leetcode题解:回溯算法经典例题N皇后c++详解

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题目描述

给定一个整数 n,返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。 每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案,该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。 皇后不能在同一行,同一列,以及同一对角斜线上。

解题思路

回溯算法其实是搜索一个决策树,每次搜索完一层重置状态到搜索之前,以做出别的选择,这样就可以不重不漏。 所以解题思路第一步是分析如何做决策。 因为要在NxN的棋盘上摆N个皇后,且皇后不能在同一行,所以我们可以一行一行的放置皇后,每行放一个。(当然一列一列放也可以) 而在一行中放置皇后时,需要遍历该行的每一列的位置,看该位置是否可以放置皇后,这就需要根据当前棋盘的状态进行判断。 最后如果我们搜索到最后一行的下一行,说明所有的行都找到了合适的位置,则此时的棋盘状态就是N皇后的一个解。 当然N皇后可以是无解的(比如N=3时),这种情况在没有搜索到最后一行之前就会退出。

OK,看一下具体的步骤:

需要定义一个全局的棋盘状态,因为题目要求返回vector<vector<string>>,所以定义棋盘状态为: vector<string> board(n, string(n, '.')); 即所有的位置初始化为不放置皇后。

定义回溯函数(即深度优先搜索的递归函数) void backtrack(vector<string>& board, int row, vector<vector<string>>& res) 首先我们需要传入棋盘状态 board, 我们需要不断的修改这个状态,也需要用这个状态来判断某位置是否可以放置皇后 然后,因为我们是一行一行搜索的,所以需要有参数row表示当前是哪一行。 最后,我们传入最终返回的结果集合的引用 vector<vector<string>>& res

成功退出条件


    if(row==board.size()){
        res.emplace_back(board);
        return;
    }
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我们一行一行搜索,每搜索成功一行,将row+1并再次递归调用 backtrack 函数,因此当最后一行搜索成功后,row就等于N (row从0开始),只要判断 row==board.size()即可只此时的棋盘状态已经成功放置了N个皇后。由于本题c++中返回的是vector<vector>,其中保存的不是棋盘状态的引用(java),所以直接使用 res.emplace_back(board)即可,不需要像java那样拷贝一个新的对象。

核心搜索过程(剪枝+回溯)

for(int col=0; col<n; ++col){
    if(!isValid(board, row, col)){
        continue;
    }

    board[row][col] = 'Q';
    backtrack(board, row+1, res);
    board[row][col] = '.';
}
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backtrack函数中我们针对当前row的每一列进行选择,首先要根据N皇后的规则进行剪枝,如果满足条件则棋盘当前位置(row,col)被放置上一个皇后,然后我们继续搜索下一层:backtrack(board, row+1, res); 这会在当前的状态下一直递归下去,直到成功或失败退出。无论是否成功,从此处的下一层调用返回本层后,我们撤销当前位置放置的皇后(回溯),然后选择下一列进行检测,如果位置有效,则继续向下一层搜索。 关于isValid: 判断当前位置(row,col)是否有效,只需要在当前状态的基础上检查即可。因为是row从0开始向下搜索的,所以只需向上检查[0~row-1]的行中是否有和当前位置冲突的皇后。

代码

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<vector<string>> res; 
        vector<string> board(n, string(n, '.'));
        backtrack(board, 0, res);
        return res;
    }

    void backtrack(vector<string>& board, int row, vector<vector<string>>& res){
        if(row==board.size()){
            res.emplace_back(board);
            return;
        }

        int n = board[row].size();
        for(int col=0; col<n; ++col){
            if(!isValid(board, row, col)){
                continue;
            }

            board[row][col] = 'Q';
            backtrack(board, row+1, res);
            board[row][col] = '.';
        }
    }

    bool isValid(vector<string>& board, int row, int col){
        int n = board.size();
        //检查同列
        for(int i=0; i<row; i++){
            if(board[i][col]=='Q'){
                return false;
            }
        }
        //右上
        for(int i=row-1, j=col+1; i>=0 && j<n; i--, j++){
            if(board[i][j]=='Q'){
                return false;
            }
        }
        //左上
        for(int i=row-1, j=col-1; i>=0 && j>=0; i--, j--){
            if(board[i][j]=='Q'){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
};
复制代码

总结

回溯算法 = 全局状态 + 按层次搜索 + [剪枝] + 回溯 找出这几个点,基本上算法就写出来了。某些问题,如全排列,没有剪枝,因为题目就是要求所有的可能。

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