558. 四叉树交集 : 简单递归运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 558. 四叉树交集 ，难度为中等。

Tag : 「递归」

二进制矩阵中的所有元素不是 $0$ 就是 $1$ 。

给你两个四叉树，quadTree1 和 quadTree2。

其中 quadTree1 表示一个 $n \times n$ 二进制矩阵，而 quadTree2 表示另一个 $n \times n$ 二进制矩阵。

请你返回一个表示 $n \times n$ 二进制矩阵的四叉树，它是 quadTree1 和 quadTree2 所表示的两个二进制矩阵进行按位逻辑或运算的结果。

注意，当 isLeaf 为 False 时，你可以把 True 或者 False 赋值给节点，两种值都会被判题机制接受。

四叉树数据结构中，每个内部节点只有四个子节点。此外，每个节点都有两个属性：

val：储存叶子结点所代表的区域的值。 $1$ 对应 True， $0$ 对应 False；
isLeaf: 当这个节点是一个叶子结点时为 True，如果它有 $4$ 个子节点则为 False 。

class Node {
    public boolean val;
    public boolean isLeaf;
    public Node topLeft;
    public Node topRight;
    public Node bottomLeft;
    public Node bottomRight;
}

我们可以按以下步骤为二维区域构建四叉树：

如果当前网格的值相同（即，全为 $0$ 或者全为 $1$ ），将 isLeaf 设为 True ，将 val 设为网格相应的值，并将四个子节点都设为 Null 然后停止。
如果当前网格的值不同，将 isLeaf 设为 False，将 val 设为任意值，然后如下图所示，将当前网格划分为四个子网格。
使用适当的子网格递归每个子节点。

四叉树格式：

输出为使用层序遍历后四叉树的序列化形式，其中 null 表示路径终止符，其下面不存在节点。

它与二叉树的序列化非常相似。唯一的区别是节点以列表形式表示 [isLeaf, val] 。

如果 isLeaf 或者 val 的值为 True ，则表示它在列表 [isLeaf, val] 中的值为 $1$ ；如果 isLeaf 或者 val 的值为 False ，则表示值为 $0$ 。

示例 1：

输入：quadTree1 = [[0,1],[1,1],[1,1],[1,0],[1,0]]
, quadTree2 = [[0,1],[1,1],[0,1],[1,1],[1,0],null,null,null,null,[1,0],[1,0],[1,1],[1,1]]

输出：[[0,0],[1,1],[1,1],[1,1],[1,0]]

解释：quadTree1 和 quadTree2 如上所示。由四叉树所表示的二进制矩阵也已经给出。
如果我们对这两个矩阵进行按位逻辑或运算，则可以得到下面的二进制矩阵，由一个作为结果的四叉树表示。
注意，我们展示的二进制矩阵仅仅是为了更好地说明题意，你无需构造二进制矩阵来获得结果四叉树。

示例 2：

输入：quadTree1 = [[1,0]]
, quadTree2 = [[1,0]]

输出：[[1,0]]

解释：两个数所表示的矩阵大小都为 1*1，值全为 0 
结果矩阵大小为 1*1，值全为 0 。

示例 3：

输入：quadTree1 = [[0,0],[1,0],[1,0],[1,1],[1,1]]
, quadTree2 = [[0,0],[1,1],[1,1],[1,0],[1,1]]

输出：[[1,1]]

示例 4：

输入：quadTree1 = [[0,0],[1,1],[1,0],[1,1],[1,1]]
, quadTree2 = [[0,0],[1,1],[0,1],[1,1],[1,1],null,null,null,null,[1,1],[1,0],[1,0],[1,1]]

输出：[[0,0],[1,1],[0,1],[1,1],[1,1],null,null,null,null,[1,1],[1,0],[1,0],[1,1]]

示例 5：

输入：quadTree1 = [[0,1],[1,0],[0,1],[1,1],[1,0],null,null,null,null,[1,0],[1,0],[1,1],[1,1]]
, quadTree2 = [[0,1],[0,1],[1,0],[1,1],[1,0],[1,0],[1,0],[1,1],[1,1]]

输出：[[0,0],[0,1],[0,1],[1,1],[1,0],[1,0],[1,0],[1,1],[1,1],[1,0],[1,0],[1,1],[1,1]]

提示：

quadTree1 和 quadTree2 都是符合题目要求的四叉树，每个都代表一个 $n \times n$ 的矩阵。
$n == 2^x$ ，其中 $0 <= x <= 9$

递归

为了方便，我们令 quadTree1 为 t1，令 quadTree2 为 t2。

根据题意，并利用给定函数作为递归函数，当 t1 和 t2 均为叶子节点数时，执行「与逻辑」，即若 t1 和 t2 任一值为 $1$ 时，返回该节点，否则（两者均为 $0$ ），返回任一节点。

然后考虑其他情况下，如何使用 t1 和 t2 构造新节点 ans，分别使用对应位置的进行「递归」构造即可（即使用 t1.topLeft 和 t2.topLeft 来赋值给 ans.topLeft，其余位置同理），要注意可能存在 t1 或 t2 其中一节点为叶子节点的情况，此时应当使用当前叶子节点和另一节点的子节点进行构造。

最后考虑什么情况下，会产生新的叶子节点：若当前节点 ans 的四个子节点均为叶子节点，并且值相同时，ans 会成为叶子节点，ans 值为叶子节点的值，此时需要执行的操作为将 isLeaf 设定为 True，修改 val 为原子节点的值，将四个原子节点置空。

Java 代码：

class Solution {
    public Node intersect(Node t1, Node t2) {
        if (t1.isLeaf && t2.isLeaf) {
            if (t1.val) return t1;
            else if (t2.val) return t2;
            else return t1;
        }
        Node ans = new Node();
        ans.topLeft = intersect(t1.isLeaf ? t1 : t1.topLeft, t2.isLeaf ? t2 : t2.topLeft);
        ans.topRight = intersect(t1.isLeaf ? t1 : t1.topRight, t2.isLeaf ? t2 : t2.topRight);
        ans.bottomLeft = intersect(t1.isLeaf ? t1 : t1.bottomLeft, t2.isLeaf ? t2 : t2.bottomLeft);
        ans.bottomRight = intersect(t1.isLeaf ? t1 : t1.bottomRight, t2.isLeaf ? t2 : t2.bottomRight);
        boolean a = ans.topLeft.isLeaf && ans.topRight.isLeaf && ans.bottomLeft.isLeaf && ans.bottomRight.isLeaf;
        boolean b = ans.topLeft.val && ans.topRight.val && ans.bottomLeft.val && ans.bottomRight.val;
        boolean c = ans.topLeft.val || ans.topRight.val || ans.bottomLeft.val || ans.bottomRight.val;
        ans.isLeaf = a && (b || !c);
        ans.val = ans.topLeft.val;
        if (ans.isLeaf) ans.topLeft = ans.topRight = ans.bottomLeft = ans.bottomRight = null;
        return ans;
    }
}

TypeScript 代码：

function intersect(t1: Node | null, t2: Node | null): Node | null {
    if (t1.isLeaf && t2.isLeaf) {
        if (t1.val) return t1
        else if (t2.val) return t2
        else return t1
    }
    const ans: Node = new Node()
    ans.topLeft = intersect(t1.isLeaf ? t1 : t1.topLeft, t2.isLeaf ? t2 : t2.topLeft)
    ans.topRight = intersect(t1.isLeaf ? t1 : t1.topRight, t2.isLeaf ? t2 : t2.topRight)
    ans.bottomLeft = intersect(t1.isLeaf ? t1 : t1.bottomLeft, t2.isLeaf ? t2 : t2.bottomLeft)
    ans.bottomRight = intersect(t1.isLeaf ? t1 : t1.bottomRight, t2.isLeaf ? t2 : t2.bottomRight)
    const a: boolean = ans.topLeft.isLeaf && ans.topRight.isLeaf && ans.bottomLeft.isLeaf && ans.bottomRight.isLeaf
    const b: boolean = ans.topLeft.val && ans.topRight.val && ans.bottomLeft.val && ans.bottomRight.val
    const c: boolean = ans.topLeft.val || ans.topRight.val || ans.bottomLeft.val || ans.bottomRight.val
    ans.isLeaf = a && (b || !c)
    ans.val = ans.topLeft.val
    if (ans.isLeaf) ans.topLeft = ans.topRight = ans.bottomLeft = ans.bottomRight = null
    return ans
};

时间复杂度：复杂度与最终矩阵大小相关，而最终矩阵大小不会超过原矩阵大小，复杂度为 $O(n^2)$
空间复杂度：忽略递归带来的额外空间开销，复杂度为 $O(1)$

加餐

另外一道也是「四叉树」相关的递归运用题 : 【综合笔试题】难度 2/5，递归运用及前缀和优化 🎉🎉

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.558 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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