这是我参与「第四届青训营」笔记创作活动的的第12天

概述

要求

必须采用顺序存储结构
必须按关键字大小有序排列（后有补充说明）

复杂度

时间复杂度： $O(\log n)$

本质

二分查找本质是把数组看作左右两部分，然后找到两部分的边界，因此数组有序不是必要条件。只要能把数组分成两个部分，那么就可以使用二分法。

基本原则

每次都要缩减搜索范围
每次缩减不能排除潜在答案（若题目规定有多个可行答案，则每次缩减不能排除所有潜在答案）

基本模板1

来源

二分查找为什么总是写错？

一般流程

满足isBlue(m)函数的情况会导致l移动。因此最终l所在的位置即为最后一个满足isBlue(m)的数组元素的位置或-1，最终r在的位置即为第一个不满足isBlue(m)的数组元素的位置或N。

后处理一般是边界处理，即检查返回的l或r是否越界（即l或r不移动），一般有以下三种情况：

数组元素只有一个。
不存在“等于”的数字。
符合条件的数字恰好在端点处，如：在[2, 5]中寻找≤ 5的数字，最终l = 1，r = 2，r不移动。

伪代码

l = -1, r = N  # l是左边界，r是右边界。l = 数组第一个元素的前一个位置，r = 数组最后一个元素的后一个位置
while l +1 != r
	m = l + (r - l) // 2  # 防止溢出，如果直接用m = (l + r) / 2可能会溢出
	if isBlue(m)
		l = m
	else
		r = m
checkCondition()  # 一些条件处理，如边界检测等
return l or r

时间复杂度： $O(\log n)$

细节问题

l和r指代什么 l表示蓝色区域最后一个元素的下标，r表示红色区域第一个元素的下标。
为什么l的初始值为-1而不是0，r的初始值为N而不是N-1？当数组全为红色区域或蓝色区域时，l和r的定义违背了第一条。
m是否始终处于 $[0, N)$ 以内？当 $l=l_{min}=-1, r=r_{min}=1$ 时， $m=m_{min}=0$ 注意：由于m可以为0，说明数组至少含有一个元素，因此 $r_{min}$ 只可以为1，而非0（参考第二条）。另外，若 $r=0$ ，则程序将会立马退出while循环当 $l=l_{max}=N-2, r=r_{max}=N$ 时， $m=m_{max}=N-1$ 注意：为什么 $l_{max}$ 不等于N-1？因为当 $l_{max}=N-2$ 时将会进入while的最后一次循环，此时通过计算得到l的新值l = m = N - 1。之后就由于不满足l + 1 != r无法再进入下一次while循环。所以能进入循环的 $l_{max}$ 只能为N - 2。
更新指针时，能不能写成l = m + 1或r = m - 1？对于这种模板来说，不能。若m刚好指向蓝色区域的右边界，那么l = m + 1会导致l进入红色区域。同理，若m刚好指向红色区域的左边界，那么r = m - 1会导致r进入蓝色区域。
会不会进入死循环？当l + 1 = r时，会退出循环。当l + 2 = r时，m将指向l和r正中间，此时要么l = m，要么r = m，之后将会进入第一种情况。其他情况，最后都会进入上述两种情况。因此，程序不会陷入死循环。
isBlue(m)问题 isBlue(m)只能是判断第m个元素是否属于蓝色区域，不能判断其是否属于红色区域。

部分常见题型

另外，若要找值为target的元素，则需令isBlue(m)条件为<= target，然后判断第l个元素是否为target，并且注意边界情况，最后返回l（方法不唯一）。

基本模板2

来源

二分查找细节详解，顺便赋诗一首

框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

其中...标记的部分是可能出现细节问题的部分。

搜索区间为左闭右闭型。

技巧

不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节
使用left + (right - left) / 2防止溢出

寻找一个数（基本的二分搜索）

代码（左闭右闭）

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}

细节

什么是左闭右闭区间？什么是左闭右开区间？左闭右闭区间：left和right指向的都是搜索区间内的元素，即搜索范围是[left, right]。当搜索区间为空时，left = right + 1，此时搜索区间为[right + 1, right]，显然不包含任何元素，因此while循环条件是left <= right或left + 1 != right，即退出循环时left = right + 1 左闭右开区间：left指向搜索区间的起始位置（第一个元素），right指向搜索区间末端的后一个元素，即搜索范围是[left, right)。当搜索区间为空时，left = right，此时搜索区间为[left, left)，显然不包含任何元素，因此while循环条件是left < right或left != right，即退出循环时left = right
如何判断搜索区间的类型？规定mid = left + (right - left) / 2 则当while的循环条件是left <= right或left + 1 != right时，搜索区间是左闭右闭型，且right的初值一般为nums.size() - 1，且right = mid - 1。当while的循环条件是left < right或left != right时，搜索区间是左闭右开型，且right的初值一般为nums.size()，且right = mid。此处不考虑左开右闭型。
为什么while循环的条件中是<=，而不是<？因为该模板是左闭右闭型。
为什么left = mid + 1，right = mid - 1？而有的代码是right = mid或者left = mid？因为该模板是左闭右闭型。当发现mid不是要找的target后，自然下一个要搜索的区间是[left, mid - 1]或[mid + 1, right]，因为mid已经搜索过，应该从搜索区间中去除。若是左闭右开区间，则下一个搜索区间就是[left, mid)或[mid + 1, right)，因此应该使用left = mid + 1和right = mid。而模板1之所以同时使用left = mid和right = mid，是因为思考的角度不同：模板1把数组分为蓝红两个部分，left和right分别指向蓝红区域的边界。数组中任何一个元素只有两种可能：要么是蓝色，要么是红色。所以如果nums[mid]是蓝色，则left = mid，反之亦然。
该模板的缺陷只能找到target，但不能找到target第一次、最后一次出现的位置，也不能找到第一个大于或小于target的元素的位置。

二分查找算法模板总结

概述

要求

复杂度

本质