本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

多元函数的基本概念

一、多元函数的极限

1. 二元函数的定义

设$D$是平面上的一个点集，若对每个点$P(x,y)\in D$，变量$z$按照某一对应法则f有一个确定的值与之对应，则称$z$为$x,y$的二元函数，记为$z=f(x,y)$，其中点集$D$称为该函数的定义域，$x,y$称为自变量，$z$称为因变量，函数$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记为$f(D)$

通常情况下，二元函数$z=f(x,y)$在几何上表示一张空间曲面

 

2. 二元函数的极限

设函数$f(x,y)$在区域$D$上有定义，点$P_0(x_0,y_0)\in D$或为$D$的边界点，如果$\forall \xi>0$，存在$\xi>0$，当$P(x,y)\in D$，且$0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\xi$时，都有$|f(x,y)-A|<\xi$成立，则称常数$A$为函数$f(x,y)$当$(x,y)\to(x_0,y_0)$时的极限，记为$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$或$\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}f(x,y)=A$或$\lim_{P\to P_0}f(P)=A$

 

例1：求$\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}x$

法1（凑$\frac{\sin a}a$）：

原式$=\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}{xy}\cdot\frac{xy}x=1\cdot\lim_{(x,y)\to(0,2)}y=2$

法2（等价无穷小）：

原式$=\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{xy}x=2$

 

二、多元函数的连续性

1. 二元函数连续性的概念

设二元函数$f(P)=f(x,y)$的定义域为$D$。$P_0(x_0,y_0)$为$D$上的点，如果$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，那么称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续

 

2. 多元连续函数的性质

• 多元连续函数经过四则运算法则仍为连续函数

• 多元连续函数的复合函数仍为连续函数

• 有界性与最大最小值定理：在有界闭区域$D$上的多元连续函数，必定在$D$上有界，且在$D$上能取得它的最大值与最小值

• 在有界闭区域$D$上的多元连续函数，必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

 

偏导数

一、偏导数的定义及计算方法

1. 偏导数的定义

设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$，而$x$在$x_0$处有增量$\Delta x$时，相应的函数有增量$f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$，如果$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$存在，那么称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作$\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{\substack{x=x_0\\y=y_0}}$，$\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{\substack{x=x_0\\y=y_0}}$，$z_x\Big|_{\substack{x=x_0\\y=y_0}}$，$f_x(x_0,y_0)$

 

2. 偏导函数的定义

如果函数$z=f(x,y)$在区域$D$内每一点$(x,y)$处对$x$的偏导都存在，那么这个偏导数就是$x,y$的函数，它就称为函数$z=f(x,y)$对自变量$x$的偏导函数，记作$\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial f}{\partial x}$，$z_x$，$f_x(x,y)$，类似的，可以定义函数$z=f(x,y)$对自变量$y$的偏导函数，记作$\frac{\partial z}{\partial y}$，$\frac{\partial f}{\partial y}$，$z_y$，$f_y(x,y)$

 

例1：求$z=x^2+3xy+y^2$在点$(1,2)$处的偏导数

$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+3y$

$\frac{\partial z}{\partial y}=3x+2y$

代入$x=1,y=2$得

$\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{\substack{x=1\\y=2}}=8$

$\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{\substack{x=1\\y=2}}=7$

 

二、高阶偏导数

1. 高阶偏导数的定义

设函数$z=f(x,y)$在区域$D$内具有偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x,y)$，$\frac{\partial z}{\partial y}=f_y(x,y)$，于是在$D$内$f_x(x,y)$，$f_y(x,y)$都是$x,y$的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，那么称它们是函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同于下列四个二阶偏导数

$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y)\end{aligned}$

$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)\end{aligned}$

$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x,y)\end{aligned}$

$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y)\end{aligned}$

其中第二、三这两个偏导数称为混合偏导数，同样可得三阶、四阶……以及$n$阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

 

例2：证明函数$u=\frac1r$满足方程$\frac{\partial^u}{\partial x^2}+\frac{\partial^u}{\partial y^2}+\frac{\partial^u}{\partial z^2}=0$其中$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}=-\frac1{r^2}\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-x\frac1{r^3}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\frac{\partial^u}{\partial x^2}=-[\frac1{r^3}+x\cdot(-3)r^{-4}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}]=-\frac1{r^3}+3\frac{x^2}{r^5}\end{aligned}$

由变量对称性得

$\begin{aligned}\frac{\partial^u}{\partial y^2}=-\frac1{r^3}+3\frac{y^2}{r^5}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\frac{\partial^u}{\partial z^2}=-\frac1{r^3}+3\frac{z^2}{r^5}\end{aligned}$

则$\begin{aligned}\frac{\partial^u}{\partial x^2}+\frac{\partial^u}{\partial y^2}+\frac{\partial^u}{\partial z^2}=-\frac3{r^3}+3\frac{x^2+y^2+z^2}{r^5}=0\end{aligned}$

证毕

 

全微分

一、全微分的定义

设函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的某邻域内有定义，如果函数在点$(x,y)$的全增量$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$可以表示为$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，其中$A$和$B$是不依赖于$\Delta x$和$\Delta y$而仅与$x$和$y$有关（$A=\frac{\partial z}{\partial x},B=\frac{\partial z}{\partial y}$），$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，那么称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分，而$A\Delta x+B\Delta y$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分，记作$dz$，即$dz=A\Delta x+B\Delta y$

 

二、全微分存在的必要条件

如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分，那么该函数在点$(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$与$\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，且函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分为$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$

 

证明：

$\because z=f(x,y)$在$(x,y)$处可微分

故$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$成立

令$\Delta y=0$时，$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=|\Delta x|$

$f(x+\Delta x,y)-f(x,y)=A\Delta x+o(|\Delta x|)$

两边同除$\Delta x$， 得

$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=A+\lim_{\Delta x\to0}\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}=A$

故$\frac{\partial z}{\partial x}=A$

同理令$\Delta x=0$

得$\frac{\partial z}{\partial y}=B$

 

区别：一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但对于多元函数而言，歌偏导数存在是全微分存在的必要条件而不是充分条件

一元函数

 

二元函数

 

二元函数的图形往往是个曲面，对应的定义域是个二维平面。偏导数只是曲面上沿着x轴或者y轴方向的变化率，而微分必须是曲面上某一个很小的“小平面代曲面”

这里就有了问题，存在偏导数，说明沿着x轴方向和y轴方向可以带，但是斜着的方向不一定，斜方向可能一下就是个无穷大无穷小，这样就不能小平面近似了

作者：xynnn 

链接：www.zhihu.com/question/48… 

 

$\partial x$与$dx$其实是同一个东西，可以约掉变成$dz=\partial z+\partial z$。但是这明显不对，两个∂z其实是有区别的，第一个是沿着$x$方向$z$的变化，一个是沿着$y$方向$z$的变化，不妨区分一下写成$dz=\partial_xz+\partial_yz$。   这告诉我们由于$x,y$的变化，造成的$z$的变化可以分解成两个部分相加，由$x$变化造成的$\partial_xz$，由$y$变化造成的$\partial_yz$。就像在矢量分解一样。设长方形$OBPA$，$OP=dr=(dx,dy)$。如果记$P$点与$O$点$z$值的差为$z(OP)$那么，$z(OP)=z(OA)+z(OB)$。

作者：unidentified2015

链接：www.bilibili.com/read/cv1249…

 

 

例1：证明$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},x^2+y^2\ne0\\0,x^2+y^2=0\end{cases}$在$(0,0)$处偏导数存在但不可微

$f'_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x-0}=0$

故$f'_x(0,0)=0$存在

由变量对称性得，$f'_y(0,0)=0$存在

$\begin{aligned}\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}(\Delta z-f'_x(0,0)\Delta x-f'_y(0,0)\Delta y)=\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}&=\frac{\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}}\rho\\&=\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\\&\overset{\text{令}\Delta y=k\Delta x}{=}\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y=k\Delta x\to0}}\frac{k(\Delta x)^2}{(\Delta x)^2+k^2(\Delta x)^2}\not\equiv 0\end{aligned}$

 

三、全微分存在的充分条件

如果函数$z=f(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial x}$在点$(x,y)$连续，那么函数在该点可微分

 

证明：

$\begin{aligned}\Delta z&=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\&=[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]+[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]\end{aligned}$

$[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]\overset{\text{拉格朗日中值定理}}{=}\underbrace{f'_x(x+\theta_1\Delta x,y+\Delta y)}_{f'_x(x,y)+\xi_1}\Delta x\quad(0<\theta_1<1)$

此处用到了拉格朗日中值定理带有$\theta$的形式即

$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)=f'[a+\theta(b-a)](b-a)\quad(0<\theta<1)$

 

设$f'_x(x,y)$在点$(x,y)$连续

则

$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)=f'_x(x,y)\Delta x+\xi_1\Delta x\quad(\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\xi_1=0)$

同理得

$f(x,y+\Delta y)-f(x,y)=f'_y(x,y)\Delta y+\xi_2\Delta y\quad(\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\xi_2=0)$

故

$\Delta z=f'_x(x,y)\Delta x+f'_y(x,y)\Delta y+\xi_1\Delta x+\xi_2\Delta y$

当$\Delta x\to0,\Delta y\to0$时

$0\leq\Big|\frac{\xi_,\Delta x+\xi_2\Delta y}\rho\Big|\leq|\xi_1\frac{\Delta x}\rho|+|\xi_2\frac{\Delta y}\rho|$

对于$\frac{\Delta x}\rho=\frac{\Delta x}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\leq1$

因此

$|\xi_1\frac{\Delta x}\rho|+|\xi_2\frac{\Delta y}\rho|\leq|\xi_1|+|\xi_2|\to0$

故

$\xi_1\Delta x+\xi_2\Delta y=o(\rho)$

故可微分

 

例2：计算函数$u=x+\sin\frac y2+e^{yz}$的全微分

$\frac{\partial u}{\partial x}=1$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac12\cos \frac y2+ze^{yz}$

$\frac{\partial u}{\partial z}=ye^{yz}$

故全微分$du=dx+(\frac12\cos \frac y2+ze^{yz})dy+ye^{yz}dz$

 

多元复合函数求导法则

一、一元函数与多元函数复合

如果函数$u=u(t)$及$v=v(t)$都在点$t$可导，函数$z=f(u,v)$在对应点$(u,v)$具有连续偏导数，那么复合函数$z=f[u(t),v(t)]$在点$t$可导，且有$\begin{aligned}\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}\end{aligned}$

 

建议画图，方便理解$z\begin{cases}u\to t\\v\to t\end{cases}$

 

二、多元函数与多元函数复合

如果函数$u=u(x,y)$及$v=v(x,y)$都在点$(x,y)$具有对$x$及对$y$的偏导数，函数$z=f(u,v)$在对应点$(u,v)$具有连续偏导数，那么复合函数$z=f[u(x,y),v(x,y)]$在点$(x,y)$的两个偏导数都存在，且有$\begin{aligned}\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\frac{dz}{dy}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\end{aligned}$

 

建议画图，方便理解$z\begin{cases}u\begin{cases}x\\y\end{cases}\\v\begin{cases}x\\y\end{cases}\end{cases}$

 

例1：设$u=f(x,y,z)=e^{x^2+y^2+z^2}$，而$z=x^2\sin y$，求$\frac{\partial u}{\partial x}$和$\frac{\partial u}{\partial y}$

$u=f\begin{cases}x\\y\\z\begin{cases}x\\y\end{cases}\end{cases}$

$\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x}&=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\\&=e^{x^2+y^2+z^2}\cdot2x+e^{x^2+y^2+z^2}\cdot2z\cdot2x\sin y\\&=2xe^{x^2+y^2+z^2}(1+2x^2\sin^2y)\end{aligned}$

同理不再展示计算过程

$\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial y}=2e^{x^2+y^2+x^4\sin^2y}(y+x^4\sin y\cos y)\end{aligned}$

 

例2：设$w=f(x+y+z,xyz)$，$f$具有二阶连续偏导数，求$\frac{\partial w}{\partial x}和\frac{\partial^2w}{\partial x\partial z}$

令$u=x+y+z,v=xyz$

$f\begin{cases}u\begin{cases}x\\y\\z\end{cases}\\v\begin{cases}x\\y\\z\end{cases}\end{cases}$

则

$\begin{aligned}\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}+yz\frac{\partial f}{\partial v}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\frac{\partial w}{\partial x}\end{aligned}\begin{cases}u\begin{cases}x\\y\\z\end{cases}\\v\begin{cases}x\\y\\z\end{cases}\end{cases}$

原函数的偏导数也是关于$u,v$的函数

$\begin{aligned}\frac{\partial^2w}{\partial x\partial z}&=\frac{\partial^2f}{\partial u^2}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}\frac{\partial v}{\partial z}+y\frac{\partial f}{\partial v}+yz(\frac{\partial^2f}{\partial v\partial u}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial^2f}{\partial v^2}\frac{\partial v}{\partial z})\\&=\frac{\partial^2f}{\partial u^2}+xy\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}+y\frac{\partial f}{\partial v}+yz(\frac{\partial^2f}{\partial v\partial u}+xy\frac{\partial^2f}{\partial v^2})\\&\text{注意因为混合导数求导顺序不同，结果相同，所以}\frac{\partial^2f}{\partial x\partial z},\frac{\partial^2f}{\partial z\partial x}\text{要合并起来}\\&=y\frac{\partial f}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial u^2}+xy^2z\frac{\partial^2f}{\partial v^2}+(xy+yz)\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}\end{aligned}$

也可以用$f'_1$表示$\frac{\partial f}{\partial u}$，用$f'_2$表示$\frac{\partial f}{\partial v}$

过程相同，结果为$f''_{11}+(xy+yz)f''_{12}+yf'_2+xy^2zf''_{22}$

 

隐函数求导公式

隐函数存在定理1：设函数$F(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$的某一邻域内具有连续偏导数，且$F(x_0,y_0)=0,F'_y(x_0,y_0)\ne0$，则方程$F(x,y)=0$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数$y=f(x)$，它满足条件$y_0=f(x_0)$，并有$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x'}{F_y'}$。该公式即为隐函数求导公式

 

例1：验证方程$x^2+y^2-1=0$在点$(0,1)$的某一邻域内唯一确定一个有连续导数，当$x=0,y=1$时的隐函数$y=f(x)$，并求着函数的一阶及二阶导数在$x=0$的值

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_y}=-\frac xy$

$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0}=0$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{x^2}=-\frac1{y^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2}\Big|_{x=0}=-1$

 

隐函数存在定理2：设函数$F(x,y,z)$在点$P(x_0,y_0,z_0)$的某一邻域内具有连续偏导数，且$F(x_0,y_0,z_0)=0,F'_z(x_0,y_0,z_0)\ne0$，则方程$F(x,y,z)=0在点(x_0,y_0,z_0)$的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数$z=f(x,y)$，它满足条件$z_0=f(x_0,y_0)$，并有$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y}{F'_z}$

 

多元函数微分学的几何应用

一、空间曲线的切线与法平面

设空间曲线$\Gamma$的参数方程为$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}\quad t\in[\alpha,\beta]$，且$x(t),y(t),z(t)$在$[\alpha,\beta]$上均可导，且导数不同时为$0$，则曲线$\Gamma$在点$M(x_0,y_0,z_0)$处的切线方程为$\begin{aligned}\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}\end{aligned}$，法平面方程为$x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$，其中$(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$为曲线$\Gamma$在点$M(x_0,y_0,z_0)$处的一个切向量

 

例1：曲线x=t,y=t^2,z=t^3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程

x'(t)=1,y'(t)=2y,z'(t)=3t^2

则切向量，$\boldsymbol s=(1,2,3)$

切线方程为，$\begin{aligned}\frac{x-1}1=\frac{y-1}2=\frac{z-1}3\end{aligned}$

法平面方程为，$1\cdot(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0$，即$x+2y+3z-6=0$

 

二、曲面的切平面与法线

• 设曲面$\Sigma$为$F(x,y,z)=0$，$M(x_0,y_0,z_0)$为曲面$\Sigma$上的一点，且在$M(x_0,y_0,z_0)$处的偏导数连续且不同时为$0$，则曲面$\Sigma$在点$M(x_0,y_0,z_0)$处的切平面方程为$F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$，法线方程$\begin{aligned}\frac{x-x_0}{F'_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}\end{aligned}$，其中$\boldsymbol n=(F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0))$为曲面$\Sigma$在点$M(x_0,y_0,z_0)$处的一个法向量

• 如果曲面方程为$z=z(x,y)$，则其法向量为$\boldsymbol n=(-z'_x,-z'_y,1)$。切平面方程：$-z'_x(x-x_0)-z'_y(y-y_0)+1\cdot(z-z_0)=0$。法线：$\begin{aligned}\frac{x-x_0}{-\frac{\partial z}{\partial x}}=\frac{y-y_0}{-\frac{\partial z}{\partial y}}=\frac{z-z_0}1\end{aligned}$

      可以用该方法的，移项以后也可以用前面的方法

 

例2：求旋转抛物面$z=x^2+y^2-1$在点$(2,1,4)$处的切平面及法线方程

$\boldsymbol n=(-z_x',-z_y',1)=(-2x,-2y,1)=(-4,-2,1)$

故且平面方程为$(-4)(x-2)+(-2)(y-1)+1\cdot(z-4)=0$，即$4x+2y-z-6=0$

法线方程为$\begin{aligned}\frac{x-2}{-4}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-4}1\end{aligned}$

方向导数与梯度

一、方向导数

方向导数的定义

如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处可微分，那么函数在该点沿任一方向$l$的方向导数存在，为$\frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{(x_0,y_0)}=f'_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f'_y(x_0,y_0)\cos\beta$，其中$\cos\alpha和\cos\beta$是方向$l$的方向余弦

 

例1：求函数$z=x^2+y^2$在点$(1,2)$处沿从点$(1,2)$到点$(2+2\sqrt3)$的方向的方向导数

$\boldsymbol l=(1,\sqrt3)$

则与$\boldsymbol l$同向的单位向量$\boldsymbol {e_1}=(\frac12,\frac{\sqrt3}2)$

$\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,2)}=2x\Big|_{(1,2)}=2$

$\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(1,2)}=2y\Big|_{(1,2)}=4$

则$\frac{\partial z}{\partial l}\Big|_{(1,2)}=2\times\frac12+4\times\frac{\sqrt3}2=1+2\sqrt3$

 

二、梯度

梯度的定义

设函数$f(x,y)$在平面区域$D$内具有一阶连续偏导数，则对于每一点$P_0(x_0,y_0)\in D$，都可定出一个向量$f'_x(x_0,y_0)\boldsymbol i+f'_y(x_0,y_0)\boldsymbol j$，称为函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的梯度，记作$\boldsymbol{grad}f(x_0,y_0)$，即$\boldsymbol{grad}f(x_0,y_0)=f'_x(x_0,y_0)\boldsymbol i+f'_y(x_0,y_0)\boldsymbol j$

 

例2：求$\boldsymbol{grad}\frac1{x^2+y^2}$

则$f(x,y)=\frac1{x^2+y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}$

则$\boldsymbol{grad}\frac1{x^2+y^2}=-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}\boldsymbol i-\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}\boldsymbol j$

 

多元函数极值及其求法

一、多元函数的极值

1. 多元函数极值的定义

设函数$z=f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$为$D$内的点，若存在$P_0$的某个邻域$U(P_0)\subset D$，使得对于该邻域内异于$P_0$的任何点$(x,y)$，都有$f(x,y)<f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处有极大值$f(x_0,y_0)$，点$(x_0,y_0)$称为函数$f(x,y)$的极大值点；若对于该邻域内异于$P_0$的任何点$(x,y)$，都有$f(x,y)>f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处有极小值$f(x_0,y_0)$，点$(x_0,y_0)$称为函数$f(x,y)$的极小值点

 

2. 多元函数极值的必要条件

设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处具有偏导数，且在点$(x_0,y_0)$处有极值，则有$f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0$

 

3. 多元函数极值的充分条件（判别方法）

设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，且$f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0$，令$A=f''_{xx}(x_0,y_0),B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0)$，则$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处是否取得极值的条件如下：

• $AC-B^2>0$时具有极值，且当$A<0$时有极大值，当$A>0$时有极小值

• $AC-B^2<0$时没有极值

• $AC-B^2=0$时，无法判断，需要用定义判断

 

例1：求函数$f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$的极值

令$\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2+6x-9=0\\\frac{\partial f}{\partial x}=-3y^2+6y=0\end{cases}\quad$解得$(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)$

$\begin{aligned}&\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=6x+6\\&\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=0\\&\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=-6y+6\end{aligned}$

当在点$(1,0)$时，$A=12,B=0,C=6$

$AC-B^2>0$

又$\because A=12>0$，故为极小值，为$f(1,0)=-5$

当在点$(1,2)$时，$A=12,B=0,C=-6$

$AC-B^2<0$，不是极值

当在点$(1,2)$时，$A=-12,B=0,C=6$

$AC-B^2<0$，不是极值

当在点$(-3,2)$时，$A=-12,B=0,C=-6$

$AC-B^2>0$

又$\because A=-12<0$，故为极大值，为$f(-3,2)=31$

 

二、条件极值

拉格朗日数乘法

步骤：

1. 先做拉格朗日函数$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\phi(x,y)\quad$（其中$\lambda$为参数）。一般会出现，求$f(x,y)$在$\phi(x,y)=0$的条件下的极值/最值

2. 令$\begin{cases}L'_x(x,y,\lambda)=0\\L'_y(x,y,\lambda)=0\\L'_\lambda(x,y,\lambda)=0\end{cases}$，得到可能的极值点

3. 将求出的可能的极值点带入$f(x,y)$中，根据实际情况去判断

几何意义

设给定目标函数$f(x,y)$，约束条件为$\phi(x,y)=0$

如图所示，曲线$L$为约束条件$\phi(x,y)=0$，$f(x,y)=C$为目标函数的等值线族

在$f(x,y),\phi(x,y)$偏导数都连续的条件下，目标函数$f(x,y)$在约束条件$\phi(x,y)=0$下的可能极值点$M(x_0,y_0)$，从几何上看，必是目标函数等值线曲线族中与约束条件相切的那个切点

因为两曲线在切点处必有公切线，所以目标函数等值线在点$M(x_0,y_0)$处法向量$\{f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)\}$与约束条件曲线在点$M(x_0,y_0)$处法向量$\{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)\}$平行，即$\begin{aligned}\frac{f'_x(x_0,y_0)}{\phi'_x(x_0,y_0)}=\frac{f'_y(x_0,y_0)}{\phi'_y(x_0,y_0)}\end{aligned}$

也就是说存在实数$\lambda$，使下式成立$\{f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)\}+\lambda\{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)\}=0$

需要注意的是，目标函数等值线与约束条件曲线的切点未必就是目标函数$f(x,y)$在约束条件$\phi(x,y)=0$下的极值点（如图中的$M_2$点）

链接：baike.baidu.com/item/%E6%8B…

 

例2：求$f(x,y,z)$在闭区域$D$上的最值

先求无条件极值$\begin{cases}f'_x=0\\f'_y=0\\f'_z=0\end{cases}$，求出可能的极值点，及驻点

再求条件极值，令$L=(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda\phi$

令$\begin{cases}L'_x=0\\L'_y=0\\L'_z=0\\L'_\lambda=0\end{cases}$，求得可能的极值

两个结果对照，都存在的点即为极值，最大的即为最大值，最小的即为最小值

 

例3：求函数$u=xyz$在附加条件$\frac1x+\frac1y+\frac1z=\frac1a\quad(x>0,y>0,z>0,a>0)$下的极值

$F(x,y,z,\lambda)=xyz+\lambda(\frac1x+\frac1y+\frac1z-\frac1a)$

令$\begin{cases}\frac{\partial F}{\partial x}=yz-\frac\lambda{x^2}=0\quad\text{(1)}\\\frac{\partial F}{\partial y}=xz-\frac\lambda{y^2}=0\quad\text{(2)}\\\frac{\partial F}{\partial z}=xy-\frac\lambda{z^2}=0\quad\text{(3)}\\\frac{\partial F}{\partial \lambda}=\frac1x+\frac1y+\frac1z-\frac1a=0\quad\text{(4)}\end{cases}$

当$\lambda=0$时，不符合题意

当$\lambda\ne0$时

$(1)\cdot x-(2)\cdot y$得$\frac\lambda x=\frac\lambda y$

$(1)\cdot x-(3)\cdot z$得$\frac\lambda x=\frac\lambda z$

故$x=y=z$

将$x=y=z$代入$(4)$式得

$\frac3x=\frac1a$，故$x=y=z=3a$

由$\frac1z=\frac1a-\frac1x-\frac1y$，得$z=\frac1{\frac1a-\frac1x-\frac1y}$

代入$u=xyz$中，得$u=xy\cdot z(x,y)$

（注意此处应当验证无条件极值$(3a,3a,3a)$是可能存在的极值点，但由于条件极值只有一个答案，所以此处过程省略。如果按照一般步骤先算无条件极值，再算条件极值，则不能省略）

$u_{\text{极小值}}(3a,3a,3a)=27a^3$