本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

一、前言

计算机系统在计算、运输、数据传输过程中可能产生错误

硬件原因：辐射、撞击、老化、底噪
软件原因：BUG

在计算或数据存储中，使用汉明码（Hamming Code）不仅可以能判断是否出错，还能修正错误

二、最小汉明距离

任意两个等长数字中，不同位的总数称为汉明距离（Hamming Distance），记为D

例如：
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0 0 1
	* * *
D=3

任意两个合法编码的汉明距离的最小值称为最小汉明距离，记为Dmin。

Dmin决定了汉明码的纠错能力：

例如：假设字长=3，合法编码为c1=000、c2=111，则Dmin=3
	若收到x=001：
		若最多有1位错误，则源数据为c1
		若最多有2位错误，无法判断源数据，只能判定出错
		若最多有3位错误，无法判断源数据，只能判定出错

设最小汉明距离Dmin，最多可以对k位查错/纠错，k=(Dmin-1)/2

假设n位汉明码有m位有效信息和r位校验码，可以对k位纠错的前提是：每个合法编码对应了C k/n+k个编码，因此有：

C k/m+r+k ≤ 2^r^ 或 C k/n+k +2^m^≤2^n^

例如：（1）设m=7，r=4，是否可以对k=1纠错？（2）设m=4，k=1，最少需要几位进行编码？
（1）C 1/12 =12≤2^4=16，可以
（2）C 1/5+r =5+r≤2^r → r≥3

三、确定汉明码的编码

Ⅰ、校验位和有效位

二进制编码中：除了2的次幂，每个数字至少包含两项

例如：5=4+1，13=8+4+1

约定：2的次幂位是校验位，有效数字由低到高填满剩余位

例如：（星标为校验位）m=8，r=4，k=1
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1
            **          **    ** **

Ⅱ、校验位该填什么值？

第n位是校验位时：采用偶校验，查看可以分解出该位的数值位是否为1，有一位为1就加一，加法是模2加法

例如：
1 1 0 1 __ 0 1 1 __ 0 0 __

记第k位为dk，第2^n位记为校验位pn
由于3=2+1、5=4+1、7=4+2+1、9=8+1、11=8+4+1，d1=p0=d3+d5+d7+d9+d11=1
同理：
d2=p1=d3+d6+d7+d10+d11=0
d4=p2=d5+d6+d7+d12=1
d8=p3=d9+d10+d11+d12=1

结果为
1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1
        *       *   * *

三、如何纠错？

通过错误的汉明码可以判断是否出错并给出具体位

例如：
1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1
        *       *   * * 
根据有效位计算每一位校验值，核对
p0=d3+d5+d7+d9+d11=0≠1=d1，出错，并且限定了错误范围
p1=d3+d6+d7+d10+d11=0=d2
p2=d5+d6+d7+d12=0≠1=d4，出错，并且限定了错误范围
p3=d9+d10+d11+d12=1=d8

寻找交集元素即可知：d5出错，取非得1完成修正

只要两个位计算结果不相符就能通过交集元素知道错误位，交集有且仅有一个元素才做到了查错

计算机组成与体系结构——汉明码