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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

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概述

• 前面文章写了线性表和树形结构。

• 在线性表中，数据元素是一对一的关系，除了第一个和最后一个元素外，每个元素都有唯一的前驱和后继。

• 在树形结构中，数据元素是一对多的关系，除了根之外，每个节点都有唯一的双亲节点，可以有多个孩子。

• 之后文章中的图形结构是多对多的关系，任何两个数据元素都可能有关系，每个节点可以有多个前驱和后继。

• 图的应用非常广泛，例如交通图，神经网络等。

图片来源：百度，侵删

图的基本术语

• 图通常用一个二元组 $G=<V,E>$ 表示，V 表示顶点集，E 表示边集。

• |V| 表示顶点集中元素的个数，即顶点数，n 个顶点的图称为 n 阶图。

• |E| 表示边集中元素的个数，即边数。

• 注意：顶点集 V 和边集 E 均为有限集合，其中 E 可以为空集，V 不可以为空集，但在运算中，可能产生 V 为空集。V 为空集的图称为空图。

1). 无向图

• 若图 G 中每条边都是没有方向的，则称为无向图。

• 如图，每条边都是两个顶点组成的无序对，例如顶点 V1 和顶点 V3 之间的边，记为 （V1，V3）或（V3，V1）。

2). 有向图

• 若图 G 中每条边都是有方向的 则称为有向图。

• 如图，有向边也称为弧，每条弧都是由两个顶点组成的有序对，例如从顶点 V1 到顶点 V3 的弧，记为 <V1，V3>，V1 称为弧尾，V3 称为弧头。

3). 简单图

既不含平行边也不含环的图称为简单图，上图均为简单图。

• 无向图中，若关联一对顶点的无向边多于一条，则称这些边为平行边。
• 有向图中，若关联一对顶点的无向边多于一条且这些边的始点和终点相同（方向一致），则称这些边为平行边。
• 自环是指一条边关联的两个顶点为同一个顶点，也就是自己到自己有一条边。

含有平行边的图称为多重图，平行边的条数称为重数。

4). 完全图

1. 在无向图中，任意两个点都有一条边，则该图称为无向完全图，含有 n 个顶点的无向完全图，每个顶点到其他的 n-1 个顶点都有边，一共有 $\cfrac{n（n-1）}2$ 条边。
2. 在有向图中，任意两个点都有两条方向相反的两条弧，则该图为有向完全图，含有 n 个顶点的有向完全图，每个顶点发出 n-1 条边，并且进来 n-1 条边，一共有$n（n-1）$条边。

5). 稀疏图和稠密图

• 有很少边或弧的图称为稀疏图，反之，则称为稠密图。

• 一般，若图 G 满足 $|E|<|V|×log|V|$，则称 G 为稀疏图。

6). 网

• 图的边上带值时，该数值称为边的权值，即带权的图称为网。

• 如，在图的边上标注距离、时间、耗费等数值。

7). 邻接和关联

• 邻接是指顶点和顶点之间的关系，关联是指边和顶点的关系。

• 邻接：有边/弧相连的两个顶点之间的关系，如无向边（Vi，Vj），则称 Vi 和 Vj 互为临界点；有向边 <Vi，Vj>，则称 Vi 邻接到 Vj ，Vj 临界与 Vi 。

• 关联：若存在（Vi，Vj）或 <Vi，Vj>，则称该边或弧关联与 Vi 和 Vj 。

8). 顶点的度

• 顶点的度是指与该顶点相关联的边的数目，即为 TD（v）。

• 握手定理：度数之和等于边数的两倍，即 $\displaystyle\sum_{i=0}^nTD(V_i)=2e$ 。

• 其中，n 为顶点数，e 为边数。

• 在计算度数之和时，每条边算了两次。

在有向图中，顶点的度又分为入度和出度。

• 顶点 v 的入度是以 V 为终点的有向边的条数，记作 ID(v)，即进来的边数。
• 顶点 v 的出度是以 V 为始点的有向边的条数，记作 OD(v)，即发出的边数。
• 顶点 v 的度等于其入度和出度之和，即 $TD(v)=ID(v)+OD(v)$ 。

综上$\displaystyle\sum_{i=0}^nID(V_i)=\displaystyle\sum_{i=0}^nOD(V_i)=e$

9). 路径、路径长度和距离

• 路径：接续的边的顶点构成的序列。

• 路径长度：路径上边或弧的数目。

• 距离：从顶点到另一顶点的最短路径长度。

如图，V1 到 V4 的路径有两条。

• V1 、V3 、 V4 ，路径长度为 2
• V1 、V4 ，路径长度为 1

V1 到 V4 的距离为 1。

• 注意：在有向图中，路径必须沿着箭头方向走，无向图有边就能走。

10). 回路（环）、简单路径和简单回路

• 回路(环)：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。如 V1 、V3 、V4 、V1，就是回路。

• 简单路径：除路径始点和终点可以相同外，其余顶点均不相同的路径。V1 、V3 、V4 、V1、V2 不是简单回路（V1 经历了两次），V1 、V3 、V4 、V2 是简单路径。

• 简单回路：除路径始点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径。V1 、V3 、V4 、V1，就是简单回路。

11). 子图与生成子图

• 子图：设有两个图 G=(V，E)、G1=(V1，E1)，若 V1⊆V，E1⊆E，则称 G1 是 G 的子图。从图中选择若干个顶点、若干条边构成的图称为原图的子图。

• 生成子图：从图中选择所有的顶点，若干条边构成的图称为原图的生成子图。

12). 连通图和连通分量

• 连通图：在无向图中，如果顶点 Vi 到 Vj 有路径，则称 Vi 和 Vj 是连通的。如果图中任何两个顶点都是连通的，则称 G 为连通图。

• 极大连通子图：该子图是 G 的连通子图，如果再加入一个顶点（原图的顶点集中任何一个），该子图不连通。

• 连通分量：无向图 G 的极大连通子图称为 G 的连通分量。

• 对于连通图，其连通分量就是它自己；对于非连通图，则有 2 个以上连通分量。

• 其中 V4 不是连通分量，因为它加个 V2 所构成的图还是连通的。

13). 强连通图和强连通分量

• 强连通图：在有向图中，如果图中任何两个顶点 Vi 到 Vj 有路径，且 Vj 到 Vi 也有路径，则称 G 为强连通图。

• 极大强连通子图：该子图是 G 的强连通子图，如果再加入一个顶点（原图的顶点集中任何一个），该子图不强连通。

• 强连通分量：有向图 G 的极大强连通子图称为 G 的强连通分量。

14). 树和有向图

• 从图论的角度看，树是一个无环连通图。

一个含 n 个顶点、m 条边的图，只要满足下列五个条件之一就是一棵树：

• G 是连通图且 $m=n-1$；
• G 是连通图且无环；
• G 是连通图，但删除任意一条边就不连通；
• G 是无环图，但添加任意一条边就会产生环；
• G 中任意一对顶点之间仅存在一条简单路径。

有向树：只有一个顶点入度为 0，其余顶点入度均为 1 的有向图。如图。

15). 生成树和生成森林

• 极小连通子图：该子图是 G 的连通子图，在该子图中删除任何一条边，该子图不在连通。

• 生成树：包含无向图 G 所有顶点的极小连通子图。

• 因为生成树包含所有顶点，因此只有连通图才有生成树，而非连通图，每一个连通分量会有一棵生成树。

• 生成森林：对非连通图，由各个连通分量的生成树组成的集合。

16). 二分图

• 二分图，又称为二部图，是图论中的一种特殊模型。

设 G=<V，E> 是一个无向图

• 顶点集 V 可分割为两个互不相交的子集 V1 、V2
• 图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点 i 和 j 分别属于这两个不同的顶点集（i⊆V1，j⊆V2）
• 称图 G 为二分图，如图。

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下期预告：图的存储_邻接矩阵