本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

矩阵的初等变换

一、初等变换

1. 初等变换的定义

下面三种变换称为矩阵的初等行变换

对调两行（对调 $i,j$ 两行，记作 $r_{i}\leftrightarrow r_j$
以数 $(k\ne0)$ 乘某一行中的所有元素（第 $i$ 行乘 $k$ ，记作 $r_{i}\times k$ ）
把某一行所有元素的 $k$ 倍加到另一行对应的元素上去（第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行，记作 $r_{i}+kr_{j}$ ）

把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“ $r$ “换成” $c$ “）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换

2. 行最简形矩阵的定义

非零行的第一个非零元为 $1$ ，且这些非零元所在的列的其他元素都为 $0$

例如： $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

非零行的第一个非零元为 $1$ ：第一、二、三行的第一个非零元都是 $1$
且这些非零元所在的列的其他元素都为 $0$ ：如第二行的第一个非零元，即 $1$ ，其所在的列其他元素都为 $0$

二、矩阵等价

1. 矩阵等价的定义

如果矩阵 $A$ 经过有限次初等行变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 行等价，记作 $A\overset{r}{\sim} B$ ；如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 列等价，记作 $A\overset{c}{\sim} B$ ；如果A经过有限次初等变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价，记作 $A \sim B$ 。（ $A,B$ 是同型矩阵）

2. 矩阵等价的性质

矩阵之间的等价关系具有以下性质

反身性： $A\sim A$
对称性：若 $A\sim B$ ，则 $B\sim A$
传递性：若 $A\sim B,B\sim C$ ，则 $A\sim C$

3. 矩阵等价的定理

设 $A$ 与 $B$ 为 $m\times n$ 矩阵，那么：

$A\overset{r}{\sim} B$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使 $PA=B$
$A\overset{c}{\sim} B$ 的充分必要条件是存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ，使 $AQ=B$
$A\sim B$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵及 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ，使 $PAQ=B$

三、初等矩阵

1. 初等矩阵的定义

由单位阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

2. 三种初等矩阵

把单位阵中的第 $i,j$ 两行（或第 $i,j$ 两列）对调，得初等矩阵
以数 $k\ne0$ 乘单位阵的第 $i$ 行（或第 $i$ 列），得初等矩阵
以 $k$ 乘 $E$ 的第 $j$ 行加到第 $i$ 行上或以 $k$ 乘 $E$ 的第 $i$ 列加到第 $j$ 列上，得初等矩阵

3. 初等矩阵的性质

设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，对 $A$ 施行一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A$ 施行一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以相应的 $n$ 阶初等矩阵
方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是，存在有限个初等矩阵 $P_{1},P_{2},\cdots,P_{l}$ ，使 $A=P_{1}P_{2}\cdots P_{l}$

例1：设 $A=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -2 & 3 & 0\end{pmatrix}$ ，证明 $A$ 可逆，并求 $A^{-1}$

思路：构建矩阵 $(A|E)$ ，将 $A$ 的部分通过初等行变换变成 $E$ ，同时 $E$ 变成 $A^{-1}$

$\begin{aligned}(A|E)&=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\&E \text{的部分变成上三角矩阵}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\\&\text{将非主对角线上的数变成}0\\ &\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 18 & 9 & 12 \\ 0 & -2 & 0 & -8 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\\&\text{主对角线上的值变为}1\\&\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\\&=(E|A^{-1})\end{aligned}$

故 $A^{-1}=\begin{pmatrix}6 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 \\ 9 & 4 & 6\end{pmatrix}$

矩阵的秩

一、 $k$ 阶子式的定义

在 $m\times n$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行与 $k$ 列（ $k\leq m,k\leq n$ ），位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，不改变它们在 $A$ 中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $k$ 阶子式

二、矩阵的秩的定义

设在矩阵 $A$ 中有一个不等于 $0$ 的 $r$ 阶子式 $D$ ，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于 $0$ ，那么 $D$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$ （也可写作 $r(A)$ ）。并规定零矩阵的秩等于 $0$

三、矩阵秩的性质

$0\leq R(A_{m\times n})\leq\min\{m,n\}$
$R(A^{T})=R(A)$
$R(AB)\leq\min\{R(A),R(B)\}$
若 $P,Q$ 可逆，则 $R(PAQ)=R(A)$

证明：

$r(PAQ)\leq r(AQ)$

$r(AQ)=r(EAQ)=r(P^{-1}PAQ)\leq r(PAQ)$

$\therefore r(PAQ)=r(AQ)$

$r(AQ)\leq r(A)$

$r(A)=r(AE)=r(AQQ^{-1})\leq r(AQ)$

$\therefore r(A)=r(AQ)=r(PAQ)$

$\max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B)$ ，特别的，当 $B=b$ 为非零向量时，有 $R(A)\leq R(A,b)\leq R(A)+1$
$R(A+B)\leq R(A)+R(B)$
若 $A\sim B$ ，则 $R(A)=R(B)$
若 $A_{m\times n}B_{n\times l}=O$ ，则 $R(A)+R(B)\leq n$

求矩阵的秩，可以用定义求，建议将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵的秩为行列式的行值

例1：设 $A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 \\ 2 & -4 & 8 & 0 \\ -2 & 4 & -2 & 3 \\ -1 & -6 & 0 & -6\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}$ ，求矩阵 $A$ 及矩阵 $B=(A,b)$ 的秩

$\begin{aligned}B=[A|b]&=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & -4 & 8 & 0 & 2 \\ -2 & 4 & -2 & 3 & 3 \\ -1 & -6 & 0 & -6 & 4\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & -8 & 2 & -7 & 5\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -8 & 2 & -7 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 0\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -8 & 2 & -7 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{aligned}$

$\therefore r(A)=3,r(B)=4$

线性方程组的解

一、线性方程组的定义

设有 $n$ 个未知数 $m$ 个方程的线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}$ ，可以写成以向量 $x$ 为未知元的向量方程 $Ax=b$ ，则 $n$ 元线性方程 $Ax=b$

无解的充分必要条件是 $R(A)<R(A,b)$
有唯一解得充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)=n$
有无限多解得充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)<n$

$n$ 是未知数的个数，也是系数矩阵 $A$ 的列数

二、步骤

对 $[A|b]$ 进行初等行变换，化为行最简形
令自由未知量分别取 $1$ ，其余取 $0$ ，得到非自由未知量的值。得到基础解系 $(n-r(A))$ ，即齐次方程通解 $k_{1}\xi_{1}+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$
令自由未知量取 $0$ ，得到非自由未知量，即特解 $\eta$ ，故非齐次方程通解 $y+k_{1}\eta_1+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}$

首先要先判断有没有解！

齐次方程组没有第三步。做了也是 $O$ 矩阵

例1：求其次线性方程组 $\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0\\2x_{1}+x_{2}-2x_{3}-2x_{4}\\x_{1}-x_{2}-4x_{3}-3x_{4}\end{cases}$

$\begin{aligned}A&=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -4 & -3\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}$

$n-r=4-2=2$

（此处根据令自由未知量分别取 $1$ ，其余取 $0$ ，得到非自由未知量的值。得到基础解系 $(n-r(A))$ ，即齐次方程通解 $k_{1}\xi_{1}+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$ 一步一步演示）

先设 $\xi_{1}=\begin{pmatrix}\\\\1 \\ 0\end{pmatrix},\xi_{2}=\begin{pmatrix} \\ \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$

（注意，无论是非齐次还是齐次线性方程组，此处都不需要使用增广矩阵，只使用系数矩阵 $A$ ）

将 $\xi_{1}=\begin{pmatrix}\\\\1 \\ 0\end{pmatrix}$ 分别代入矩阵

第一行得 $x_{1}$ 的系数为 $2$

第二行得 $x_{2}$ 的系数为 $-2$

则 $\xi_{1}=\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$

同理 $\xi_{2}=\begin{pmatrix}- \frac{5}{3} \\ - \frac{4}{3} \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$

（齐次线性方程组没有最后一步）

故通解为 $x=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=k_{1} \xi_{1}+k_{2}\xi_{2}=k_{1}\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+k_{2}\begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ - \frac{4}{3} \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\quad(k_1,k_2$ 为任意常数 $)$

例2：设有线性方程组 $\begin{cases}(1+\lambda)x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}+(1+\lambda)x_{2}+x_{3}=3\\x_{1}+x_{2}+(1+\lambda)x_{3}=\lambda\end{cases}$ ，讨论方程组解的情况，并求无限解时的通解

法1：

$\begin{aligned}(A|b)&=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1+x & \lambda \\ 0 & \lambda & -\lambda & 3-\lambda \\ 0 & 0 & -\lambda(3+\lambda) & (1-\lambda)(3+\lambda)\end{pmatrix}\end{aligned}$

当 $\lambda\ne0$ 且 $\lambda\ne-3$ 时， $r(A)=3=r(A|b)=3$ ，有唯一解
当 $\lambda=0$ 时， $r(A)=1\ne r(A|b)=2$ ，无解
当 $\lambda=-3$ 时， $r(A)=r(A|b)=2<3$ ，无限多解

当 $\lambda=-3$ 时

$(A|b)=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$n-r=3-2=1$

$\therefore \xi=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},y=\begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}$

$\therefore$ 通解为 $y+k\xi\quad(k$ 为任意常数 $)$

法2：

观察到系数矩阵 $A$ 为方阵

有唯一解即 $r(A)=r(A|b)=3 \Leftrightarrow|A|\ne0$

有无限多解 $r(A)=r(A|b)<3\Leftrightarrow|A|=0$

$|A|=\begin{vmatrix}1+\lambda&1&1\\1&1+\lambda&1\\1&1&1+\lambda\end{vmatrix}=(3+\lambda)\lambda^2=0$

解得 $\lambda=-3$ 或 $\lambda=0$

（此处只能得到唯一解得解集，其余的需要代入讨论）

当 $\lambda\ne0$ 且 $\lambda\ne-3$ 时， $r(A)=3=r(A|b)=3$ ，有唯一解
当 $\lambda=0$ 时

$(A|b)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$r(A)\ne r(A|b)$ 无解

当 $\lambda=-3$ 时

$(A|b)=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -2 & -3\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$