Swift - LeetCode - 区域和检索 - 数组不可变

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题目

给定一个整数数组 nums,处理以下类型的多个查询:

计算索引 left 和 right(包含 left 和 right)之间的 nums 元素的 ,其中 left <= right 实现 NumArray 类:

  • NumArray(int[] nums) 使用数组 nums 初始化对象
  • int sumRange(int i, int j) 返回数组 nums 中索引 left 和 right 之间的元素的 总和,包含 left 和 right 两点(也就是 nums[left] + nums[left + 1] + ... + nums[right] )

示例 1:

  • 输入: ["NumArray", "sumRange", "sumRange", "sumRange"] [[[-2, 0, 3, -5, 2, -1]], [0, 2], [2, 5], [0, 5]]
  • 输出: [null, 1, -1, -3]
  • 解释: NumArray numArray = new NumArray([-2, 0, 3, -5, 2, -1]) numArray.sumRange(0, 2); // return 1 ((-2) + 0 + 3) numArray.sumRange(2, 5); // return -1 (3 + (-5) + 2 + (-1)) numArray.sumRange(0, 5); // return -3 ((-2) + 0 + 3 + (-5) + 2 + (-1))

方法一:前缀和

思路及解法

最朴素的想法是存储数组 nums\textit{nums} 的值,每次调用 sumRange\text{sumRange} 时,通过循环的方法计算数组 nums\textit{nums} 从下标 ii 到下标 jj 范围内的元素和,需要计算 ji+1j-i+1 个元素的和。由于每次检索的时间和检索的下标范围有关,因此检索的时间复杂度较高,如果检索次数较多,则会超出时间限制。

由于会进行多次检索,即多次调用 sumRange\text{sumRange},因此为了降低检索的总时间,应该降低 sumRange\text{sumRange} 的时间复杂度,最理想的情况是时间复杂度 O(1)O(1)。为了将检索的时间复杂度降到 O(1)O(1),需要在初始化的时候进行预处理。

注意到当 iji \le j 时,sumRange(i,j)\text{sumRange}(i,j) 可以写成如下形式:

 sumRange(i,j)=k=ijnums[k]=k=0jnums[k]k=0i1nums[k]\begin{aligned} &\quad \ \text{sumRange}(i,j) \\ &=\sum\limits_{k=i}^j \textit{nums}[k] \\ &= \sum\limits_{k=0}^j \textit{nums}[k] - \sum\limits_{k=0}^{i-1} \textit{nums}[k] \end{aligned}

由此可知,要计算 sumRange(i,j)\text{sumRange}(i,j),则需要计算数组 nums\textit{nums} 在下标 jj 和下标 i1i-1 的前缀和,然后计算两个前缀和的差。

如果可以在初始化的时候计算出数组 nums\textit{nums} 在每个下标处的前缀和,即可满足每次调用 sumRange\text{sumRange} 的时间复杂度都是 O(1)O(1)

具体实现方面,假设数组 nums\textit{nums} 的长度为 nn,创建长度为 n+1n+1 的前缀和数组 sums\textit{sums},对于 0i<n0 \le i<n 都有 sums[i+1]=sums[i]+nums[i]\textit{sums}[i+1]=\textit{sums}[i]+\textit{nums}[i],则当 0<in0<i \le n 时,sums[i]\textit{sums}[i] 表示数组 nums\textit{nums} 从下标 00 到下标 i1i-1 的前缀和。

将前缀和数组 sums\textit{sums} 的长度设为 n+1n+1 的目的是为了方便计算 sumRange(i,j)\text{sumRange}(i,j),不需要对 i=0i=0 的情况特殊处理。此时有:

sumRange(i,j)=sums[j+1]sums[i]\text{sumRange}(i,j)=\textit{sums}[j+1]-\textit{sums}[i]

代码

class NumArray {
    
    var sums: [Int]

    init(_ nums: [Int]) {
        sums = Array.init(repeating: 0, count: nums.count + 1)
        for i in 0..<nums.count {
            sums[i + 1] = sums[i] + nums[i]
        }
    }
    
    func sumRange(_ left: Int, _ right: Int) -> Int {
        return sums[right + 1] - sums[left]
    }
}
复制代码

复杂度分析

  • 时间复杂度:初始化 O(n)O(n),每次检索 O(1)O(1),其中 nn 是数组 nums\textit{nums} 的长度。 初始化需要遍历数组 nums\textit{nums} 计算前缀和,时间复杂度是 O(n)O(n)。 每次检索只需要得到两个下标处的前缀和,然后计算差值,时间复杂度是 O(1)O(1)

  • 空间复杂度:O(n)O(n),其中 nn 是数组 nums\textit{nums} 的长度。需要创建一个长度为 n+1n+1 的前缀和数组。

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