本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

 

定积分的几何应用

一、平面图形的面积

1. 直角坐标

• 由曲线$y=f(x)\quad(f(x)\geq0)$及直线$x=a,x=b\quad(a<b)$与$x$轴所围成的曲面梯形的面积$A$是定积分$A=\int^b_af(x)dx$

• 由曲线$y=f(x)\quad(f(x)\leq0)$及直线$x=a,x=b\quad(a<b)$与$x$轴所围成的曲面梯形的面积$A$是定积分$A=-\int^b_af(x)dx$

• 由曲线$y=f(x),y=g(x)\quad(f(x)\leq g(x))$及直线$x=a,x=b\quad(a<b)$与$x$轴所围成的曲面梯形的面积$A$是定积分$A=\int^b_a[g(x)-f(x)]dx$

• 由曲线$y=f(x),y=g(x)\quad(f(x)\geq g(x))$及直线$x=a,x=b\quad(a<b)$与$x$轴所围成的曲面梯形的面积$A$是定积分$A=\int^b_a[f(x)-g(x)]dx$

 

例1：计算抛物线：$y^2=x,y=x^2$所围成图形的面积

一定要画图（本节笔记都有图，其他笔记如有必要会进行展示）

导包以及直角坐标系的通用设置（不同会特别说明）

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['figure.figsize']=(8,6)

ax=plt.gca()

ax.spines['right'].set_color('none')

ax.spines['top'].set_color('none')

ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))

ax.spines['left'].set_position(('data',0))

ax.set_aspect(1)

 

X=np.arange(-5,5,0.002)

f1=lambda x:x**2

f2=lambda x:x**0.5

f3=lambda x:-x**0.5

s1=pd.Series(f1(X),index=X)

s2=pd.Series(f2(X),index=X)

s3=pd.Series(f3(X),index=X)

s1.plot()

s2.plot(color='orange')

s3.plot(color='orange')

plt.ylim(-2,2)

plt.xlim(-1,2)

 

$dA=(\sqrt x-x^2)dx$

联立$\begin{cases}y^2=x\\y=x^2\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}$或$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$

$A=\int^1_0(\sqrt x-x^2)dx=(\frac23x^{\frac32}-\frac13x^3)\Big|^1_0=\frac13$

例2：计算抛物线$y^2=2x$与直线$y=x-4$所围成的图形的面积

X=np.arange(-5,10,0.002)

f1=lambda x:2**0.5*x**0.5

f2=lambda x:-2**0.5*x**0.5

f3=lambda x:x-4

s1=pd.Series(f1(X),index=X)

s2=pd.Series(f2(X),index=X)

s3=pd.Series(f3(X),index=X)

s1.plot(color='orange')

s2.plot(color='orange')

s3.plot()

plt.ylim(-5,5)

 

联立$\begin{cases}y^2=2x\\y=x-4\end{cases}$解得$\begin{cases}x=8\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$

对$x$轴积分

$dA_1=(\sqrt{2x}+\sqrt{2x})dx\quad(x\in(0,2)),dA_2=(\sqrt{2x}-x+4)dx\quad(x\in(2,8))$

$A=\int^2_02\sqrt{2x}dx+\int^8_2(\sqrt{2x}-x+4)dx$

对$y$轴积分同理

$dA=(4+y-\frac{y^2}2)dy$

$A=\int^4_{-2}(4+y-\frac{y^2}2)dy=(4y+\frac12y^2-\frac16y^3)|^4_{-2}=18$

例3：求椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$所围成的图形的面积

此处画图以$a=2,b=1$为例，设置轴标签变换的图像。以后凡是涉及参数大都是这种思路

theta=np.arange(0,2*np.pi,0.01)

a=2

b=1

f=lambda theta:a*np.cos(theta),lambda theta:b*np.sin(theta)

plt.plot(f[0](theta),f[1](theta),color='r')

plt.ylim(-1.5,1.5)

plt.xlim(-2.5,2.5)

plt.xticks([-2,2])

plt.yticks([-1,1])

ax.set_xticklabels(['-a','a'],fontsize=30)

ax.set_yticklabels(['-b','b'],fontsize=30)

 

法1：

由于图像关于$x,y$轴均对称，因此计算第一象限面积再乘$4$

参数方程

令$\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}$ $\quad(0\leq t\leq\frac\pi2)$

$dA=4dA_1=4ydx=4yd(a\cos t=4b\sin td(a\cos t)=-4ab\sin^2t dt$

$A=-4ab\int^0_{\frac\pi2}\sin^2tde=\pi ab$

法2：

$dA=4dA_1=4y(x)dx=4\frac ba\sqrt{a^2-x^2}dx$

$\begin{aligned}A&=4\frac ba\int^a_0\sqrt{a^2-x^2}dx\\&\overset{\text{令}x=a\sin t}{\underset{dx=a\cos tdt}{=}}4\frac ba\int^{\frac\pi2}_0a^2\cos^2tdt\\&=4ab\int^{\frac\pi2}_0\cos^2tdt\\&=\pi ab\end{aligned}$

2. 极坐标

设由曲线$\rho=\rho(\theta)$及射线$\theta=\alpha,\theta=\beta$围成的一个图形，这个曲边扇形的面积$A$是定积分$A=\int^\beta_\alpha\frac12[\rho(\theta)]^2d\theta$

例1：计算阿基米德螺线$\rho=\alpha\theta\quad(\alpha>0)$上相应于$\theta$从$0$变到$2\pi$的一段弧与极轴所围成的图形的面积

theta=np.arange(0,2*np.pi,0.02)

a=1# 去α=1

f=lambda theta:a*theta

ax=plt.gca(projection='polar')

plt.plot(theta,f(theta))

 

$dA=\frac12\rho^2d\theta=\frac12a^2\theta^2d\theta$

$A=\int^{2\pi}_0\frac12a^2\theta^2d\theta=\frac{a^2}2(\frac13\theta^3)|^{2\pi}_0=\frac43\pi^3a^2$

例5：计算心形线$\rho=a(1+\cos\theta)\quad(a>0)$所围成图形的面积

theta=np.arange(0,2*np.pi,0.02)

a=5

f=lambda theta:a*(1+np.cos(theta))

ax=plt.gca(projection='polar')

plt.plot(theta,f(theta))

 

$dA=2(\frac12\rho^2d\theta)=2(\frac12a^2(1+\cos\theta)^2)d\theta$

可选择$(0,\pi)$再乘$2$，也可直接选择$(0,2\pi)$，二者同理

$\begin{aligned}A&=\int^\pi_0a^2(1+\cos\theta)^2d\theta\\&=a^2\int^\pi_0(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)d\theta\quad\text{(结合图像发现}\cos\theta\text{在}(0,2\pi)\text{上}x\text{轴上下面积相等)}\\&=a^2\int^\pi_0d\theta+2a^2\int^{\frac\pi2}_0\cos^2\theta d\theta\quad\text{(结合图像，换到}(0,\frac\pi2)\text{区间上)}\\&=\frac32\pi a^2\end{aligned}$

见到区间长度是$\frac\pi2$的整数倍，积分中含有$\sin,\cos$，结合图像可以缩小区间或者发现积分为$0$

二、旋转体的体积

设连续曲线$y=f(x)$、直线$x=a,x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形绕$x$轴旋转一周所围成的旋转体的体积，体积微元是$dV=\pi[f(x)]^2dx$，体积是$V=\int^b_a\pi[f(x)]^2dx$

例6：连接坐标原点$O$及点$P(h,r)$的直线、直线$x=h$及$x$轴围成一个直角三角形，将它绕$x$轴旋转一周构成一个底面半径为$r$、高为$h$的圆锥体，计算该圆锥体的体积

$dV=\pi y^2(x)dx=\pi(\frac rhx)^2dx$

$V=\pi(\frac rh)^2\int^h_0x^2dx=\frac{\pi r^2h}3$

例7：计算由摆线$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$相应于$0\leq t\leq2\pi$的一拱与直线$y=0$所围成的图形分别绕$x$轴与$y$轴旋转一周而成的旋转体的体积

theta=np.arange(-1*np.pi,3*np.pi,0.02)

a=1

f=lambda theta:a*(theta-np.sin(theta)),lambda theta:a*(1-np.cos(theta))

plt.plot(f[0](theta),f[1](theta))

plt.xticks([0,2*np.pi])

plt.yticks([2])

ax.set_xticklabels([0,'2πa'])

ax.set_yticklabels(['2a'])

 

参数方程根据$x$或$y$的极值或零点，确定$t$的值，从而确定$y$或$x$的值，最终确定直角坐标系上的坐标

$dV_x=\pi y^2(x)dx=\pi y^2(t)x'(t)dt=\pi a^2(1-\cos t)^2\cdot a(1-\cos t)dt$

$\begin{aligned}V_x&=\int^{2\pi}_0\pi a^3(1-\cos t)^3dt\\&=\pi a^3\int^{2\pi}_0(1-3\cos t+3\cos^2t-\cos^3t)dt\\&=5\pi^2a^3\end{aligned}$

$dV_{y1}=\pi x_1^2(y)dy=\pi[a(t-\sin t)]^2\cdot a\sin tdt$

$dV_{y2}=\pi x_2^2(y)dy=\pi[a(t-\sin t)]^2\cdot a\sin tdt$

$\begin{aligned}V_y&=\int^{2a}_0\pi x_1^2(y)dy-\int^{2a}_0\pi x_1^2(y)dy\\&\text{虽然都是}\int^{2a}_0\text{，但第一个式子是}x\in(\pi a,2\pi a)\text{曲线与}y\text{轴构成的面，第二个式子是}x\in(0,\pi a)\text{曲线与}y\text{轴构成的面，二者相减得到的结果}\\&\text{对于第一个式子的下限}0\text{，根据}y=a(1-\cos t)\text{得}t=2\pi\text{。其余上下限转化同理}\\&=\pi\int^\pi_{2\pi}[a(t-\sin t)]^2\cdot a\sin tdt-\pi\int^\pi_0[a(t-\sin t)]^2\cdot a\sin tdt\\&=-\pi\int^{2\pi}_0a^3(t-\sin t)^2\sin tdt\\&=6\pi^3a^3\end{aligned}$

三、平面曲线的弧长

1. 直角坐标

当曲线弧由直角坐标方程$y=f(x)\quad(a\leq x\leq b)$确定，其中$f(x)$在其闭区间$[a,b]$上具有一阶连续导数，则曲线弧长为$s=\int^b_a\sqrt{1+y'^2(x)}dx$

推导：

$(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2$

$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx=\sqrt{1+y'^2(x)}dx$

2. 参数方程

当曲线弧由参数方程$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}\quad(\alpha\leq t\leq\beta)$确定，其中$x=x(t)$与$y=y(t)$在闭区间$t\in[\alpha,\beta]$具有连续导数，所以曲线弧长为$s=\int^\beta_\alpha\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$

推导：

$(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2$

$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$

3. 极坐标

当曲线弧由极坐标方程$\rho=\rho(\theta)\quad(\alpha\leq\theta\leq\beta)$确定，其中$\rho(\theta)$在闭区间$[\alpha,\beta]$上具有连续导数，则由直角坐标与极坐标的关系得知$\begin{cases}x=x(\theta)=\rho(\theta)\cos\theta\\y=y(\theta)=\rho(\theta)\sin\theta\end{cases}\quad(\alpha\leq\theta\leq\beta)$，极坐标其实就是以极角$\theta$为参数的曲线弧的参数方程，所以曲线弧长为$s=\int^\beta_\alpha\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}d\theta$

推导：

$\begin{aligned}ds&=\sqrt{x'^2(\theta)+y'^2(\theta)}d\theta\\&=\sqrt{(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta)^2+(\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta)^2}d\theta\\&=\sqrt{\rho^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+\rho'^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}d\theta\\&=\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}d\theta\end{aligned}$

例8：求阿基米德螺线$\rho=a\theta\quad(a>\theta)$相应于$0\leq\theta\leq2\pi$的一段弧长

$ds=\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}d\theta=a\sqrt{1+\theta^2}d\theta$

$s=a\int^{2\pi}_0\sqrt{1+\theta}d\theta=a[\frac\theta2\sqrt{1+\theta^2}+\frac12\ln(\theta+\sqrt{1+\theta^2})]\Big|^{2\pi}_0=\pi\sqrt{1+4\pi^2}+\frac12\ln{(2\pi+\sqrt{1+4\pi^2})}$

这个积分不容易计算，可以先换成不定积分进行计算，不定积分积完后代入上下限。注意，这种方法的前提是，被积函数在积分区间上连续，如不连续，可以分区间再用该种方法

$\begin{aligned}\int\sqrt{x^2+a^2}dx&\overset{x=a\tan u}{\underset{dx=a\sec^2udu}{=}}\int a\sec u\cdot a\sec^2udu\quad\text{(1)}\\&=a^2\int\sec ud\tan u\\&=a^2\sec u\tan u+a^2\int\tan^2 u\sec udu\\&=a^2\sec u\tan u+a^2\int(\sec^3u-\sec u)du\\&=a^2\sec u\tan u-a^2\ln|\sec u+\tan u|+a^2\int\sec^3udu\quad\text{(2)}\end{aligned}$

(1)(2)凑成循环积分，因此

$\begin{aligned}\int\sqrt{x^2+a^2}dx\overset{x=a\tan u}{\underset{dx=a\sec^2udu}{=}}\frac{a^2}2\tan u\sec u+\frac {a^2}2\ln|\sec u+\tan u|+C\end{aligned}$

代回$x$

$\begin{aligned}\int\sqrt{x^2+a^2}dx=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac12\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\end{aligned}$

 

定积分在物理学上的应用

一、变力沿直线做功

公式：$W=F\cdot s$

例1：一圆柱形的储水桶高为$5m$，底圆半径为$3m$，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需做多少功

建系如图

 

$dW=dF\cdot s=dm\cdot gy=\rho dV\cdot gy=\rho gy\pi3^2dy=9\pi\rho gydy$

$W=9\pi\rho g\int^5_0ydy=\frac{225}2\pi\rho g(J)$

二、水压力

公式：$P=p\cdot A=\rho gh\cdot A$

其中水的密度为$\rho$，重力加速度为$g$，$h$为离水面的深度，$A$为放置在水深为$h$的物体的面积

例2：一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为$R$，水的密度为$\rho$，计算桶的一个端面（圆面）上所受的压力

 

$dP=pdA=\rho gydA=\rho gy\cdot 2x(y)dy=2\rho gy\sqrt{R^2-y^2}dy$

$P=2\rho g\int^R_0y\sqrt{R^2-y^2}dy=-\rho g[\frac23(R^2-y^2)^{\frac32}]\Big|^R_0=\frac23\rho gR^3$