本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

定积分的概念与性质

一、定积分的定义

设函数$f(x)$在$[a,b]$上有界，在$[a,b]$中任意插入若干个分点，把区间$[a,b]$分成$n$个小区间$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$，各个小区间的长度依次为$\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdot,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}$；（区间分段）

在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$上任取一点$\xi_i(x_{i-1}<\xi_i<x_i)$，作函数值$f(\xi_i)$与小区间长度$\Delta x_i$乘积$f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,\cdot,n)$并作出和$S=\sum^n_{i=1}f(\xi_i)\Delta x_i$，记$\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}$（每一段再求和）

如果当$\lambda\to0$，若极限$\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=1}f(\xi_i)\Delta x_i$存在，且此极限值既不依赖于区间$[a,b]$的分法，也不依赖于点$\xi_i$的取法，则称$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，并称此极限为$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int^b_af(x)dx$，即

其中$f(x)$叫做被积函数，$f(x)dx$叫做被积表达式，$x$叫做积分变量，$a$叫做积分下限，$b$叫做积分上限，$[a,b]$叫做积分区间（取极限）

二、定积分的几何意义

• 设$\int^b_af(x)dx$存在，若在$[a,b]$上$f(x)\geq0$，则$\int^b_af(x)dx$的值等于以曲线$y=f(x),x=a,x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形的面积

• 设$\int^b_af(x)dx$存在，若在$[a,b]$上$f(x)\leq0$，则$\int^b_af(x)dx$的值等于以曲线$y=f(x),x=a,x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形的面积的负值

• 设$\int^b_af(x)dx$存在，若在$[a,b]$上$f(x)$的值有正有负，则$\int^b_af(x)dx$的值等于$x$轴上方的面积减去$x$轴下方的面积之差

三、定积分的定义求极限

如果积分$\int^b_af(x)dx$存在，则$\int^b_af(x)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=1}f(\xi_i)\Delta x_i$，且极限$\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=1}f(\xi_i)\Delta x_i$与$\xi_i$的取法和区间$[a,b]$分法无关，因为如果积分$\int^1_0f(x)dx$存在，就可以将其在$[0,1]$上$n$等分，此时$\Delta x_i=\frac1n$，取$\xi_i=\frac in$，有定积分的定义得

 

一些个人理解 $\lim_{\lambda\to0}\frac1n\sum^n_{i=1}f(\frac in)$中$\frac 1n$即对应$\int^1_0f(x)dx$中的$dx$，同时将$1$整除$n$意味着将$1$分成$n$份，即积分区间为$[0,1]$，$\sum^n_{i=1}f(\frac in)$对应$f(x)$

 

例1：求$\lim_{n\to\infty}(\frac1{n^2}+\frac2{n^2}+\cdots+\frac n{n^2})$

$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}(\frac1{n^2}+\frac2{n^2}+\cdots+\frac n{n^2})&=\lim_{n\to\infty}\frac1n(\frac1n+\frac2n+\cdots+\frac nn)\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum^n_{i=1}\frac in\\&=\int^1_0xdx=\frac12x^2\Big|^1_0\\&=\frac12\end{aligned}$

见到可能使用定积分的定义求极限的，先提一个$\frac1n$出来，后面留的只能有常数项以及$\frac in$（由于$\frac in$等价于自变量$x$，因此可以有系数、指数，可以在三角函数内等）

四、可积的充分条件

• 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可积

• 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在$[a,b]$上可积（存在有界震荡间断点的函数可积）

五、定积分的性质

定理1：设$\alpha$与$\beta$均为常数，则$\int^b_a[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int^b_af(x)dx+\beta\int^b_ag(x)dx$

定理2：设$a<c<b$，则$\int^b_af(x)dx=\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx$

定理3：如果在区间$[a,b]$上$f(x)\equiv1$，那么$\int^b_a1dx=\int^b_adx=b-a$

定理4：如果在区间$[a,b]$上$f(x)\geq0$，那么$\int^b_af(x)dx\geq0\quad(a<b)$

推论1：如果在区间$[a,b]$上$f(x)\leq g(x)$，那么$\int^b_af(x)dx\leq\int^b_ag(x)dx\quad(a<b)$

即证$\int^b_ag(x)dx-\int^b_af(x)dx\geq0$

由性质1得

$\int^b_ag(x)dx-\int^b_af(x)dx=\int^b_a[g(x)-f(x)]dx$

$\because$在区间$[a,b]$上，$g(x)-f(x)\geq0$

由性质4得

$\int^b_a[g(x)-f(x)]dx\geq0$

故$\int^b_af(x)dx\leq\int^b_ag(x)dx\quad(a<b)$

推论2：$|\int^b_af(x)dx|\leq\int^b_a|f(x)|dx\quad(a<b)$

$\because-|f(x)|\leq|f(x)\leq|f(x)|$

由推论1知

$\begin{aligned}-&\int^b_a|f(x)|dx\leq\int^b_af(x)dx\leq\int^b_a|f(x)|dx\\&\Big|\int^b_af(x)dx\Big|\leq\Big|\int^b_a|f(x)|dx\Big|\text{（两头的式子加绝对值后相等构成该不等式后项）}\\&\int^b_af(x)dx\leq\int^b_a|f(x)|dx\end{aligned}$

估值定理：设$M$和$m$分别是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的最大值及最小值，则$m(b-a)\leq\int^b_af(x)dx\leq M(b-a)\quad(a<b)$

$\because f(x)$在$[a,b]$上，有最大值$M$，最小值$m$

故，$m\leq f(x)\leq M$

由推论1知，$\int^b_amdx\leq\int^b_af(x)dx\leq^b_aMdx$

由性质1和3得，$m(b-a)\leq\int^b_af(x)dx\leq M(b-a)$

定积分中值定理：如果函数$f(x)$在积分区间$[a,b]$上连续，那么在$[a,b]$上至少存在一个点$\xi$，使下式成立：$\int^b_af(x)dx=f(\xi)(b-a)\quad(a\leq\xi\leq b)$

由估值定理得

$\begin{gathered}m(b-a)\leq\int^b_af(x)dx\leq M(b-a)\\m\leq\frac{\int^b_af(x)dx}{b-a}\leq M\end{gathered}$

由介值定理得，存在一点$\xi\in[a,b]$，使得$f(\xi)=\frac{\int^b_af(x)dx}{b-a}$

即$\int^b_af(x)dx=f(\xi)(b-a)\quad(a\leq\xi\leq b)$

 

微积分的基本公式

一、积分上限函数及其导数

1. 定义

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$x$为$[a,b]$上可以任意移动的一点，我们称$\Phi(x)=\int^x_af(t)dt$为变上限积分

2. 性质

• 如果函数f(x)在区间$[a,b]$上连续，那么积分上限的函数$\Phi(x)=\int^x_af(t)dt$在$[a,b]$上可导，并且它的导数$\Phi'(x)=\frac d{dx}\int^x_af(t)dt=f(x)\quad(a\leq x\leq b)$

• 如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么函数$\Phi(x)=\int^x_af(t)dt$就是$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数

二、牛顿-莱布尼茨公式

微积分基本定理：如果函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，那么$\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)$，该公式叫做牛顿-莱布尼茨公式，也叫作微积分基本公式

例1：设$f(x)$在$[0,+\infty)$内连续且$f(x)>0$，证明函数$F(x)=\frac{\int^x_atf(t)dt}{\int^b_af(t)dt}$在$(0,+\infty)$内为单调增加函数

$\frac{d\int^x_0tf(t)dt}{dx}=xf(x)$

$\frac{d\int^x_0f(t)dt}{dx}=f(x)$

$\begin{aligned}F'(x)&=\frac{xf(x)\int^x_0f(t)dt-f(x)\int^x_0tf(t)dt}{[\int^x_0f(t)dt]^2}\\&=\frac{f(x)\int^x_0xf(t)dt-f(x)\int^x_0tf(t)dt}{[\int^x_0f(t)dt]^2}\\&\text{（对于}\int^x_0f(t)dt\text{是对}t\text{积分，}x\text{是常数，可以直接移到里面}\int^x_0xf(t)dt\text{）}\\&=\frac{f(x)[\int^x_0(x-t)f(t)dt]}{[\int^x_0f(t)dt]^2}\end{aligned}$

其中

$[\int^x_0f(t)dt]^2>0$

$f(x)>0$

$\int^x_0(x-t)f(t)dt$的积分区间$\int^x_0$上限大于下限，因此$>0$；被积函数$(x-t)f(t)>0\quad(0\leq t\leq x)$。因此$\int^x_0(x-t)f(t)dt>0$

故$\frac{f(x)[\int^x_0(x-t)f(t)dt]}{[\int^x_0f(t)dt]^2}>0$，即$F'(x)>0$

证毕

上下限含有关于x的函数的积分的导数

$\begin{aligned}&[\int^{f(x)}_aF(t)dt]'=F(f(x))\cdot f'(x)\\&[\int_{g(x)}^bF(t)dt]'=[-\int^{g(x)}_bF(t)dt]'=-F(g(x))\cdot g'(x)\\&[\int^{f(x)}_{g(x)}F(t)dt]'=[\int^a_{g(x)}F(t)dt+\int^{f(x)}_aF(t)dt]'=F(f(x))\cdot f'(x)-F(g(x))\cdot g'(x)\end{aligned}$

例2：计算$\lim_{x\to0}\frac{\int^1_{\cos x}e^{-t^2}dt}{x^2}$

$\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\int^1_{\cos x}e^{-t^2}dt}{x^2}&=\lim_{x\to0}\frac{-e^{-\cos^2x}\cdot(\cos x)'}{2x}\\&=\lim_{x\to0}\frac{\sin x\cdot e^{-\cos^2x}}{2x}\\&=\frac12\lim_{x\to0}e^{-\cos^2x}\\&=\frac12e^{-1}\end{aligned}$

 

定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法

假设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，函数$x=\phi(t)$满足条件

• $\phi(\alpha)=a,\phi(\beta)=b$

• $\phi(t)$在$[\alpha,\beta]$，且其值域$R_{\phi}=[a,b]$

则有$\int^b_af(x)dx=\int^{\beta}_{\alpha}f[\phi(t)]\phi'(t)dt$，即为定积分的换元公式

 

例1：计算$\int^a_0\sqrt{a^2-x^2}dx\quad(a>0)$

令$x=a\sin t,dx=a\cos tdt$（注意$dx$也要换成$dt$）

当$x=0$时，$t=0$，当$x=a$时，$t=\frac\pi2$

$\begin{aligned}\int^a_0\sqrt{a^2-x^2}dx&=\int^{\frac\pi2}_0a^2\cos^2tdt\\&=a^2\int^{\frac\pi2}_0\frac{1+\cos 2t}{2}dt\\&=\frac {a^2}2(t+\frac12\sin 2t)\Big|^{\frac\pi2}_0\\&=\frac\pi4a^2\end{aligned}$

例2：计算$\int^\pi_0\sqrt{\sin^3x-\sin^5x}dx$

$\begin{aligned}\int^\pi_0\sqrt{\sin^3x-\sin^5x}dx&=\int^\pi_0\sqrt{\sin^3x\cos^2x}dx\\&=\int^\pi_0\sin^{\frac32}x\cdot|\cos x|dx\\&\text{（由于积分区间在}0\text{到}\pi\text{，对于}|\cos x|\text{函数不同，因此要拆成两个区间，要求每个区间内}|\cos x|\text{对应函数相同）}\\&=\int^{\frac\pi2}_0\sin^{\frac32}x\cos xdx+\int^\pi_{\frac\pi2}\sin^{\frac32}x(-\cos x)dx\\&=\frac25\sin^{\frac52}x\Big|^{\frac\pi2}_0-\frac25\sin^{\frac52}x\Big|^\pi_{\frac\pi2}\\&=\frac45\end{aligned}$

1. 奇偶函数对称区间的定积分结论

• 若$f(x)$在$[-a,a]$上连续且为偶函数，则$\int^a_{-a}f(x)dx=2\int^a_0f(x)dx$

• 若$f(x)$在$[-a,a]$上连续且为奇函数，则$\int^a_{-a}f(x)dx=0$

 

偶函数的证明：

$\begin{aligned}\int^a_{-a}f(x)dx=\int^0_{-a}f(x)dx+\int^a_0f(x)dx\end{aligned}$

其中

$\begin{aligned}\int^0_{-a}f(x)dx\overset{t=-x}{\underset{dx=-dt}{=}}&\int^0_af(-t)d(-t)=\int^a_0f(t)dt\overset{x=t}{=}\int^a_0f(x)dx\end{aligned}$

因此$\begin{aligned}\int^a_{-a}f(x)dx=2\int^a_0f(x)dx\end{aligned}$

证毕

奇函数的证明：

$\begin{aligned}\int^a_{-a}f(x)dx=\int^0_{-a}f(x)dx+\int^a_0f(x)dx\end{aligned}$

其中

$\begin{aligned}\int^0_{-a}f(x)dx\overset{t=-x}{\underset{dx=-dt}{=}}&\int^0_af(-t)d(-t)=-\int^a_0f(t)dt\overset{x=t}{=}-\int^a_0f(x)dx\end{aligned}$

因此$\begin{aligned}\int^a_{-a}f(x)dx=0\end{aligned}$

证毕

2. 三角函数的定积分结论

设$f(x)$在$[0,1]$上连续

• $\int^{\frac\pi2}_0f(\sin x)dx=\int^{\frac\pi2}_0f(\cos x)dx$

• $\int^\pi_0xf(\sin x)dx=\frac\pi2\int^\pi_0f(\sin x)dx$

一般只用于只有$\sin$和$\cos$的函数中

区间再现公式

即当令$t=$积分上限$+$积分下限$-$对谁的微分，换元后的积分区间与原积分区间相同

$\begin{aligned}\int^b_af(x)dx\overset{\text{令}t=a+b-x}{\underset{dx=-dt}{=}}&\int^a_bf(a+b-t)(-dt)\\=&\int^b_af(a+b-t)dt\\\overset{t=x}{=}&\int^b_af(a+b-x)dt\end{aligned}$

证明1：

令$x=\frac\pi2-t,dx=-dt$

$\begin{aligned}\int^\frac\pi2_0f(\sin x)dx=\int^0_\frac\pi2f[\sin(\frac\pi2-t)](-dt)=\int^\frac\pi2_0f(\cos t)dt\overset{t=x}{=}\int^\frac\pi2_0f(\cos x)dx\end{aligned}$

证毕

证明2：

$\begin{aligned}\int^\pi_0xf(\sin x)dx\overset{\text{令}t=\pi-x}{\underset{dt=-dx}{=}}&-\int^0_\pi(\pi-t)f(\sin(\pi-t))dt\\=&\int^\pi_0(\pi-t)f(\sin t)dt\\=&\pi\int^\pi_0f(\sin t)dt-\int^\pi_0tf(\sin t)dt\\\overset{t=x}{=}&\pi\int^\pi_0f(\sin x)dx-\int^\pi_0xf(\sin x)dx\end{aligned}$

故$\int^\pi_0xf(\sin x)dx=\frac\pi2\int^\pi_0f(\sin x)dx$

证毕

例3：求$\int^\pi_0\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx$

$\begin{aligned}\int^\pi_0\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx&=\frac\pi2\int^\pi_0\frac{\sin x}{1+\cos^2x}dx\\&=-\frac\pi2\int^\pi_0\frac{d(\cos x)}{1+\cos^2x}\\&=-\frac\pi2\arctan(\cos x)\Big|^\pi_0\\&=\frac{\pi^2}4\end{aligned}$

3. 周期函数的定积分结论

设$f(x)$为连续的周期函数，周期为$T$

• $\int^{a+T}_af(x)dx=\int^T_0f(x)dx$

• $\int^{a+nT}_af(x)dx=n\int^T_0f(x)dx\quad(n\in N)$

 

证明1：

法1

将$\int^{a+T}_af(x)dx,\int^T_0f(x)dx$看做是关于$a$的函数，二者相等，即函数为常数，导数为$0$

设$F(a)=\int^{a+T}_af(x)dx=\int^0_af(x)dx+\int^{a+T}_0f(x)dx$

$F'(a)=-f(a)+f(a+T)=0$

故$F(a)\equiv C$

故$F(a)=F(0)$

即$\int^{a+T}_af(x)dx=\int^T_0f(x)dx$

证毕

法2

从原积分区间拆出结果的积分区间，剩余部分和为$0$

$\int^{a+T}_af(x)dx=\int^0_af(x)dx+\int^T_0f(x)dx+\int^{a+T}_Tf(x)dx$

$\int_T^{a+T}f(x)dx\overset{\text{令}x-T=t}{\underset{dx=dt}{=}}\int_0^af(t+T)dt=\int_a^af(t)dt\overset{t=x}{=}\int_0^af(x)dx$

故$\int^{a+T}_af(x)dx=\int^T_0f(x)dx$

证毕

证明2：

$\begin{aligned}\int^{a+nT}_af(x)dx=\int_a^{a+T}f(x)dx+\int_{a+T}^{a+2T}f(x)dx+\cdots+\int_{a+(n-1)T}^{a+nT}f(x)dx=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{a+kT}^{a+(k+1)T}f(x)dx\end{aligned}$

故由$\begin{aligned}\int^{a+T}_af(x)dx=\int^T_0f(x)dx\end{aligned}$可知，$\begin{aligned}\int^{a+(k+1)T}_{a+kT}f(x)dx=\int^T_0f(x)dx\end{aligned}$

故$\int^{a+nT}_af(x)dx=n\int^T_0f(x)dx$

证毕

例4：求$\int_0^{n\pi}\sqrt{1+2\sin2x}dx$

$\begin{aligned}\int_0^{n\pi}\sqrt{1+2\sin2x}dx&=n\int_0^\pi\sqrt{1+\sin2x}dx\\&=n\int_0^\pi\sqrt{(\sin x+\cos x)^2}dx\\&=\sqrt{2}n\int_0^\pi\sqrt{[\sin(x+\frac\pi4)]^2}dx\\&=\sqrt{2}n\int_0^\pi|\sin(x+\frac\pi4)^2|dx\\&\overset{x+\frac\pi4=t}{=}\sqrt2n\int_{\frac\pi4}^{\frac54\pi}|\sin t|dt\\&=\sqrt2n\int^\pi_0\sin xdx\\&=2\sqrt2n\end{aligned}$

例5：求$\int_0^3\frac{x^2}{(x^2-3x+3)^2}dx$

一般见到分式，分子或分母都有未知数，且至少其中一个有$(ax+b)^c\quad(c\text{为正整数或}\frac12)$一般需要三角换元；对于根式还可能整体换元

$\begin{aligned}\int_0^3\frac{x^2}{(x^2-3x+3)^2}dx&=\int_0^3\frac{x^2}{[(x-\frac32)^2+(\frac{\sqrt3}2)^2]^2}dx\\&\text{令}x-\frac32=\frac{\sqrt3}2\tan u,dx=\frac{\sqrt3}2\sec^2udu\\&=\int^{\frac\pi3}_{-\frac\pi3}\frac{(\frac32+\frac{\sqrt3}2\tan u)^2}{[(\frac34)^2\sec^2u]^2}\frac{\sqrt3}2\sec^2udu\\&=\frac89\sqrt3\int^{\frac\pi3}_{-\frac\pi3}(\underbrace{\frac34\tan^2u\cos^2u}_\text{偶函数}+\underbrace{\frac{\sqrt3}2\tan u\cos^2u}_\text{奇函数}+\underbrace{\frac94\cos^2u}_\text{偶函数})du\\&=\frac43\sqrt3\int^{\frac\pi3}_0(\sin^2u+3\cos^2u)du\\&=\frac43\sqrt3\int^{\frac\pi3}_0(2+\cos2u)du\\&=\frac43\sqrt3(2u+\frac12\sin2u)\Big|^{\frac\pi3}_0\\&=\frac{8\pi}{3\sqrt3}+1\end{aligned}$

二、定积分的分部积分法

依据不定积分的分部积分法，可得

简记作

 

华里式公式（点火公式）

$\begin{aligned}I_n=\int^{\frac\pi2}_0\sin^nxdx=\int^{\frac\pi2}_0\cos^nxdx=\begin{cases}\frac{n-1}n\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2,n\text{为偶数}\\\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac45\cdot\frac23,n\text{为大于}1\text{奇数}\end{cases}\end{aligned}$

证明：

$\begin{aligned}I_n&=\int^\frac\pi2_0\sin^nxdx\\&=-\int^\frac\pi2_0\sin^{n-1}xdxd\cos x\\&=-\sin^{n-1}x\cdot\cos x\Big|^\frac\pi2_0+\int^\frac\pi2_0\cos xd\sin^{n-1}x\\&=0+(n-1)\int^\frac\pi2_0\cos^2x\sin^{n-2}xdx\\&=(n-1)\int^\frac\pi2_0\sin^{n-2}xdx-(n-1)\int^\frac\pi2_0\sin^nxdx\\&=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\end{aligned}$

$\begin{aligned}\\I_n&=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\\nI_n&=(n-1)I_{n-2}\Rightarrow I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\\I_{n-2}&=\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}\\&\text{推广}\\I_{2m}&=\frac{2m-1}{2m}\cdot\frac{2m-3}{2m-2}\cdots\frac56\frac34\frac12\cdot I_0\\I_{2m+1}&=\frac{2m}{2m+1}\cdot\frac{2m-2}{2m-1}\cdots\frac45\frac23\cdot I_1\\I_0&=\int^\frac\pi2_0\sin^0x=\frac\pi2,I_1=\frac\pi2_0\sin xdx=1\end{aligned}$

代入$I_{2m},I_{2m-1}$即可得到原式

证毕

和差化积公式

$\left\{\begin{aligned}\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2\\\sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2\\\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2\\\cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2\end{aligned}\right.$

例6：求$\int^\frac\pi2_{-\frac\pi2}\cos x\cos2xdx$

$\begin{aligned}\int^\frac\pi2_{-\frac\pi2}\cos x\cos2xdx&=\frac12\int^\frac\pi2_{-\frac\pi2}(\cos3x+\cos x)dx\\&=\frac12(\frac13\sin3x+\sin x)\Big|^\frac\pi2_{-\frac\pi2}\\&=\frac23\end{aligned}$

反常积分

 

一、无穷限的反常积分

定义1：设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，如果极限$\lim_{t\to+\infty}\int^t_af(x)dx$存在，那么称反常积分$\int^{+\infty}_af(x)dx$收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限$\lim_{t\to+\infty}\int^t_af(x)dx$不存在，那么称反常积分$\int^{+\infty}_af(x)dx$发散

 

定义2：设函数$f(x)$在区间$(-\infty,b]$上连续，如果极限$\lim_{t\to+\infty}\int^b_tf(x)dx$存在，那么称反常积分$\int^b_{-\infty}f(x)dx$收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限$\lim_{t\to+\infty}\int^b_tf(x)dx$不存在，那么称反常积分$\int^b_{-\infty}f(x)dx$发散

 

定义3：设函数$f(x)$在区间$(-\infty,+\infty)$上连续，如果反常积分$\int^0_{-\infty}f(x)dx$与反常积分$\int^{+\infty}_0f(x)dx$均收敛，那么反常积分$\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx$收敛，并称反常积分$\int^0_{-\infty}f(x)dx$与反常积分$\int^{+\infty}_0f(x)dx$的值之和为反常积分$\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx$的值，否则就称反常积分$\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx$发散

根据定义3，$\int^{+\infty}_{-\infty}xdx=0$是错误的，因为$\int^0_{-\infty}xdx=\infty,\int^{+\infty}_0xdx=\infty$

 

例1：计算反常积分$\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dx}{1+x^2}$

$\int^{+\infty}_{-\infty}=\int^0_{-\infty}+\int^{+\infty}_0$

$\int^0_{-\infty}\frac1{1+x^2}dx=\arctan x\Big|^0_{-\infty}=\frac\pi2$

$\int^{+\infty}_0\frac1{1+x^2}dx=\arctan x\Big|^{+\infty}_0=\frac\pi2$

因此$\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\pi$

幂函数的反常积分结论无穷型

反常积分$\int^{+\infty}_a\frac{dx}{x^p}\quad(a>0)$，当$p>1$时收敛，当$p\leq1$时发散

证明：

当$p=1$时，$\int^{+\infty}_a\frac{dx}x=\ln x|^{+\infty}_a=+\infty$，发散

当$p\ne1$时

$\begin{aligned}\int^{+\infty}_a\frac{dx}{x^p}&=\int^{+\infty}_{a}x^{-p}dx\\&=\frac{x^{1-p}}{1-p}\Big|^{+\infty}_a\\&=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{1-p}}{1-p}-\frac{a^{1-p}}{1-p}\\&=\left\{\begin{aligned}&\infty,p<1\\&\frac{a^{1-p}}{1-p},p>1\end{aligned}\right.\end{aligned}$

故当$p>1$时收敛，当$p\leq1$时发散

无界函数的反常积分

定义1：设函数$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，点$a$为$f(x)$的瑕点，如果极限$\lim_{t\to a^+}\int^b_t f(x)dx$存在，那么称反常积分$\int^b_a f(x)dx$收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限$\lim_{t\to a^+}\int^b_t f(x)dx$不存在，那么称反常积分$\int^b_a f(x)dx$发散

 

定义2：设函数$f(x)$在区间$[a,b)$上连续，点$b$为$f(x)$的瑕点，如果极限$\lim_{t\to b^-}\int^t_a f(x)dx$存在，那么称反常积分$\int^b_a f(x)dx$收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限$\lim_{t\to b^-}\int^t_a f(x)dx$不存在，那么称反常积分$\int^b_a f(x)dx$发散

 

定义3：设函数$f(x)$在区间$[a,c)$及区间$(c,b]$上连续，点$c$为$f(x)$的瑕点，如果反常积分$\int^c_af(x)dx$与反常积分$\int^b_cf(x)dx$均收敛，那么称反常积分$\int^b_af(x)dx$收敛，并称反常积分$\int^c_af(x)dx$的值与反常积分$\int^b_cf(x)dx$的值之和为反常积分$\int^b_af(x)dx$的值，否则，就称反常积分$\int^b_af(x)dx$发散

根据定义3：$\int^1_{-1}\frac1xdx=0$是错误的，因为$\int^1_0\frac1xdx=\ln x|^1_0=\infty$

 

例2：讨论反常积分$\int^1_{-1}\frac{dx}{x^2}$的收敛性

注意此处不满足幂函数的反常积分结论1的条件

$\int^1_{-1}=\int^0_{-1}+\int^1_0$

$\int^1_0\frac1{x^2}dx=-\frac1x|^1_0=-1+\lim_{x\to0^+}\frac1x=\infty$

故反常积分$\int^1_{-1}\frac{dx}{x^2}$发散

 

幂函数的反常积分结论瑕点型

反常积分$\int^b_a\frac{dx}{(x-a)^q}$当$0<q<1$时收敛，当$q\geq1$时发散

证明：

当$q=1$时，$\int^b_a\frac{dx}{x-a}=\ln(x-a)|^b_a=\ln(b-a)-\lim_{x\to a^+}\ln(x-a)$，发散

当$q\ne1$时

$\begin{aligned}\int^b_a\frac{dx}{(x-a)^q}&=\int^b_a(x-a)^{-q}dx\\&=\frac{(x-a)^{1-q}}{1-q}\Big|^b_a\\&=\frac{(b-a)^{1-q}}{1-q}-\lim_{x\to a^+}\frac{(x-a)^{1-q}}{1-q}\\&=\left\{\begin{aligned}&\frac{(b-a)^{1-q}}{1-q},0<q<1\\&\infty,q>1\end{aligned}\right.\end{aligned}$

证毕

 

例3：求反常积分$\int^{+\infty}_0\frac{dx}{\sqrt{x(x+1)^3}}$

法1

观察到分母是$x^2$，分子是$x^0$所以考虑倒代换

令$x=\frac1t,dx=-\frac1{t^2}dt$

$\begin{aligned}\int^{+\infty}_0\frac{dx}{\sqrt{x(x+1)^3}}&=\int^{+\infty}_0\frac1{(1+t)^{\frac32}}dt\\&=\frac{(1+t)^{-\frac12}}{-\frac12}\Big|^{+\infty}_0\\&=0+2=2\end{aligned}$

法2

分母有根式，而且不容易积出来，考虑根式换元

令$\sqrt x=t,dx=2tdt$

$\begin{aligned}\int^{+\infty}_0\frac{dx}{\sqrt{x(x+1)^3}}&=2\int^{+\infty}_0\frac1{(t^2+1)^\frac32}dt\end{aligned}$

令$t=\tan u,dt=\sec^2udu$

上式$\begin{aligned}=2\int^{\frac\pi2}_0\cos udu=2\sin u|^{\frac\pi2}_0=2\end{aligned}$

 

 

反常积分审敛法

一、无穷限反常积分审敛法

定理1：设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，且$f(x)\geq0$，若函数$F(x)=\int^x_0f(t)dt$在$[a,+\infty)$上有上界，则反常积分$\int^{+\infty}_af(x)dx$收敛

证明：

$\because f(x)\geq0$即$F(x)$单调递增

又$\because F(x)$在$[a,+\infty)$有上界

由单调有界准则知，$\lim_{x\to\infty}F(x)$有极限

证毕

定理2（比较审敛原理）：设函数$f(x),g(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，如果$0\leq f(x)\leq g(x)\quad(a\leq x<+\infty)$，并且$\int^{+\infty}_ag(x)dx$收敛，那么$\int^{+\infty}_af(x)dx$也收敛；如果$0\leq g(x)\leq f(x)\quad(a\leq x<+\infty)$，并且$\int^{+\infty}_ag(x)dx$发散，那么$\int^{+\infty}_af(x)dx$也发散

证明：

$\because 0\leq f(x)\leq g(x)$

取$a\leq t\leq+\infty$

有$\int^t_af(x)dx\leq\int^t_ag(x)dx\leq\int^{+\infty}_ag(x)dx$

又$\because \int^t_af(x)dx$有上界

由定理1和反常积分收敛

定理3（比较审敛法1）：设函数$f(x)$在$[a,+\infty)\quad(a>0)$上连续，且$f(x)\geq0$，如果存在常数$M>0$及$p>1$，使得$f(x)\leq\frac M{x^p}\quad(a\leq x<+\infty)$，那么反常积分$\int^{+\infty}_af(x)dx$；如果存在常数$N>0$，使得$f(x)\geq\frac Nx\quad(a\leq x<+\infty)$，那么反常积分$\int^{+\infty}_a f(x)dx$发散

例1：判定反常积分$\int^{+\infty}_1\frac{dx}{\sqrt[3]{x^4+1}}$的收敛性

$0<\frac1{\sqrt[3]{x^4+1}}<\frac1{\sqrt[3]{x^4}}=\frac1{x^{\frac43}}$

故$\int^{+\infty}_1\frac{dx}{\sqrt[3]{x^4+1}}$收敛

定理4（极限审敛法1）：设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，且$f(x)\geq0$，如果存在常数$p>1$，使得$\lim_{x\to+\infty}x^pf(x)=c<+\infty$，那么反常积分$\int^{+\infty}_af(x)dx$收敛；如果$\lim_{x\to+\infty}xf(x)=d>0$（或$\lim_{x\to+\infty}xf(x)=+\infty$），那么反常积分$\int^{+\infty}_af(x)dx$发散

证明：

$\lim_{x\to+\infty}x^pf(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\frac1{x^p}}=c$，显然$f(x)$与$\frac1{x^p}$敛散性相同，$\frac1{x^p}$收敛，因此$f(x)$收敛

例2：判定反常积分$\int^{+\infty}_1\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}$的收敛性

$\lim_{x\to+\infty}x^2\frac1{x\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac1{\sqrt{\frac1{x^2}+1}}=1$（此处$x^2$是根据$x\sqrt{1+x^2}$凑出来的）

$\because p=2>1$

$\therefore$ 收敛

证毕

例3：判定反常积分$\int^{+\infty}_1\frac{x^\frac32}{1+x^2}dx$的收敛性

$\begin{aligned}\lim_{x\to+\infty}x^\frac12\cdot\frac{x^\frac32}{1+x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{x^\frac32}{1+x^2}}{\frac1{x^\frac12}}=1\end{aligned}$

$\because\int^{+\infty}_1\frac1{x^\frac12}dx$发散

故$\int^{+\infty}_1\frac{x^\frac32}{1+x^2}dx$发散（不一定必须要乘$x$来证明发散）

定理5：设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，如果反常积分$\int^{+\infty}_a|f(x)|dx$收敛，那么反常积分$\int^{+\infty}_af(x)dx$也收敛

证明：

令$\phi(x)=\frac12[f(x)+|f(x)|]$

知$\phi\geq0$且$\phi\leq|f(x)|$

$\because\int^{+\infty}_a|f(x)|dx$收敛

由比较审敛法知，$\int^{+\infty}_a\phi(x)dx$收敛

又$\because f(x)=2\phi(x)-|f(x)|$

$\therefore\int^{+\infty}_af(x)dx=2\int^{+\infty}_a\phi dx-\int^{+\infty}_a|f(x)|dx$

故$\int^{+\infty}_af(x)dx$收敛

证毕

二、无界函数的反常积分的审敛法

定理6（比较审敛法2）：设函数$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，且$f(x)\geq0，x=a$为$f(x)$的瑕点，如果存在常数$M>0$及$q<1$，使得$f(x)\leq\frac M{(x-a)^q}\quad(a<x\leq b)$，那么反常积分$\int^b_a f(x)dx$收敛；如果存在常数$N>0$，使得$f(x)\geq\frac N{x-a}\quad(a<x\leq b)$那么反常积分$\int^b_af(x)dx$发散

定理7（极限审敛法2）：设函数$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，且$f(x)\geq0$，$x=a$为$f(x)$的瑕点，如果存在常数$0<q<1$，使得$\lim_{x\to a^+}(x-a)^qf(x)$存在，那么反常积分$\int^b_af(x)dx$收敛；如果$\lim_{x\to a^+}(x-a)f(x)=d>0$（或$\lim_{x\to a^+}(x-a)f(x)=+\infty$），那么反常积分$\infty^b_af(x)dx$发散

例4：判定反常积分$\int^1_0\frac1{\sqrt x}\sin\frac1xdx$的收敛性

$|\frac1{\sqrt x}\cdot\sin \frac1x|\leq|\frac1{\sqrt x}|=\frac1{x^\frac12}$

$\because\int^1_0\frac1{\sqrt x}dx$收敛

根据比较审敛法知，$\int^1_0|\frac1{\sqrt x}\cdot\sin \frac1x|dx$收敛

根据定理5，$\int^1_0\frac1{\sqrt x}\sin\frac1xdx$收敛