本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

导数的概念

一、导数的概念

设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$（点$x_0+\Delta x$仍在该邻域内）时，相应的因变量取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$；如果$\Delta y$与$\Delta x$之比当$\Delta x\to0$时极限存在，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$f'(x_0)$，即

也可记作$y'\Big|_{x=x_0}$，$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=x_0}$或$\frac{df(x)}{dx}\Big|_{x=x_0}$

导数的定义式有两种不同的形式

• $f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

• $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

例1：求函数$f(x)=x^n(x\in N_+)$的导数

当n=1时

当n>1时

例2：求幂函数$f(x)=x^\mu(\mu\in R)$的导数

例3，求函数$f(x)=sinx$的导数

例4：求函数$f(x)=a^x(a>0,a\ne1)$的导数

二、单侧导数

左导数：$f'_-(x_0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$

右导数：$f'_+(x_0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$

左导数和右导数统称为单侧导数

函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充分必要条件是左导数$f'_-(x_0)$和右导数$f'_+(x_0)$都存在且相等

注意：$\lim_{x\to x_0^-}f'(x)\ne f'_-(x_0)$。前者是导函数的左极限，后者是左导数

总结来说，左右导数，是函数左右段的实际导数值，若左右导数相等，则函数在该点可导，该导数也是导函数在该点的函数值；而导函数的左右极限，是导函数作为独立函数时求得的函数极限，与原函数联系不大。那么导函数作为一个独立的函数，如果在该点的左右极限相等且等于实际函数值，那么导函数在该点连续。

作者：赵一 

链接：www.zhihu.com/question/42…

个人理解，$\lim_{x\to x_0}f'(x),\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$是两个函数的极限，只是当二者都存在的时候，二者相等。见例5

例5：函数$f(x)=\left\{\begin{aligned}&x^2\sin\frac1x,&x\ne0\\&0,&x=0\end{aligned}\right.$，求$f(x)$在$x=0$处的导数，并说明$f(x)$的导函数是否连续

左导数：$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}x=\lim_{x\to0^-}x\sin\frac1x=0$

右导数：$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=\lim_{x\to0^+}x\sin\frac1x=0$

$\because f'_-(0)=f'_+(0)=0$，$\therefore f'(0)=0$，即$f(x)$在$x=0$处的导数为$0$，再求f(x)的导函数

当$x\ne0$时

极限不存在，同理极限$\lim_{x\to0^+}f'(x)$也不存在，故$f(x)$的导函数在$x=0$处不连续

函数可导性与连续性的关系：可导必连续，连续不一定可导

例6：设$f(x)$在$x=a$的某个邻域内有定义，则$f(x)$在$x=a$处可导的一个充分条件是

A：$\lim_{h\to+\infty}h[f(a+\frac1h)-f(a)]$存在

 

B：$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2}$存在

C：$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$存在

这种想法是错误的，只能说明左导数等于右导数（反例$f(x)=\begin{cases}1,x\ne a\\0,x\ne a\end{cases}$），不能说明可导，甚至不能说明连续，因此上式$\ne f'(a)$

D：$\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}h$存在

当选。其实还要注意该题的思路应该是证明：条件$\Rightarrow \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\Rightarrow f'(a)$

三、导数的几何意义

函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$M(x_0,f(x_0))$处的切线斜率，即$f'(x_0)=\tan\alpha$，其中$\alpha$是切线的倾角

四、导数的应用

• 切线方程

  曲线$y=f(x)$在点$M(x_0,y_0)$处的切线方程为：$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

• 法线方程

  曲线$y=f(x)$在点$M(x_0,y_0)$处的切线方程为：$y-y_0=-\frac1{f'(x_0)}(x-x_0)$

例7：求曲线$y=x^{\frac32}$的通过点$(0,-4)$的切线方程

设切点为$(x_0,y_0)$，则切线斜率为

故切线方程为

又$\because$切点过点$(0,-4)$，代入上式，解得$x_0=4$，故切点方程为$3x-y-4=0$

五、导数的性质

• 连续的奇函数的导函数为偶函数

• 连续的偶函数的导函数为奇函数

• 连续的周期函数的导函数为周期函数

函数求导法则

一、基本求导公式

二、函数和、差、积、商的求导法则

证明：$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

$\lim_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)=v(x)$，因为可导必连续得到的。作为一个因式可以直接换，如果是加减项就不可以

证明：$[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}(v(x)\ne0)$

主要思路在加减项中，因为$f(x+\Delta x)$和$f(x)$之间不能直接运算，所以要尽量凑成导数形式

三、反函数的求导法则

如果函数$x=f(y)$在区间$I_y$内单调、可导且$f'(y)\ne0$，那么它的反函数$y=f^{-1}(x)$在区间I_x=$\{x|x=f(y),y\in I_y\}$内也可导，且

简单来说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数

例1：证明$y\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)$时，函数$y=\arctan x$的导数为$\frac1{1+x^2}$

$y\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)$时，$y=\arctan x$的反函数为$x=\tan y$，在$(-\frac\pi2,\frac\pi2)$内单调可导

例2：已知函数$x=x(y)$由$y=e^x+2x+\sin x$所确定，求$\frac{dx}{dy}$

四、复合函数求导法则

如果$u=g(x)$在点$x$可导，而$y=f(u)$在$u=g(x)$可导，那么复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$可导，且导数为

五、分段函数求导法则

方法：在分段点处用导数的定义求分段点的导数

例3：设函数$y=f(x)=\begin{cases}x^3,x\geq0\\e^{x^2}-1,x<0\end{cases}$，试确定函数在点$x=0$处的导数是否存在，若存在，求$f'(0)$

$\because f'_+(0)=f'_-(0)=0$，故$f'(0)=0$

高阶导数

一、高阶导数的定义

一般地，函数$y=f(x)$的导数$y'=f'(x)$仍然是$x$的函数，我们把$y'=f'(x)$的导数叫做$y=f(x)$的二阶导数，记作$y''$或$\frac{d^2y}{dx^2}$，即

类似地，二阶导的导数叫做三阶导数，三阶导的导数叫做四阶导数，……，一般地，$(n-1)$阶导的导数叫做$n$阶导数，分别记作

函数$y=f(x)$具有$n$阶导数，也说成函数$f(x)$为$n$阶可导，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数

二、高阶导数的求法

1. 归纳法

对需要求高阶导数的函数公式按照求导法则多次接连的求导数，在逐次求导的过程中，找到它的某种规律，从而写出高阶导

2. 分解法

将多项式进行有理式的分解后，之后再去应用归纳法

例1：求函数$\frac1{2x^2-3x-2}$的$n$阶导数

解得

因此

3. 莱布尼茨法则

如果函数$u=u(x)$与$v=v(x)$都在点$x$处具有$n$阶导数，那么显然$u(x)+v(x)$与$u(x)-v(x)$也在点$x$处具有$n$阶导数，且$[u\pm v]^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$，乘积$u(x)\cdot v(x)$常用莱布尼茨公式，即

即

一般幂函数或者其他高阶导数为$0$的函数作为$v(x)$

例2：求函数$y=x^2e^{2x}$的$n$阶导数

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

一、隐函数

1. 隐函数的定义

一般地，如果变量$x$和$y$满足一个方程$F(x,y)=0$，在一定条件下，当$x$取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的$y$值存在，那么就说方程$F(x,y)=0$在该区间内确定了一个隐函数

2. 隐函数求导法

例1：求由方程$e^x+xy-e=0$所确定的隐函数的导数$\frac{dy}{dx}$

两边同时对$x$求导得

例2：求由方程$y^5+2y-x-3x^7=0$所确定的隐函数在x=0处的导数$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0}$

两边同时对$x$求导得，当$x=0$时，

例3：求椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$在点$(2,\frac32\sqrt3)$处的切线方程

两边同时对$x$求导得

切线方程：$\sqrt3x+4y-8\sqrt3=0$

例4：求由方程$x-y+\frac12\sin y=0$所确定的隐函数的二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$

两边同时对$x$求导得

两边再同时对$x$求导得

3. 对数求导法

做法：等式两边同时对数化，之后变成隐函数求导问题

常用于幂指函数，带根号的复杂分式

例5：求$y=x^{\sin x}(x>0)$的导数

例6：求$y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$的导数

注意要分区间使根号有意义，即根号下大于0

当$x>4$时

同理$2<x<3,x<1$

二、参数方程

1. 参数方程的定义

若参数方程$\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$确定$y$与$x$间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数

2. 由参数方程确定的函数的求导

1. 若$\phi(t)和\psi(t)$都可导，且$\phi'(t)\ne0$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$

   证明：$\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi(t)}{\phi(t)}$

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac1{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$$

   也可用 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$

2. 若$\phi(t)和\psi(t)$都可导，且$\phi'(t)\ne0$，则

   $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\psi''(t)\phi'(t)-\phi''(t)\psi'(t)}{{\phi'}^3(t)}$$
   $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac d{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac d{dt}(\frac{dy}{dt})\frac{dt}{dx}=\frac d{dt}[\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}]\frac{dt}{dx}=\frac{\psi''(t)\phi'(t)-\phi''(t)\psi'(t)}{{\phi'}^2(t)}\cdot\frac1{\phi'(t)}=\frac{\psi''(t)\phi'(t)-\phi''(t)\psi'(t)}{{\phi'}^3(t)}$$

例7：设$y=y(x)$由$\begin{cases}x=3t^2+4t-2\\y=e^t+\sin t-1\end{cases}$确定，求$\frac{dy}{dx}\Big|_{t=0},\frac{d^2y}{dx^2}\Big|_{t=0}$

函数的微分

一、微分的定义

设函数$y=f(x)$在某区间内有定义，$x_0$及$x_0+\Delta x$在这区间内，如果函数的增量

可表示为

其中$A$是不依赖于$\Delta x$的常数，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$是可微的，而A$\Delta x$叫做函数$y=f(x)$在点$x_0$相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记作$dy$，即$dy=A\Delta x,\Delta y=dy+o(\Delta x)$

二、可微的充要条件

函数$f(x)$在点$x_0$可微的充分必要条件是函数$f(x)$在点$x_0$可导，且当$f(x)$在点$x_0$可微时，其微分一定是$dy=f'(x_0)\Delta x$

例1：求函数$y=e^{2x}$，当$x=2,\Delta x=0.02$时的微分

代入$x=2,\Delta x=0.02$，则$dy=0.04e^4$

三、微分的运算法则

1. 基本初等函数的微分公式

将导数$dx$移到等号另一面即可

导数公式：$\frac{d(x^\mu)}{dx}=\mu x^{\mu-1}$

微分公式：$d(x^\mu)=\mu x^{\mu-1}dx$

2. 函数的和、差、积、商的微分

将导数变成微分即可

类似前导后不导加后导前不导$d(\frac uv)=\frac{vdu-udv}{v^2}(v\ne0)$

3. 复合函数的微分法则

将导数变成微分即可

设$y=f(u)$与$u=g(x)$都可导，则复合函数$y=f[g(x)]$的微分为

例2：已知$y=e^{3x}\sin(x-4)$，求$dy$