x)=x^TAx$ 为正定的充分必要条件是：它的标准形的 $n$ 个系数全为正，即它的规范形的 $n$ 个系数全为 $1$ ，亦即它的正惯性指数等于 $n$

矩阵的规范形，即整的系数化为 $1$ ，负的系数化为 $-1$ ，不存在的系数为 $0$

例如： $f=2y_1^2+3y_2^2-7y^2_3$ ，规范形 $f=z^2_1+z^2_2-z^2_3$

3. 二次型矩阵正定的充要条件

对称阵 $A$ 的正定的充分必要条件是： $A$ 的特征值全为正
对称阵 $A$ 的正定的充分必要条件是： $A$ 的各阶主子式都是正，即 $a_{11}>0,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}>0,\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}>0$

【线性代数】相似矩阵及二次型