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[NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 $n \times m$ 的矩阵，矩阵中的每个元素 $a_{i,j}$ 均为非负整数。游戏规则如下：

每次取数时须从每行各取走一个元素，共 $n$ 个。经过 $m$ 次后取完矩阵内所有元素；
每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 $\times 2^i$ ，其中 $i$ 表示第 $i$ 次取数（从 $1$ 开始编号）；
游戏结束总得分为 $m$ 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式

输入文件包括 $n+1$ 行：

第一行为两个用空格隔开的整数 $n$ 和 $m$ 。

第 $2\sim n+1$ 行为 $n \times m$ 矩阵，其中每行有 $m$ 个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

输出文件仅包含 $1$ 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

样例 #1

样例输入 #1

2 3
1 2 3
3 4 2

样例输出 #1

提示

【数据范围】

对于 $60\%$ 的数据，满足 $1\le n,m\le 30$ ，答案不超过 $10^{16}$ 。
对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le n,m\le 80$ ， $0\le a_{i,j}\le1000$ 。

【题目来源】

NOIP 2007 提高第三题。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,ans,a[84],dp[84][84];
//dp[i][j]表示在当前行取走第i到第j个数能获得的最大价值 
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			cin>>a[j];
			dp[j][j]=a[j]*(1<<m);
			//初始化：每个数在第m个被取走获得的价值是最大的 
			//1<<i表示2^i 
		}
		for (int l=2;l<=m;l++)//枚举区间跨度 
			for (int k=1;k+l-1<=m;k++)//起点 
			{
				int r=k+l-1;//终点 
				dp[k][r]=max(dp[k+1][r]+a[k]*(1<<(m-l+1)),dp[k][r-1]+a[r]*(1<<(m-l+1)));
				//对于每个区间[k,r]每次要么取走k，要么取走r
				//取数的次数为:m-l+1 
			}
		ans+=dp[1][m];//累加进ans 
	}
	cout<<ans;//输出 
	return 0;
}

【8月刷题打卡】矩阵取数游戏