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函数

一、函数的概念

定义：设数集$D\subset R$，则映射$f:D\to R$为定义在$D$上的函数通常记为$y=f(x),x\in D$，其中$x$称为自变量，$y$称为因变量，$D$称作定义域，记作$D_f$

二、几类重要的函数

1. 复合函数

定义：设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，函数$g(x)$的定义域为$D_g$，且其值域$R_g\subset D_f$，则由下式确定的函数与$y=f[g(x)],x\in D_g$，称为由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$构成的复合函数，他的定义域为$D_g$，变量$u$称为中间变量

2. 反函数

定义：设函数$f:D\to f(D)$为单射（一个$x$对应一个$y$，一个$y$也对应一个$x$），则它存在逆映射$f^{-1}:f(D)\subset D$，则此映射$f^{-1}$为函数$f$的反函数。（函数与反函数都是$x$为自变量，$y$是因变量的函数）

补充：若$y=f(x)$的反函数为$y=f^{-1}(x)$，则$y=f(x)$与$y=f^{-1}(x)$关于$y=x$对称

例1：求函数$y=\sin x$在区间$x\in [-\frac {\pi}{2},\frac {3\pi}{2}]$上的反函数

只有单调区间才有反函数，如果不单调就分区间找

当$x \in [-\frac \pi2,\frac \pi2]$时

故反函数为

当$x\in [\frac\pi2,\frac{3\pi}2]$时

反函数为$y^{-1}(x)=\pi-\arcsin x)$

3. 初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数,以上五类函数统称为基本初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的一个式子，称为初等函数

4. 分段函数

自变量在不同的变化范围内，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数

• 符号函数

  $$y=sgnx \begin{cases} -1,x<1\\ 0,x=0\\ 1,x>0 \end{cases}$$

• 取整函数：设$x$为任一实数，不超过$x$的最大整数称为$x$的整数部分，记作$[x]$

例2：已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2,x\geq 0\\e^x,x<0\end{cases}$，求函数$f[f(x)]$

故

三、函数的性质

1. 函数的有界性

设函数$f(x)$的定义域$D$，数集$X\subset D$，若存在数$K_1$，使得$f(x)\leq K_1$，对任一$x\in X$都成立，那么称函数$f(x)$在$X$上有上界，$K_1$称为$f(x)$在$X$上的一个上界。同理有下界。

设函数$f(x)$的定义域$D$，数集$X\subset D$，若存在正数$M$，使得$|f(x)|\leq M$，对任一$x\in X$都成立，那么称函数$f(x)$在$X$上有界。反之无界。

2. 函数的单调性

设函数$f(x)$的定义域$D$，区间$I\subset D$，如果对于区间$I$上任意两点$x_1$及$x_2$，当$x_1<x_2$时，恒有$f(x_1)<f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调增加的。同理单调减少的。

单调增加和单调减少统称为单调函数

3. 函数的奇偶性

设函数$f(x)$的定义域$D$关于原点对称，如果对于任一$x\in D$，$f(-x)=f(x)$恒成立，那么称$f(x)$为偶函数。同理$f(-x)=-f(x)$为奇函数。

4. 函数的周期性

设函数$f(x)$的定义域$D$，如果存在一个正数$T$，使得对于任一$x\in D$，有$(x\pm T)\in D$，$f(x\pm T)=f(x)$，恒成立，那么称$f(x)$为周期函数，$T$为$f(x)$的周期。一般的$T$取最小正周期。

狄利克雷函数：$D(x)=\begin{cases}1,x\in Q\\0,x\in Q^c\end{cases}$。其周期为任意正有理数$r$，故不存在最小正周期

四、函数的四则运算法则

合和差$(f\pm g)=f(x)\pm g(x),x\in D$

积$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D$

商$(\frac f g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x\in D且g(x)\ne 0$

数列的极限

一、定义

1. 数列的定义

按照某一对应法则，对每个$n\in N_+$，对应着一个确定的实数$x_n$，这些实数$x_n$按照下标$n$从小到大排列得到一个序列$x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n,\cdots$，就叫做数列，简记为数列$\{x_n\}$，第n项$x_n$叫做数列的一般项（或通项）

2. 数列极限的定义

设$\{x_n\}$为一数列，如果存在常数$a$，对于任意给定的正数$\varepsilon$（无论它多么小，不依赖于$n$），总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，不等式

都成立，那么称常数$a$是数列$\{x_n\}$的极限，或者数列$\{x_n\}$收敛与$a$，记为

二、收敛数列的性质

1. 极限的唯一性

如果数列$\{x_n\}$收敛，那么它的极限唯一

2. 数列的有界性

如果数列$\{x_n\}$收敛，那么数列$\{x_n\}$一定有界

证明：

$\because$数列$\{x_n\}$收敛，设$\lim_{x\to \infty}x_n=a$，取$\varepsilon=1$，存在正整数$N$，当$n>N$时，由数列极限定义知，不等式

成立，故当$n>N$时

（绝对值的和小于和的绝对值）

取

对于数列$\{x_n\}$中一切$x_n$，均满足$|x_n|\leq M$，因此如果数列$\{x_n\}$收敛，那么数列$\{x_n\}$一定有界

3. 数列的保号性

如果$\lim_{x\to \infty}x_n=a$，且$a>0$（或$a<0$），那么存在正整数$N>0$，当$n>N$时，都有$x_n>0$（或$x_n<0$）

保号性的推论：如果数列$\{x_n\}$从某项起有$x_n\geq 0$（$x_n\leq 0$），且$\lim_{n\to \infty}x_n=a$，那么$a\geq 0$（或$a\leq 0$）

函数的极限

一、函数极限的定义

1. $x\to x_0$时，函数$f(x)$的极限

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心领域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$（无论它多么小），总存在正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式

那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作

$x\to x_0$时，函数$f(x)$极限存在的充要条件是左极限和右极限均存在且相等，即

2. $x\to \infty$时，函数$f(x)$的极限

设函数$f(x)$当$|x|$大于某一正数时有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$（无论它多么小），总存在正数$X$，使得当$x$满足不等式$|x|>X$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式

那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to \infty$时的极限，记作

几何意义：如果$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$，那么$y=A$是$y=f(x)$的一条水平渐近线。

一般$\lim_{x\to\infty}$需要区分$\lim_{x\to +\infty}$和$\lim_{x\to-\infty}$

二、函数极限的性质

1. 函数极限的唯一性

如果$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，那么该极限唯一

2. 函数极限的局部有界性

如果$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$（A是存在的常数，不能是$\infty$），那么存在常数$M>0$和$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时。有$|f(x)|<M$

3. 函数极限的局部保号性

如果$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$。且$A>0$（或$A<0$），那么存在常数$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$，有$f(x)>0$（或$f(x)<0$）

证明$A>0$的情况：

$\because \lim_{x\to x_0}f(x)=A>0$，取$\varepsilon=\frac A2>0$，则$\exists$，当$0<|x-x_0|<\delta$

故$f(x)>0$

推论：如果在$x_0$的某去心邻域内$f(x)\geq0$（或$f(x)\leq0$），而且$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，那么$A\geq0$（或$A\leq0$）

无穷小与无穷大

一、定义

1. 无穷小的定义

如果函数$f(x)$当$x\to x_0$（或$x\to\infty$）是的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷小，即$\lim_{x\to x_0}f(x)=0$（或$\lim_{x\to \infty}f(x)=0$）

2. 无穷大的定义

设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心领域内有定义（或$|x|$大于某一正整数时有定义），如果对于任意给定的正数$M$（不论它多么大），总存在正数$\delta$（或正数$X$），只要$x$适合不等式$0<|x-x_0|<\delta$（或$|x|>X$），对应的函数值$f(x)$总满足不等式

那么称函数$f(x)$是当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷大，即$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$（或$\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty$）

几何意义：$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，那么直线$x=x_0$是函数$y=f(x)$的垂直渐近线

二、性质

1. 无穷小与函数极限的关系

在自变量的同一变化过程$x\to x_0$（或$x\to\infty$）中，函数$f(x)$具有极限$A$的充分必要条件是$f(x)=A+\alpha$，其中$\alpha$是无穷小

解释：

$\alpha$是无穷小即$\lim_{x\to x_0}\alpha=0$

2. 无穷大与无穷小的关系

在自变量的同一变化过程中，如果$f(x)$为无穷大，那么$\frac1{f(x)}$为无穷小；反之，如果$f(x)$为无穷小，且$f(x)\ne0$，那么$\frac1{f(x)}$为无穷大

无穷大与无界的关系：无穷大是指$x_0$的某一去心领域内都趋于无穷，无界至少一个点是无穷；无界包含无穷大

例1：函数$y=x\sin x$在$(-\infty,+\infty)$内是否有界？这个函数是否为$x\to+\infty$时的无穷大？

当$x=2k\pi$时，$k\to+\infty$，则$x\to+\infty$（$k$是正整数）

当$x=2k\pi+\frac\pi2$时，$k\to\infty$（$k$是正整数）

因此，无界非无穷大

极限运算法则

定理一：两个无穷小的和是无穷小

推论：有限个无穷小之和也是无穷小。无限个不成立

定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

例1：求极限$\lim_{x\to0}\overbrace{x}^{无穷小量}\underbrace{\sin\frac1x}_{|\sin\frac1x|\leq1}=0$

推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小

推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。无限个不成立

定理三：如果

那么

• $\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm\lim g(x)=A\pm B$

• $\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B$

• 若又有$B\ne0$，则$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac AB$

定理四：设有数列{x_n}和{y_n}，如果

那么

• $\lim_{n\to\infty}(x_n\pm y_n)=A\pm B$

• $\lim_{n\to\infty}(x_n\cdot y_n)=A\cdot B$

• 当$y_n\ne0(n=1,2,\cdots)$且$B\ne0$时，则$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac AB$

定理五：如果$\phi(x)\geq\Phi(x)$，且$\lim\phi(x)=A,\lim\Phi(x)=B$，则$A\geq B$

定理六：（复合函数的极限运算法则）设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，$y=f[g(x)]$在点$x_0$的某去心邻域内有定义，若$\lim_{x\to x_0}g(x)=u_0,\lim_{u\to u_0}f(u)=A$，且存在$\delta_0>0$，当$x\in\mathring U(x_0,\delta_0)$时，有$g(x)\ne u_0$，则

极限存在法则 两个重要极限

一、两个准则

1. 夹逼准则

准则1：如果数列$\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$满足下列条件：

• 从某项起，即$\exists n_0\in N_+$，当$n>n_0$时，有$y_n\leq x_n\leq z_n$

• $\lim_{n\to\infty}y_n=a,\lim_{n\to\infty}z_n=a$（$a$是实数，不能是$\infty$）

那么数列$\{x_n\}$的极限存在，且$\lim_{n\to\infty}x_n=a$

准则2：如果

• $x\in \mathring U(x_0,r)$（或$|x|>M$）时，$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

• $\lim_{x\to x_0(x\to \infty)}g(x)=A,\lim_{x\to x_0(x\to \infty)}h(x)=A$

那么$\lim_{x\to x_0(x\to \infty)}f(x)$存在，且$\lim_{x\to x_0(x\to \infty)}f(x)=A$

2. 单调有界准则

如果数列$\{x_n\}$满足条件$x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_n\leq x_{n+1}\leq\cdots$，则称数列$\{x_n\}$是单调增加的；如果数列$\{x_n\}$满足条件

则称数列$\{x_n\}$是单调减少的。单调增加和单调减少统称为单调数列。

如果数列$\{x_n\}$为单调增加数列且有上界，那么数列$\{x_n\}$的极限存在

如果数列$\{x_n\}$为单调减少数列且有下界，那么数列$\{x_n\}$的极限存在

二、两个重要极限

补充：倍角公式

例1：求$\lim_{x\to\infty}(1-\frac1x)^x=\lim_{x\to\infty}\{[1+(-\frac1x)]^{-x}\}^{-1}=e^{-1}$

例2：求$\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}x\xlongequal[t=\arcsin x]{x=\sin t}\lim_{t\to0}\frac t{\sin t}=1$

无穷小的比较

一、无穷小的定义

• 如果$\lim\frac\beta\alpha=0$，那么说$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小，记作$\beta=o(\alpha)$

• 如果$\lim\frac\beta\alpha=\infty$，那么说$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小

• 如果$\lim\frac\beta\alpha=c\ne 0$，那么说$\beta$与$\alpha$是同阶无穷小

• 如果$\lim\frac\beta{\alpha^k}=c\ne0$，那么说$\beta$是$\alpha$的$k$阶无穷小（$\beta$与$\alpha^k$是同阶无穷小）

• 如果$\lim\frac\beta\alpha=1$，那么说$\beta$与$\alpha$是等价无穷小，记作$\alpha\sim\beta$

二、重要的等价无穷小（当$x\to0$时）

证明：当$x\to0$时，$1-\cos x\sim\frac12x^2$

证明：当$x\to0$时，$\sqrt[n]{1+x}-1\sim\frac1nx$

定理1：$\beta$与$\alpha$是等价无穷小的充分必要条件为$\beta=\alpha+o(\alpha)$

必要性证明：

设$\beta\sim\alpha$，则

（$-1$移项，去$\lim$）

故$\beta-\alpha=o(\alpha)$，即$\beta=\alpha+o(\alpha)$

充分性证明：

设$\beta=\alpha+o(\alpha)$，则

故$\beta\sim\alpha$

定理2：设$\alpha\sim\tilde\alpha,\beta\sim\tilde\beta$，且$\lim\frac{\tilde\alpha}{\tilde\beta}$存在，则

乘除可以直接用等价无穷小替换，加减不可以

例1：求$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{(\sqrt4{1+x}-1)(\sqrt{1+\sin^2x}-1)}$

函数的连续性与间断点

一、函数连续的定义

• 设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果

    $\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$

    那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$连续

• 设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果

    $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

    那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$连续

二、连续函数的性质

• 设$u(x)$与$v(x)$在$x=x_0$处连续，则经过四则运算之后所得的函数在$x=x_0$处也连续（除法运算要求分母不为$0$）

• 设$f(u)$在$u=u_0$处连续，$g(x)$在$x=x_0$处连续，且$g(x_0)=u_0$，则复合函数$f(g(x))$在$x=x_0$处连续

• 如果函数$y=f(x)$在定义域上$I_x$单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数$x=f^{-1}(y)$在对应的区间$I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\}$上单调增加（或单调减少）且连续

         简单的说明：$x_1>x_2\Leftrightarrow y_1>y_2$

• 基本初等函数在其定义域上都是连续的

• 初等函数在其定义域上都是连续的

三、间断点的定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，在此前提下，如果函数$f(x)$有下列三种情形之一

• 在$x=x_0$没有定义

• 虽在$x=x_0$有定义，但$\lim_{x\to x_0}f(x)$不存在

• 虽在$x=x_0$有定义，且$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，但$\lim_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0)$

那么函数$f(x)$在点$x_0$为不连续，故点$x_0$称为函数$f(x)$的不连续点或间断点

四、间断点的分类

例1：求函数y=f(x)=$\begin{cases}x,x\ne1\\\frac12,x=1\end{cases}$的间断点

故$x\ne1$为可去间断点

闭区间上连续函数的性质

定理1（有界性与最大最小值定理）：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

定理2（零点定理）：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号（即$f(a)\cdot f(b)<0$），则在开区间$(a,b)$上至少有一点$\xi$，使$f(\xi)=0$

定理3（介值定理）：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这个区间的端点取不同的函数值

则对于$A$与$B$之间的任意一个数$C$，在开区间$(a,b)$上至少有一点$\xi$，使得

推论：在闭区间$[a,b]$上连续的函数$f(x)$的值域为闭区间$[m,M]$，其中$m$与$M$分别为函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的最小值和最大值，则取$m\leq C\leq M$，存在$\xi\in[a,b]$，使$f(\xi)=C$

例1：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，$a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b\quad(n\geq3)$，则在$(x_1,x_n)$内至少有一点$\xi$，使得

$\because f(x)$在$[a,b]$上连续，$[x_1,x_n]\subset[a,b]$，故$f(x)$在$[x_1,x_n]$上连续，由最值定理得，存在最大值$M$，最小值$m$

满足

有

由介值定理得存在$\xi\in(x_1,x_n)$，使$f(\xi)=\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}n$