Swift - LeetCode - Nim 游戏

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题目

你和你的朋友,两个人一起玩 Nim 游戏:

  • 桌子上有一堆石头。
  • 你们轮流进行自己的回合, 你作为先手 。
  • 每一回合,轮到的人拿掉 1 - 3 块石头。
  • 拿掉最后一块石头的人就是获胜者。

假设你们每一步都是最优解。请编写一个函数,来判断你是否可以在给定石头数量为 n 的情况下赢得游戏。如果可以赢,返回 true;否则,返回 false

示例 1:

  • 输入: n = 4
  • 输出: false
  • 解释: 以下是可能的结果:
  1. 移除1颗石头。你的朋友移走了3块石头,包括最后一块。你的朋友赢了。
  2. 移除2个石子。你的朋友移走2块石头,包括最后一块。你的朋友赢了。
  3. 你移走3颗石子。你的朋友移走了最后一块石头。你的朋友赢了。 在所有结果中,你的朋友是赢家。

示例 2:

  • 输入: n = 1
  • 输出: true

示例 3:

  • 输入: n = 2
  • 输出: true

方法一:数学推理

思路及解法

让我们考虑一些小例子。显而易见的是,如果石头堆中只有一块、两块、或是三块石头,那么在你的回合,你就可以把全部石子拿走,从而在游戏中取胜;如果堆中恰好有四块石头,你就会失败。因为在这种情况下不管你取走多少石头,总会为你的对手留下几块,他可以将剩余的石头全部取完,从而他可以在游戏中打败你。因此,要想获胜,在你的回合中,必须避免石头堆中的石子数为 44 的情况。

  • 我们继续推理,假设当前堆里只剩下五块、六块、或是七块石头,你可以控制自己拿取的石头数,总是恰好给你的对手留下四块石头,使他输掉这场比赛。但是如果石头堆里有八块石头,你就不可避免地会输掉,因为不管你从一堆石头中挑出一块、两块还是三块,你的对手都可以选择三块、两块或一块,以确保在再一次轮到你的时候,你会面对四块石头。显然我们继续推理,可以看到它会以相同的模式不断重复 n=4,8,12,16,n=4,8,12,16,…,基本可以看出如果堆里的石头数目为 44 的倍数时,你一定会输掉游戏。

  • 如果总的石头数目为 44 的倍数时,因为无论你取多少石头,对方总有对应的取法,让剩余的石头的数目继续为 44 的倍数。对于你或者你的对手取石头时,显然最优的选择是当前己方取完石头后,让剩余的石头的数目为 44 的倍数。假设当前的石头数目为 xx,如果 xx44 的倍数时,则此时你必然会输掉游戏;如果 xx 不为 44 的倍数时,则此时你只需要取走 xmod4x \bmod 4个石头时,则剩余的石头数目必然为 44 的倍数,从而对手会输掉游戏。

代码

class Solution {
    func canWinNim(_ n: Int) -> Bool {
        return n % 4 != 0
    }
}
复制代码

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(1)O(1)

  • 空间复杂度:O(1)O(1)

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