头脑风暴：回文子串

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题目

给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入："abc" 输出：3 解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入："aaa" 输出：6 解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：

输入的字符串长度不会超过 1000 。

解题思路

根据题意，本题可使用动态规划的方式来求解。

第一步，确定dp数组以及下标的含义： dp[i][j]：表示区间范围[i,j] 的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

第二步，确定递推公式：当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。当s[i]与s[j]相等时，有如下三种情况：

下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
下标i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

第三步，dp数组初始化： dp[i][j]初始化为false。

第四步，确定遍历顺序：一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

代码实现

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

最后

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n^2)

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