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题目

给定一个整数数组 nums，处理以下类型的多个查询:

计算索引 left 和 right（包含 left 和 right）之间的 nums 元素的 和，其中 left <= right 实现 NumArray 类：

• NumArray(int[] nums) 使用数组 nums 初始化对象
• int sumRange(int i, int j) 返回数组 nums 中索引 left 和 right 之间的元素的 总和，包含 left 和 right 两点（也就是 nums[left] + nums[left + 1] + ... + nums[right] ）

示例 1：

• 输入： ["NumArray", "sumRange", "sumRange", "sumRange"] [[[-2, 0, 3, -5, 2, -1]], [0, 2], [2, 5], [0, 5]]
• 输出： [null, 1, -1, -3]
  
• 解释： NumArray numArray = new NumArray([-2, 0, 3, -5, 2, -1]) numArray.sumRange(0, 2); // return 1 ((-2) + 0 + 3) numArray.sumRange(2, 5); // return -1 (3 + (-5) + 2 + (-1)) numArray.sumRange(0, 5); // return -3 ((-2) + 0 + 3 + (-5) + 2 + (-1))

方法一：前缀和

思路及解法

最朴素的想法是存储数组 $\textit{nums}$ 的值，每次调用 $\text{sumRange}$ 时，通过循环的方法计算数组 $\textit{nums}$ 从下标 $i$ 到下标 $j$ 范围内的元素和，需要计算 $j-i+1$ 个元素的和。由于每次检索的时间和检索的下标范围有关，因此检索的时间复杂度较高，如果检索次数较多，则会超出时间限制。

由于会进行多次检索，即多次调用 $\text{sumRange}$，因此为了降低检索的总时间，应该降低 $\text{sumRange}$ 的时间复杂度，最理想的情况是时间复杂度 $O(1)$。为了将检索的时间复杂度降到 $O(1)$，需要在初始化的时候进行预处理。

注意到当 $i \le j$ 时，$\text{sumRange}(i,j)$ 可以写成如下形式：

$\begin{aligned} &\quad \ \text{sumRange}(i,j) \\ &=\sum\limits_{k=i}^j \textit{nums}[k] \\ &= \sum\limits_{k=0}^j \textit{nums}[k] - \sum\limits_{k=0}^{i-1} \textit{nums}[k] \end{aligned}$

由此可知，要计算 $\text{sumRange}(i,j)$，则需要计算数组 $\textit{nums}$ 在下标 $j$ 和下标 $i-1$ 的前缀和，然后计算两个前缀和的差。

如果可以在初始化的时候计算出数组 $\textit{nums}$ 在每个下标处的前缀和，即可满足每次调用 $\text{sumRange}$ 的时间复杂度都是 $O(1)$。

具体实现方面，假设数组 $\textit{nums}$ 的长度为 $n$，创建长度为 $n+1$ 的前缀和数组 $\textit{sums}$，对于 $0 \le i<n$ 都有 $\textit{sums}[i+1]=\textit{sums}[i]+\textit{nums}[i]$，则当 $0<i \le n$ 时，$\textit{sums}[i]$ 表示数组 $\textit{nums}$ 从下标 $0$ 到下标 $i-1$ 的前缀和。

将前缀和数组 $\textit{sums}$ 的长度设为 $n+1$ 的目的是为了方便计算 $\text{sumRange}(i,j)$，不需要对 $i=0$ 的情况特殊处理。此时有：

$\text{sumRange}(i,j)=\textit{sums}[j+1]-\textit{sums}[i]$

代码

class NumArray {
    
    var sums: [Int]

    init(_ nums: [Int]) {
        sums = Array.init(repeating: 0, count: nums.count + 1)
        for i in 0..<nums.count {
            sums[i + 1] = sums[i] + nums[i]
        }
    }
    
    func sumRange(_ left: Int, _ right: Int) -> Int {
        return sums[right + 1] - sums[left]
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：初始化 $O(n)$，每次检索 $O(1)$，其中 $n$ 是数组 $\textit{nums}$ 的长度。 初始化需要遍历数组 $\textit{nums}$ 计算前缀和，时间复杂度是 $O(n)$。 每次检索只需要得到两个下标处的前缀和，然后计算差值，时间复杂度是 $O(1)$。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 $\textit{nums}$ 的长度。需要创建一个长度为 $n+1$ 的前缀和数组。