本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

1. 原函数的定义

如果在区间$I$上，可导函数$F(x)$的导函数为$f(x)$，即对任一$x\in I$，都有$F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx$那么函数$F(x)$就称为$f(x)$的一个原函数

原函数存在定理：如果函数$f(x)$在区间$I$上连续，那么在区间$I$上存在可导函数$F(x)$，使对任一$x\in I$都有$F'(x)=f(x)$，简单说，连续函数一定有原函数

2. 不定积分的定义

在区间$I$上，函数$f(x)$的带有任意项的原函数称为$f(x)$在区间$I$上的不定积分，记作$\int f(x)dx$其中记号$\int$称为积分号，$f(x)$称为被积函数，$f(x)dx$称为被积表达式，$x$称为积分变量

3. 不定积分与原函数的关系

• 如果$F(x)$是$f(x)$在区间$I$上的一个原函数，那么$F(x)+C$就是$f(x)$的不定积分，即$\int f(x)dx=F(x)$

• 由于$\int f(x)dx$是$f(x)$的原函数，所以$\frac d{dx}[\int f(x)dx]=f(x)或d[\int f(x)dx]=f(x)dx$

• 由于$F(x)$是$F'(x)$的原函数，所以$\int F'(x)dx=F(x)+C或\int dF(x)=F(x)+C$

二、不定积分的性质

• 设函数$f(x)$及$g(x)$的原函数存在，则$\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

• 设函数$f(x)$的原函数存在，$k$为非零常数，则$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$

三、基本积分公式

$\int kdx=kx+C$

$\int x^\mu dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C$

$\int \frac{dx}x=\ln|x|+C$

$\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \frac{dx}{\cos^2 x}=\tan x+C$

$\int \frac{dx}{\sin^2x}=-\text{cot}x+C$

$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$

$\int \csc x\space\text{cot}xdx=-\csc x+C$

$\int e^xdx=e^x+C$

$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

例1：求积分$\int \tan^2xdx=\int(\sec^2-1)dx=\tan x-x+C\quad(C为任意常数)$

$\sec^2x=1+\tan^2x、\csc^2x=1+\text{cot}^2x$

例2：求积分$\int\sin^2\frac x2dx=\int\frac{1-\cos x}2dx=\frac12\int(1-\cos x)dx=\frac12(x-\sin x)\quad(C为任意常数)$

$\cos 2x=1-2\sin^2x、\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}、\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

例3：求积分$\int\frac{2x^4+x^2+3}{x^2+1}dx$

$\begin{aligned}\int\frac{2x^4+x^2+3}{x^2+1}dx&=\int\frac{2x^2(x^2+1)-(x^2+1)+4}{x^2+1}dx\\&=\int(2x^2-1+\frac4{x^2+1})dx\\&=\frac23x^3-x+4\arctan x+C\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

换元积分法

一、第一类换元法

设$f(u)$具有原函数，$\int f(u)du=F(u)+C$，$u=\phi(x)$有连续的导数，则$\int f[\phi(x)]\phi'(x)dx=\int f[\phi(x)]d\phi(x)=F(\phi(x))+C$

例1：求$\int\frac1{a^2+x^2}dx\quad(a\ne0)$

$\begin{aligned}\int\frac1{a^2+x^2}dx&=\frac1{a^2}\int\frac1{1+(\frac xa)^2}dx\\&=\frac1a\int\frac1{1+(\frac xa)^2}d(\frac xa)\\&=\boxed{\frac1a\arctan \frac xa+C}\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例2：求$\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx\quad(a>0)$

$\begin{aligned}\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx&=\int\frac1{\sqrt{1-(\frac xa)^2}}d(\frac xa)\\&=\boxed{\arcsin \frac xa+C}\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例3：求$\int\frac1{x^2-a^2}dx\quad(a\ne0)$

$\begin{aligned}\int\frac1{x^2-a^2}dx&=\frac1{2a}\int\frac1{x-a}d(x-a)-\frac1{2a}\int\frac1{x+a}d(x+a)\\&=\frac1{2a}\ln|x-a|-\frac1{2a}\ln|x+a|+C\\&=\boxed{\frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C}\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例4：求$\int\frac1{x(1+2\ln x)}dx$

没有函数的导数等于$\ln x$，所以见到$\ln x$，一般作为整体

$\begin{aligned}\int\frac1{x(1+2\ln x)}dx&=\frac12\int\frac1{1+2\ln x}d(2\ln x+1)\\&=\frac12\ln|1+2\ln x|+C\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例5：求$\int \sin^3xdx$

$\sin$、$\cos$遇到奇数次方，拿出来一个凑积分；遇到偶数次方，利用公式降幂

$\begin{aligned}\int \sin^3xdx&=\int\sin^2x\cdot\sin xdx\\&=-\int(1-\cos^2x)d\cos x\\&=-\cos x+\frac13\cos^3x+C\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例6：求$\int \cos^2xdx$

$\begin{aligned}\int \cos^2xdx&=\int\frac{1+\cos2x}2dx\\&=\frac12x+\frac14\sin2x+C\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例7：求$\int\tan xdx$

$\begin{aligned}\int\tan xdx&=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx\\&=-\int\frac1{\cos x}d\cos x\\&=\boxed{-\ln|\cos x|+C}\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例8：求$\int\csc xdx$

$\begin{aligned}\int\csc xdx&=\int\frac{\csc x(\csc x+\text{cot}\space x)}{\csc x+\text{cot}\space x}dx\\&=\int\frac{\csc^2x+\csc x\text{cot}\space x}{\csc x+\text{cot}\space x}dx\\&=-\int\frac{d(\csc x+\text{cot}\space x)}{\csc x+\text{cot}\space x}\\&=\boxed{-\ln|\csc x+\text{cot}\space x|+C}\\&=-\ln|\frac1{\csc x-\text{cot}\space x}|+C\\&=\boxed{\ln|\csc x-\text{cot}\space x|+C}\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例9：求$\int\sec xdx$

$\begin{aligned}\int\sec xdx&=\int\frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}dx\\&=\int\frac{\sec^2x+\sec x\cdot\tan x}{\sec x+\tan x}dx\\&=\int\frac{d(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\\&=\boxed{\ln|\sec x+\tan x|+C}\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

二、第二类换元法

设函数$x=\phi(t)$是单调的可导的函数，并且$\phi'(t)\ne0$，且$f[\phi(t)]\phi'(t)$有原函数，则$\int f(x)dx\overset{x=\phi(t)}{=}\int f[\phi(t)]\phi'(t)dt$

1. 三角换元

• 当被积函数中有$\sqrt{a^2+x^2}$，令$x=a\sin t$，则$dx=a\cos tdt$

• 当被积函数中有$\sqrt{a^2-x^2}$，令$x=a\tan t$，则$dx=a\sec^2 tdt$

• 当被积函数中有$\sqrt{x^2-a^2}$，令$x=a\sec t$，则$dx=a\sec t\tan tdt$

2. 根式换元

当被积函数中含有积不出来的根式，可以用根式换元。可用于$A\pm\sqrt[B]{x^C\pm D}$，此处$A、B、C、D$都可以为$0$。见例14

3. 倒代换

当被积函数是有理式，且分母的次方数高于分子的时候（高于$2$次及以上），可以用倒代换，令$x=\frac1t$

例10：求$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}\quad(a>0)$

令$x=a\tan t,dx=a\sec^2tdt$

$\begin{aligned}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=\int\frac{a\sec^2t}{a\sec t}dt\\&=\int\sec tdt\\&=\ln|\sec t+\tan t|+C\\&=\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac xa|+C\\&=\boxed{\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C}\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例11：求$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}\quad(a>0)$

令$x=a\sec t,dx=a\sec t\cdot tdt$

$\begin{aligned}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=\int\frac{a\sec t\cdot\tan t}{a\tan t}dt\\&=\int\sec tdt\\&=\ln|\sec t+\tan t|+C\\&=\ln|\frac xa+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}a|+C\\&=\boxed{\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C}\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例12：求$\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+9}}$

对例11的应用。注意将$2x$看做整体，$dx$也要换成$\frac12d(2x)$

$\begin{aligned}\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+9}}&=\frac12\int\frac{d(2x)}{\sqrt{(2x)^2+3^2}}\\&=\frac12\ln(2x+\sqrt{4x^2+9})+C\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例13：求$\int\frac{dx}{\sqrt{1+x-x^2}}$

对例2的应用

$\begin{aligned}\int\frac{dx}{\sqrt{1+x-x^2}}&=\int\frac{d(x-\frac12)}{\sqrt{(\frac{\sqrt5}2)^2-(x-\frac12)^2}}\\&=\arcsin\frac{2x-1}{\sqrt5}+C\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例14：求$\int\frac{dx}{1+\sqrt{3x}}$

令$\sqrt{3x}=t,x=\frac13t^2,dx=\frac23tdt$

$\begin{aligned}\int\frac{dx}{1+\sqrt{3x}}&=\int\frac1{1+t}\cdot\frac23tdt\quad\text{(此处想把}1+\sqrt{3x}\text{积出来很困难，所以考虑换元)}\\&=\frac23\int\frac{t+1-1}{t+1}dt\\&=\frac23\int(1-\frac1{t+1})dt\\&=\frac23(t-\ln|t+1|)+C\\&=\frac23[\sqrt{3x}-\ln(1+\sqrt{3x})]+C\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

三、几个重要的推广

$\int\frac1{a^2+x^2}dx=\frac1a\arctan \frac xa+C$

$\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac xa+C$

$\int\frac1{x^2-a^2}dx=\frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$

$\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C$

$\int\csc xdx=-\ln|\csc x+\text{cot}\space x|+C=\ln|\csc x-\text{cot}\space x|+C$

$\int\sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C$

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$

分部积分法

设函数u=u(x)与v=v(x)具有连续导数，则两个导数的公式为(uv)'=u'v+uv'，移项得$uv'=(uv)'-u'v$对其两边求不定积分得到分部积分的公式，即$\int uv'dx=uv-\int u'vdx或\int udv=uv-\int vdu$分部积分的方法是用于做被积函数有两类函数的题目，按照”反对幂指三“或”反对幂三指“的顺序（记住一个就行），谁靠后谁先凑微分（凑v）

例1：求$\int\arccos xdx$

若被积函数只有反三角函数或对数函数时，直接分部积分

$\begin{aligned}\int\arccos xdx&=x\arccos x-\int xd\arccos x\\&=x\arccos x+\int\frac x{\sqrt{1-x^2}}dx\\&=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\quad(C为任意常数)\end{aligned}$

例2：求$\int e^x\sin xdx$

循环积分：对于被积函数有三角函数与指数函数相乘时，将谁先凑微分，就对谁一直凑微分

$\begin{aligned}\int e^x\sin xdx&=\int\sin xde^x\\&=\sin xe^x-\int \cos xde^x\\&=\sin xe^x-(\cos xe^x+\int e^x\sin xdx)\end{aligned}$

故$\int e^x\sin xdx=\frac12(\sin xe^x-\cos xe^x)+C\quad(C为任意常数)$

例3：求$\int \sec^3xdx$

循环积分

$\begin{aligned}\int \sec^3xdx&=\int\sec x\cdot\sec^2xdx\\&=\int\sec xd\tan x\\&=\sec x\tan x-\int\tan^2x\cdot\sec xdx\\&=\sec x\tan x-\int(\sec^2x-1)\cdot\sec xdx\\&=\sec x\tan x-\int\sec^3xdx+\int\sec xdx\end{aligned}$

$\int\sec^3xdx=\frac12\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|+C\quad(C为任意常数)$

有理函数积分

多项式的积分

被积函数是两个多项式的商$\frac{P(x)}{Q(x)}$称为有理函数，又称为有理分式，当分子多项式$P(x)$的次数小于分母多项式$Q(x)$的次数时，称这个有理函数为真分式，否则为假分式

做法：

1. 如果$\frac{P(x)}{Q(x)}$是假分式，先将假分式化为一个多项式与一个真分式加和的形式$P_1(x)+\frac{P_2(x)}{Q(x)}$，如果被积函数是真分式，则直接进行第二步

2. 将分母因式分解，分解成两个及以上多项式的乘积$Q(x)=Q_1(x)Q_2(x)\cdots Q_n(x)$，之后将真分式拆成两个真分式之和，即$\frac{P_2(x)}{Q(x)}=\frac{P_3(x)}{Q_1(x)}+\frac{P_4(x)}{Q_2(x)}+\cdots+\frac{P_{n+2}(x)}{Q_n(x)}$，之后分别积分

 

例1：求$\int\frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$

$\begin{aligned}\frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}&=\frac A{2x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}\text{(分母有几次，分子从分母次数-1次开始设)}\\&=\frac{(A+2B)x^2+(A+2C+B)x+(A+C)}{(2x+1)(x^2+x+1)}\end{aligned}$

$\begin{cases}A+2B=0\\A+2C+B=1\\A+C=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}A=2\\B=-1\\C=0\end{cases}$

$\begin{aligned}\int\frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx&=\int\frac2{2x+1}dx-\int\frac x{x^2x+1}dx\\&=\ln|2x+1|-\frac12\int\frac{(2x+1)-1}{x^2+x+1}dx\quad\text{(分子比分母第一次，分子凑分母的原函数)}\\&=\ln|2x+1|-\frac12\int\frac{d(x^2+x+1)}{x^2+x+1}+\frac12\int\frac1{x^2+x+1}dx\quad\text{(这里是}\frac1{x^2+a^2}\text{的形式)}\\&=\ln|2x+1|-\frac12\ln(x^2+x+1)+\frac12\int\frac1{(x+\frac12)^2+(\frac{\sqrt3}2)^2}d(x+\frac12)\\&=\ln|2x+1|-\frac12\ln(x^2+x+1)+\frac{\sqrt3}3\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}\quad\text{(C为任意常数)}\end{aligned}$

例2：求$\int\frac{x-3}{(x-1)(x^2-1)}dx$

$\begin{aligned}\frac{x-3}{(x-1)(x^2-1)}&=\frac A{x-1}+\frac B{(x-1)^2}+\frac C{x+1}\text{(此处第二项}B\text{是常数，如果分母有自身高次项，分子从分母最简形式次数}-1\text{次开始设)}\\&\text{如果分母有自身的高次项，则要一次一次设，如}(x-1)^2\text{要分别设}(x-1)\text{和}(x-1)^2\text{，同理如果有三次项，就要设三个}\\&=\frac{(A+C)x^2+(B-2C)x+(-A+B+C)}{(x-1)^2(x+1)}\end{aligned}$

$\begin{cases}A+C=0\\B-2C=1\\-A+B+C=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}A=1\\B=-1\\C=-1\end{cases}$

$\begin{aligned}\int\frac{x-3}{(x-1)(x^2-1)}dx&=\int\frac1{x-1}d(x-1)-\int\frac1{x-1}d(x-1)+\int\frac1{x+1}d(x+1)\\&=\ln|\frac{x-1}{x+1}|+\frac1{x-1}+C\quad\text{(C为任意常数)}\end{aligned}$

万能公式

碰到被积函数只有三角函数和常数的

令$x=\tan\frac x2,x=\arctan t,dx=\frac2{1+t^2}dt$

$\sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2=2\frac{\tan\frac x2}{\tan^2\frac x2+1}=\frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x=\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2=\frac{1-\tan^2\frac x2}{1+\tan^2\frac x2}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2t}{1-t^2}$

例3：求$\int\frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}dx$

令$x=\tan\frac x2,x=\arctan t,dx=\frac2{1+t^2}dt$

$\begin{aligned}\int\frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}dx&=\int\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}(1+\frac{1-t^2}{1+t^2})}\cdot\frac2{1+t^2}dt\\&=\int\frac{t^2+2t+1}{2t}dt\\&=\frac14\tan^2\frac x2+\tan\frac x2+2\ln|\tan\frac x2|+C\quad\text{(C为任意常数)}\end{aligned}$