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常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

定义：如果级数$\sum^\infty_{i=1}u_i$的部分和数列${s_n}$有极限$s$，即$\lim_{n\to\infty}s_n=s$，那么称无穷级数$\sum^\infty_{i=1}u_i$收敛，这时极限$s$叫做这级数的和，并写成$s=u_1+u_2+\cdots+u_i+\cdots$；如果${s_n}$没有极限，那么称无穷级数$\sum^\infty_{i=1}u_i$发散

 

例1：判断无穷级数$\frac1{1\cdot2}+\frac2{2\cdot3}+\cdots+\frac n{n\cdot(n+1)}+\cdots$的收敛性

$u_n=\frac n{n\cdot(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$

故$s_n=(1-\frac12)+(\frac12-\frac13)+\cdots+(\frac1n-\frac1{n+1})=1-\frac1{1-n}$

$\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}(1-\frac1{1+n})=1$

故级数收敛

 

二、收敛级数的基本性质

性质1：如果级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$收敛于和$s$，那么级数$\sum^\infty_{n=1}ku_n$也收敛，且其和为$ks$

 

性质2：如果级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$与$\sum^\infty_{n=1}v_n$分别收敛于$s$与$\sigma$，那么级数$\sum^\infty_{n=1}(u_n\pm v_n)$也收敛，且其和为$s\pm\sigma$

 

性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性

 

性质4：如果级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数$(u_1+\cdots+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+\cdots+u_{n_2}))+\cdots+(u_{n_{k-1}+1}+\cdots+u_{n_k})+\cdots$仍收敛，且其和不变。反之不成立

 

性质5（级数收敛的必要条件）：如果级数$\sum^\infty_{n=1}$收敛，那么它的一般项$u_n$趋于零，即$\lim_{n\to\infty}u_n=0$。反之不成立

 

常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

定理1：正项级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$收敛的充分必要条件是：它的部分和数列${s_n}$有界

 

$p$级数敛散性，很重要，比较的根源

$\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^p}=\begin{cases}\text{收敛}\quad p>1\\\text{发散}\quad p\leq1\end{cases}$

 

定理2（比较审敛法）：设$\sum^\infty_{n=1}u_n$和$\sum^\infty_{n=1}v_n$都是正项级数，且$u_n\leq v_n\quad(n=1,2,\cdots)$，若级数$\sum^\infty_{n=1}v_n$收敛，则级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$收敛；反之，若级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$发散，则级数$\sum^\infty_{n=1}v_n$发散

 

例1：证明级数$\sum^\infty_{n=1}\frac1{\sqrt{n(n+1)}}$是发散的

$\sqrt{n(n+1)}<\sqrt{(n+1)^2}\Rightarrow \frac1{\sqrt{n(n+1)}}>\frac1{n+1}$

$\sum^\infty_{n=1}=\frac12+\frac13+\cdots+=\sum^\infty_{n=2}\frac1n$

$\therefore \sum^\infty_{n=1}\frac1{n+1}$发散

由比较审敛法知级数$\sum^\infty_{n=1}\frac1{\sqrt{n(n+1)}}$发散

 

定理3（比较审敛法的极限形式）：设$\sum^\infty_{n=1}u_n$和$\sum^\infty_{n=1}v_n$都是正项级数

• 如果$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\quad(0\leq l<+\infty)$，且级数$\sum^\infty_{n=1}v_n$收敛，那么级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$收敛

• 如果$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l>0$或$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=+\infty$，且级数$\sum^\infty_{n=1}v_n$发散，那么级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$发散

 

例2：判定级数$\sum^\infty_{n=1}\sin\frac1n$的收敛性

$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac1n}{\frac1n}=1$

$\because$ 级数$\sum^\infty_{n=1}\frac1n$发散

$\therefore$ 级数$\sum^\infty_{n=1}\sin\frac1n$发散

 

定理4（比值审敛法，达朗贝尔（d'Alembert）判别法）：设$\sum^\infty_{n=1}u_n$为正项级数，如果$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，那么当$\rho<1$时级数收敛，$\rho>1$（或$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\infty$）时级数发散，$\rho=1$时级数可能收敛也可能发散（用定理2、定理3判断）

$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\begin{cases}\rho<1\quad\text{收敛}\\\rho>1\quad\text{发散}\\\rho=1\quad\text{无法判断，用定理2、定理3}\end{cases}$

常用于遇到$n!$级数

 

例3：判断级数$\frac1{10}+\frac{1\cdot2}{10^2}+\frac{1\cdot2\cdot3}{10^3}+\cdots+\frac{n!}{10^n}+\cdots$的收敛性

$\sum^\infty_{n=1}\frac{n!}{10^n}$

故$u_n=\frac{n!}{10^n}$

$\rho=\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}(n+1)=+\infty$

故级数发散

 

定理5（根值审敛法，柯西判别法）：设$\sum^\infty_{n=1}u_n$为正项级数，如果$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$，那么当$\rho<1$时级数收敛，$\rho>1$（或$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=+\infty$）时级数发散，$\rho=1$时级数可能收敛也可能发散

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\begin{cases}\rho<1\quad\text{收敛}\\\rho>1\quad\text{发散}\\\rho=1\quad\text{无法判断，用定理2、定理3}\end{cases}$

 

例4：判断级数$\sum^\infty_{n=1}\frac{2+(-1)^n}{2^n}$的收敛性

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2+(-1)^n}{2^n}}=\frac12\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2+(-1)^n}=\frac12<1$

估计数收敛

 

定理6（极限审敛法）：设$\sum^\infty_{n=1}u_n$为正项级数，

• 如果$\lim_{n\to\infty}nu_n=l>0$（或$\lim_{n\to\infty}nu_n=+\infty$），那么级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$发散

• 如果p>1，而果$\lim_{n\to\infty}n^pu_n=l\quad(0\leq l<+\infty)$，那么级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$收敛

 

定理6可以看做定理3，如定理6第一条对应定理3第二条$\lim_{n\to\infty}nu_n=\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{\frac1n}=l>0$。另一条同理

 

例5：判断级数$\sum^\infty_{n=1}\sqrt{n+1}(1-\cos\frac\pi n)$的收敛性

$n\to\infty$时，$1-\cos\frac\pi n\sim\frac12\frac{\pi^2}{n^2}=\frac{\pi^2}2\cdot\frac1{n^2}$

$\lim_{n\to\infty}n^{\frac32}\sqrt{n+1}\cdot(1-\cos\frac\pi n)=\lim_{n\to\infty}\frac{\pi^2}2\cdot\frac{n^{\frac32}\cdot\sqrt{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}2$

又$\because p=\frac32>1$

故级数收敛

 

二、交错级数及其审敛法

定理7（莱布尼茨定理）：如果交错级数$\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}u_n$满足条件

• $u_n\geq u_{n+1}\quad(n=1,2,3,\cdot)$

• $\lim_{n\to\infty}u_n=0$

 

那么级数收敛，且其和$s\leq u_1$

 

例6：交错级数$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdot+(-1)^{n-1}\frac1n+\cdots$满足条件

$u_n=\frac1n>\frac1{n+1}=u_{n+1}\quad(n=1,2,\cdots)$

$\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$

所以级数收敛，且其和$s<1$。如果去前$n$项和$s_n=1-\frac12+\frac13-\cdots+(-1)^{n-1}\frac1n$作为$s$的近似值

 

三、绝对收敛与条件收敛

若$\sum^\infty_{n=1}|u_n|$收敛，称$\sum^\infty_{n=1}u_n$绝对收敛

若$\sum^\infty_{n=1}|u_n|$发散，且$\sum^\infty_{n=1}u_n$收敛，称$\sum^\infty_{n=1}u_n$条件收敛

 

定理：如果级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$绝对收敛，那么级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$必定收敛

 

性质

• 若级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$和级数$\sum^\infty_{n=1}v_n$均绝对收敛，则$\sum^\infty_{n=1}u_n\pm v_n$也绝对收敛

• 若级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$绝对收敛，级数$\sum^\infty_{n=1}v_n$条件收敛，则$\sum^\infty_{n=1}u_n\pm v_n$条件收敛

• 若级数$\sum^\infty_{n=1}u_n$和级数$\sum^\infty_{n=1}v_n$均条件收敛，则$\sum^\infty_{n=1}u_n\pm v_n$可能条件收敛，可能绝对收敛

 

幂级数

一、幂级数及其收敛性

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是常数乘幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，它的形式就是$\sum^\infty_{n=0}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$其中常数$a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$叫做幂级数的系数

 

1. 阿贝尔（Abel）定理

如果级数$\sum^\infty_{n=0}a_nx^n$当$x=x_0(x_0\ne0)$时收敛，那么适合不等式$|x|<|x_0|$的一切$x$使这幂级数绝对收敛，如果级数$\sum^\infty_{n=0}a_nx^n$当$x=x_0$时发散，那么适合不等式$|x|>|x_0|$的一切使$x$这幂级数发散

 

推论：如果幂级数$\sum^\infty_{n=0}a_nx^n$不是仅在$x=0$一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数$R$存在，使得

• 当$|x|<R$时，幂级数绝对收敛

• 当$|x|>R$时，幂级数发散

• 当$x=R$与$x=-R$时，幂级数可能收敛也可能发散

 

2. 收敛半径的判别方法

如果$\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$，其中$a_n,a_{n+1}$是幂级数$\sum^\infty_{n=0}a_nx^n$的相邻两项的系数，那么幂级数的收敛半径$R=\begin{cases}\frac1\rho\quad\rho\ne0\\+\infty\quad\rho=0\\0\quad\rho=+\infty\end{cases}$

 

例1：求幂级数$x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}n+\cdots$收敛半径和收敛域

$\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}n$

$a_n=\frac{(-1)^{n-1}}n$

$\rho=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=1$

$R=\frac1\rho1$

当收敛半径为$1$

 

收敛域包含端点，需要计算端点是否收敛；收敛区间是个开区间，不需要计算端点

 

当收敛区间为$(-1,1)$

当$x=-1$时

级数$=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}n\cdot(-1)^n=-\sum^\infty_{n=1}\frac1n$，发散

当$x=1$时

级数$=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}n\cdot1^n$，由莱布尼茨判别法知级数收敛

故收敛域为$(-1,1]$

 

例2：求幂级数$\sum^\infty_{n=0}\frac{(2n)!}{(n)!}x^{2n}$的收敛半径

对于缺项的幂级数不能使用一般收敛半径的判别法，该题使用达朗贝尔判别法

$u_n(x)=\frac{(2n)!}{(n)!}x^{2n}$

$\lim_{n\to\infty}|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\lim_{n\to\infty}|\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}\cdot x^2|=4|x^2|<1$

$\because |x|<\frac12$

则$R=\frac12$

 

例3：求幂级数$\sum^\infty_{n=1}\frac{(x-1)^n}{2^n\cdot n}$的收敛域

令$t=x-1$

则级数$=\sum^\infty_{n=1}\frac{t^n}{2^n\cdot n}$

$\rho=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac12$

$\therefore R=\frac1\rho=2$

则$t$的收敛区间为$(-2,2)$，则$x$的收敛区间为$(-1,3)$

当$x=-1$

级数$=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-2)^n}{2^n\cdot n}=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n}n$，级数收敛

当$x=3$时

级数$=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-2)^n}{2^n\cdot n}=\sum^\infty_{n=1}\frac{1}n$，级数发散

则收敛域为$[-1,3)$

 

二、幂级数的运算

性质1：幂级数$\sum^\infty_{n=1}a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛域$I$上连续

 

性质2：幂级数$\sum^\infty_{n=1}a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛域$I$上可积，并有逐项积分公式$\int^x_0s(t)dt=\int^x_0[\sum^\infty_{n=0}a_nt^n]dt=\sum^\infty_{n=0}\int^x_0a_nt^ndt=\sum^\infty_{n=0}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\quad(x\in I)$逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径（收敛域可能不同）

 

性质3：幂级数$\sum^\infty_{n=1}a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛区间$(-R,R)$内可导，且有逐项求导公式$s'(x)=(\sum^\infty_{n=1}a_nx^n)'=\sum^\infty_{n=1}(a_nx^n)'=\sum^\infty_{n=1}na_nx^{n-1}\quad(|x|<R)$逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径（收敛域可能不同）

 

展开成幂级数

给定$f(x)$，若能找到一个幂级数$\sum^\infty_{n=0}a_nx^n$，使该幂级数在其收敛区间$I$上的和函数就是$f(x)$，即$f(x)=\sum^\infty_{n=0}a_nx^n,x\in I$，则称函数$f(x)$在区间$I$上能展开为$x$的幂级数，并称$\sum^\infty_{n=0}a_nx^n$为$f(x)$在$x=0$处的幂级数（麦克劳林）展开式

 

定理：函数$f(x)$在区间$I$上能展开为$x$的幂级数$\sum^\infty_{n=0}a_nx^n$的充分必要条件是$f(x)$在$I$上任意阶可导，且$\lim_{n\to\infty}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}=0$，而此时系数$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!},n=0,1,2,\cdots$

 

几个重要函数的麦克劳林展开式

$\begin{aligned}e^x=\sum^\infty_{n=0}\frac{x^n}{n!},-\infty<x<+\infty\end{aligned}$

$\begin{aligned}\sin x=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},-\infty<x<+\infty\end{aligned}$

$\begin{aligned}\cos x=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},-\infty<x<+\infty\end{aligned}$

$\begin{aligned}\ln(1+x)=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1},-1<x\leq1\end{aligned}$

$\begin{aligned}\frac1{1-x}=\sum^\infty_{n=0}x^n,-1<x<1\end{aligned}$

 

使用定理进行展开属于直接法，较麻烦，一般不考虑。一般使用间接法，如例1中的方法

 

例1：把函数$f(x)=\frac1{x^2+4x+3}$展开成$(x-1)$的幂级数

$\begin{aligned}f(x)&=\frac1{(x+1)(x+3)}\\&=\frac1{2(1+x)}-\frac1{2(3+x)}\\&=\frac1{4(1+\frac{x-1}2)}-\frac1{8(1+\frac{x-1}4)}\\&=\frac14\sum^\infty_{n=0}(-\frac{x-1}2)^n-\frac18\sum^\infty_{n=0}(-\frac{x-1}4)^n\\&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n(\frac1{2^{n+2}}-\frac1{2^{2n+3}})(x-1)^n\end{aligned}$

由$-1<-\frac{x-1}2<1$且$-1<-\frac{x-1}4<1$

知$-1<x<3$

 

傅里叶级数

一、函数展开为傅里叶级数

1. 傅里叶级数的定义

$f(x)$以$2\pi$为周期

$f(x)=\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\quad(1)$

$a_0=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)dx$

$\begin{cases}a_n=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)\cos nxdx\quad(n=0,1,2,3,\cdots)\\b_n=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)\sin nxdx\quad(n=1,2,3,\cdots)\end{cases}\quad(2)$

 

如果公式$(2)$中的积分都存在，这时他们定出的系数$a_0,a_1,b_1,\cdots$叫做函数$f(x)$的傅里叶（Fourier）系数，将这些系数带入式$(1)$右端，所得的三角级数$\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$叫做函数$f(x)$的傅里叶级数

 

2. 狄利克雷收敛定理

定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）：设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，如果它满足：

• 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点

• 在一个周期内至多只有有限个极值点

 

那么$f(x)$的傅里叶级数收敛，并且

• 当$x$是$f(x)$的连续点时，级数收敛于$f(x)$

• 当$x$是$f(x)$的间断点时，级数收敛于$\frac12[f(x^-)+f(x^+)]$

 

例1：设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，它在$[-\pi,\pi)$上的表达式为$f(x)=\begin{cases}-1,-\pi\leq x<0\\1,0\leq x<\pi\end{cases}$，将$f(x)$展开为傅里叶级数

$\begin{aligned}a_0=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)dx=0\end{aligned}$

$\begin{aligned}a_n=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)\cdot\cos nxdx=0\end{aligned}$

$\begin{aligned}b_n&=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)\cdot\sin nxdx\\&=\frac2\pi\int^\pi_01\cdot \sin nxdx\\&=\frac2\pi(-\frac1n)\cos nx|^\pi_0\\&=\begin{cases}\frac4{n\pi},n=1,3,5,\cdots\\0,n=2,4,6,\cdots\end{cases}\end{aligned}$

则

$\begin{aligned}f(x)&=\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}[a_n\cos nx+b_n\sin nx]\\&=0+\sum^\infty_{n=1}[0+\frac4{(2n-1)\pi}\sin(2n-1)\cdot x]\\&=\frac4\pi\sum^\infty_{n=1}\frac1{2n-1}\sin(2n-1)\cdot x\\&(-\infty<x<+\infty,x\ne0,\ne\pm\pi,\pm2\pi,\cdots,\pm n\pi\end{aligned}$

 

二、正弦级数和余弦级数

当$f(x)$为奇函数时，$f(x)\cos nx$是奇函数，$f(x)\sin nx$是偶函数，故$\left\{\begin{aligned}&a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\\&b_n=\frac2\pi\int^\pi_0f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\cdots)\end{aligned}\right.$

即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数，为$\sum^\infty_{n=1}b_n\sin nx$

当$f(x)$为偶函数时，$f(x)\cos nx$是偶函数，$f(x)\sin nx$是奇函数，故$\left\{\begin{aligned}&a_n=\frac2\pi\int^\pi_0f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\cdots)\\&b_n=0(n=1,2,3,\cdots)\end{aligned}\right.$

即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数，为$\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}a_n\cos nx$

 

例2：设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，它在$[-\pi,\pi)$上的表达式为$f(x)=|x|$，将$f(x)$展开成傅里叶级数

$\because f(x)=|x|$

$\therefore b_n=0$

$\begin{aligned}a_0=\frac2\pi\int^\pi_0xdx=\pi\end{aligned}$

$\begin{aligned}a_n&=\frac2\pi\int^\pi_0x\cos nxdx\\&=\frac2\pi\cdot\frac1n\int^\pi_0xd\sin nx\text{（循环积分）}\\&=\frac2\pi(\frac{x\sin nx}n+\frac{\cos nx}{n^2})|^\pi_0\\&=\frac2\pi\frac1{n^2}(\cos n\pi-1)\\&=\begin{cases}0\quad n=2,4,6,\cdots\\\frac{-4}{n^2\cdot\pi}\quad n=1,3,5,\cdots\end{cases}\end{aligned}$

则

$\begin{aligned}f(x)&=\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}a_n\cos nx\\&=\frac\pi2-\frac4\pi\sum^\infty_{n=1}\frac1{(2n-1)^2}\cos(2n-1)x\quad(-\infty<x<+\infty)\end{aligned}$

 

一般周期函数的傅里叶级数

定理：设周期为$2l$的周期函数$f(x)$满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为

$f(x)=\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos\frac{n\pi x}l+b_n\sin\frac{n\pi x}l)\quad(x\in C)$

其中

$\begin{aligned}a_n=\frac1l\int^l_{-l}f(x)\cos\frac{n\pi x}ldx(n=0,1,2,\cdots)\end{aligned};$

$\begin{aligned}b_n=\frac1l\int^l_{-l}f(x)\sin\frac{n\pi x}ldx(n=0,1,2,\cdots)\end{aligned};$

$\begin{aligned}C=\{x|f(x)=\frac12[f(x^-)+f(x^+)]\}\end{aligned}$

 

当$f(x)$为奇函数时，$f(x)=\sum^\infty_{n=1}b_n\sin\frac{n\pi x}l(x\in C)$，其中$b_n=\frac2l\int^l_0f(x)\sin\frac{n\pi x}ldx(n=0,1,2,3,\cdots)$；当$f(x)$为奇函数时，$f(x)=\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}a_n\cos\frac{n\pi x}l(x\in C)$，其中$a_n=\frac2l\int^l_0f(x)\cos\frac{n\pi x}ldx(n=0,1,2,3,\cdots)$；

 

例1：设$f(x)$为周期为$4$的周期函数，它在$[-2,2)$上的表达式为$f(x)=\begin{cases}0,-2\leq x<0\\h,0\leq x<2\end{cases}$（常数$h\ne0$），将$f(x)$展开成傅里叶级数

$\begin{aligned}a_0=\frac12\int^2_{-2}f(x)dx=\frac12[\int^0_{-2}0dx+\int^2_0hdx]=h\end{aligned}$

$\begin{aligned}a_n=\frac12\int^2_{-2}f(x)\cdots\cos\frac{n\pi x}2dx=\frac h2\frac2{n\pi}\sin\frac{n\pi x}2|^2_0=0\end{aligned}$

$\begin{aligned}b_n&=\frac12\int^2_{-2}f(x)\sin\frac{n\pi x}2dx\\&=\frac h2(-\frac2{n\pi})\cos\frac{n\pi x}2|^2_0\\&=\frac h{n\pi}(1-\cos n\pi)\\&=\begin{cases}\frac{2h}{n\pi},n=1,3,5,\cdots\\0,n=2,4,6,\cdots\end{cases}\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(x)&=\frac h2+\sum^\infty_{n=1}\frac{2h}{(2n-1)\pi}\cdots\sin\frac{(2n-1)\pi x}2\\&=\frac h2+\frac{2h}\pi\sum^\infty_{n=1}\frac1{(2n-1)\pi}\sin\frac{(2n-1)\pi x}2\quad(-\infty<x<+\infty,x\ne0,\pm2,\pm4\cdots)\end{aligned}$