本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

矩阵

一、矩阵的定义

已知$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_22 & \cdots & a_2 \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}$，这$m\times n$个数称为矩阵$A$的元素，简称为元，数$a_{ij}$位于矩阵$A$的第$i$行第$j$列，称为矩阵$A$的$(i,j)$元。以数$a_{ij}$为$(i,j)$元的矩阵可简记作$(a_{ij})$或$(a_{ij})_{m\times n}$，$m\times n$的矩阵$A$也记作$A_{m\times n}$

 

当两个矩阵的行数相同，列数也相同时，则称它们是同型矩阵

 

二、线性变换的定义

$n$个变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$与$m$个变量$y_1,y_2,\cdots,y_n$之间的关系式$\begin{cases}y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\\y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\\cdots\\y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n\end{cases}$表示从一个变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$到变量$y_1,y_2,\cdots,y_m$的线性变换，其中$a_{ij}$为常数，线性变换的系数$a_{ij}$构成矩阵$A=(a_{ij})_{m\times n}$

 

三、几种特殊的矩阵

1. 零矩阵

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作$O$

 

2. 对角矩阵

$\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}$

这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是$0$，我们把这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，对角阵也记作$\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$

 

$\Lambda^n=\begin{pmatrix}\lambda_1^n&0&\cdots&0\\0&\lambda_2^n&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n^n\end{pmatrix}$

 

3. 单位矩阵

我们把$E=\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}$

这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（叫做（主）对角线）上的元素都是$1$，其他元素都是$0$

 

矩阵的运算

一、矩阵的加法

1. 定义

设有两个$m\times n$矩阵$A=(a_{ij}))$和$B=(b_{ij})$（同型矩阵），那么矩阵$A$与$B$的和记作$A+B$，规定为$A+B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}$

 

2. 运算规律

矩阵加法满足下列运算规律（设$A,B,C$都是$m\times n$矩阵）

• $A+B=B+A$

• $(A+B)+C=A+(B+C)$

 

二、数与矩阵相乘

1. 定义

数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记作$\lambda A$或$A \lambda$，规定为$\lambda A=A \lambda=\begin{pmatrix}\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots  & \lambda a_{mn}\end{pmatrix}$

 

2. 运算规律

数乘矩阵满足下列运算规律（设$A,B$为$m\times n$矩阵，$\lambda,\mu$为数）

• $(\lambda \mu)A=\lambda(\mu A)$

• $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$

• $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

 

三、矩阵与矩阵相乘

1. 定义

设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$矩阵，那么规定矩阵$A$与矩阵$B$的乘积是一个$m\times n$矩阵$C=(c_{ij})$，其中$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj},(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$并把乘积记作$C=AB$

 

2. 运算规律

矩阵的乘法满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）

• $(AB)C=A(BC)$

• $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$

• $A(B+C)=AB+AC$

 

注意$AB\ne BA$

 

四、矩阵的转置

1. 定义

把矩阵$A$的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做$A$的转置矩阵，记作$A^T$

可以看做以主对角线为对称轴，翻转矩阵

 

2. 运算规律

矩阵的转置满足下列运算规律（假设运算都是可行的）

• $(A^T)^T=A$

• $(A+B)^T=A^T+B^T$

• $(\lambda A)^{T=\lambda}A^T$

• $(AB)^T=B^TA^T$

 

五、方阵的行列式

1. 定义

由$n$阶方阵$A$的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵$A$的行列式，记作$|A|$或$\det A$

 

2. 运算规律

由$A$确定$|A|$的这个运算满足下列运算规律（设$A,B$为$n$阶方阵，$\lambda$为数）

• $|A^T|=|A|$

• $|\lambda A|=\lambda^n|A|$

• $|AB|=|A||B|$

 

逆矩阵

一、逆矩阵的定义

定义：对于$n$姐矩阵$A$，如果有一个$n$阶矩阵$B$，使$AB=BA=E$，则说矩阵$A$是可逆的，并把矩阵$B$称为矩阵$A$的逆矩阵，简称逆阵。$A$的逆阵记作$A^{-1}$，即若$AB=BA=E$，则$B=A^{-1}$

 

二、性质

• 若矩阵$A$可逆，则$|A|\ne0$

• 若$|A|\ne0$，则矩阵$A$可逆，且$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$，其中$A^*$为矩阵$A$的伴随阵，即$A^*=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}$（该式由$AA^*=|A|E$推出）

• 若$AB=E$（或$BA=E$），则$B=A^{-1}$

 

三、充要条件

$A$是可逆矩阵的充分必要条件是$|A|\ne0$，即可逆矩阵就是非奇异矩阵

 

四、运算规律

方阵点的逆矩阵满足下列运算规律

• 若$A$可逆，则$A^{-1}$亦可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$

• 若$A$可逆，数$\lambda\ne 0$，则$\lambda A$可逆，且$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$

• 若$A,B$为同阶矩阵且均可逆，则$AB$以亦可逆，且$(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

 

例1：设$P=\begin{pmatrix}1 & 2  \\ 1 & 4\end{pmatrix},\Lambda=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix},AP=P \Lambda$，求$A^n$

$|P|=2\ne0$，故$P$为可逆矩阵

有$A=P \Lambda P^{-1}$

$A^{n}=P \Lambda P^{-1}\cdot P \Lambda P^{-1}\cdots P \Lambda P^{-1}=P \Lambda^{n}P^{-1}$

$P^*=\begin{pmatrix}4 & -2 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$

$\therefore P^{-1}=\frac{P^{*}}{|P|}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$

$\therefore A^{n}=P \Lambda P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4-2^{n+1} & -2+2^{n-1} \\ 4-2^{n+2 } & -2+2^{n+2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2^{n} & 2^{n}-1 \\ 2-2^{n+1} & 2^{n+1}-1\end{pmatrix}$

 

矩阵分块法

一、分块矩阵的定义

定义 ：我们将矩阵$A$用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为$A$的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵

 

例1：设$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 0\end{pmatrix}$，求$AB$

$A=\begin{pmatrix}E & 0 \\ A_{1} & E\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}B_{11} & E \\ B_{21} & B_{22}\end{pmatrix}$

$AB=\begin{pmatrix}EB_{11}+0\cdot B_{21} & EE+0\cdot B_{22} \\ A_{1}B_{11}+EB_{21} & A_{1}E+EB_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}B_11 & E \\ A_{1}B_{11}+B_{21} & A_{1}+B_{22}\end{pmatrix}$

$A_{1}B_{11}+B_{21}=\begin{pmatrix}-2 & 4 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$

$A_1+B_{22}=\begin{pmatrix}3 & 3 \\ 3 & 1\end{pmatrix}$

故$AB=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 3 & 1\end{pmatrix}$

 

例2：证明矩阵$A=O$的充分必要条件是方阵$A^TA=O$

必要性：

$\because A=O\quad \therefore A^{TA=O\cdot}O=O$

充分性：

设$A_{m\times n}=\begin{pmatrix}\alpha_{1} & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{pmatrix}$，其中$\alpha_{i}=\begin{pmatrix}a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{ni}\end{pmatrix}$

$A^TA=\begin{pmatrix}\alpha_{1}^T \\ \alpha_{2}^T \\ \cdots\\\alpha_{n}^T\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_{1}^{T}\alpha_{1} &\alpha_{1}^{T}\alpha_{2}  & \cdots & \alpha_{1}^{T}\alpha_{n}  \\ \alpha_{2}^{T}\alpha_{1}  & \alpha_{2}^{T}\alpha_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{T}\alpha_{n}  \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ \alpha_{n}^{T}\alpha_{1}  & \alpha_{n}^{T}\alpha_{2}  & \cdots & \alpha_{n}^{T}\alpha_{n}  \end{pmatrix}=O$

又$\because A^TA=0$

$\therefore \alpha_{i}^{T}\alpha_{j}=0\quad(i,j=1,\cdots,n)$

当$i=j$时，即$\alpha_{i}^{T}\alpha_{i}=0$

又$\because \alpha_{i}=\begin{pmatrix}a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{ni}\end{pmatrix}$

$\alpha_{i}^{T}\alpha_{i}=\begin{pmatrix}a_{1i}  & a_{2i} & \cdots & a_{ni}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{ni}\end{pmatrix}=a_{1i}^{2}+a_{2i}^{2}+\cdots+a_{ni}^{2}=0$

$\therefore a_{1i}=a_{2i}=\cdots=a_{ni}=0$

$\therefore \alpha_{i}=O\quad(i=1,2,\cdots,n)$

$\therefore A=O$