【数字电路】※逻辑代数基础

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

【数字电路】※逻辑代数基础

• • 写在前面
  • 2.1 基本概念
  • • 逻辑代数
    • 基本逻辑运算
    • 复合逻辑运算
  • 2.2 逻辑代数定律和运算规则
  • • 基本定律
    • 运算规律
  • 2.3 逻辑函数及其描述方法
  • • 基本概念
    • 逻辑函数式的两种标准形式
  • 2.4 逻辑函数的化简方法
  • • 标准
    • 代数化简方法
    • 卡诺图化简方法
  • 2.5 逻辑函数表达式的转换
  • • 目的
    • 方法

写在前面

本系列文章用于哈工大（威海）数字电路复习，基于石代锋老师2020年为软件专业同学所讲述的数字逻辑设计的ppt和录课，本系列文章已完结，目录链接：【数字逻辑设计】复习大纲。

2.1 基本概念

逻辑代数

• 逻辑变量：字母表示的变量，取值仅有0和1两种，不表示大小，仅表示对立状态
• 描述方法：真值表（全部列出），逻辑符号（形象化的表示）

基本逻辑运算

• 与运算： F = A B = A ∩ B = A ⋅ B = A ∧ B F=AB=A\cap B = A · B = A \land B F=AB=A∩B=A⋅B=A∧B，半圆符号表示，电路图开关串联
• 或运算： F = A + B = A ∪ B = A ∨ B F=A+B=A\cup B = A \vee B F=A+B=A∪B=A∨B，凹半圆符号表示，电路图开关并联
• 非运算： F = ¬ A F=\neg A F=¬A，三角+圆圈符号表示，电路图开关与灯泡并联

复合逻辑运算

• 与非运算： F = ¬ A B F=\neg AB F=¬AB，有0出1，全1为0，半圆+圆圈符号表示
• 或非运算： F = ¬ （ A + B ） F=\neg （A+B） F=¬（A+B），有1出0，全0为1，凹半圆+圆圈符号表示
• 与或非运算： F = ¬ （ A B + C D ） F=\neg （AB+CD） F=¬（AB+CD）
  
• 异或运算： F = A ⊕ B = A ¬ B + ¬ A B F=A \oplus B = A \neg B+ \neg A B F=A⊕B=A¬B+¬AB，相同为0，不同为1，弧线+凹半圆符号表示
• 同或运算： F = A ⊙ B = A B + ¬ A ¬ B F=A \odot B = A B+ \neg A \neg B F=A⊙B=AB+¬A¬B，相同为1，不同为0，弧线+凹半圆+圆圈符号表示，异或与同或互为反运算！！！

2.2 逻辑代数定律和运算规则

基本定律

重叠率常常用于减少相同项数的个数或者增加某一项然后用于结合律。

运算规律

• 代入规律：可以将任何一个逻辑表达式带入任何一个变量
• 反演规律：
  其中非号保留是把不属于单变量的非号都保留，而去掉非号指的是去掉最大的非号。
• 对偶规律：
  

2.3 逻辑函数及其描述方法

基本概念

• 定义：逻辑变量为输入，运算结果为输出的表达式
• 描述方法：真值表，逻辑函数式

逻辑函数式的两种标准形式

• 最小项之和（标准与或式）。所有 n个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的乘积项。n变量逻辑函数的最小项有 2 n 2^n 2n个。最小项通常用符号mi来表示。

• 最大项之积（标准或与式）。所有 n个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的和项。n变量逻辑函数的最大项有 2 n 2^n 2n个。最小项通常用符号Mi来表示，其中非变量为1。

• 性质：

  • n变量的全部最小项之和恒为1，任意两个最小项之积恒等于0 。
  • n变量的全部最大项之积恒为0，任意两个最大项之和恒等于1 。
  • 相同编号的最小项和最大项互为反函数
    

• 卡诺图：

  • 性质：逻辑相邻的项在几何上也相邻（相接，相对，相重），牢记00 01 11 10即可
    
  • 作用：将**最小项之和（标准与或式）**中出现的最小项

• 逻辑图：电路图，用门的形状表示

• 波形图：按照时间顺序排列

2.4 逻辑函数的化简方法

标准

• 门最少：包含的与项最少
• 门的输入端最少：各个与项的变量数最少

代数化简方法

• 并项法： A B + A ¬ B = A AB+A \neg B = A AB+A¬B=A
• 消项法： A + A B = A A+AB = A A+AB=A， A B + ¬ A C + B C = A B + ¬ A C AB+\neg AC+BC = AB + \neg AC AB+¬AC+BC=AB+¬AC
• 消元法： A + ¬ A B = A + B A+ \neg AB = A+B A+¬AB=A+B
• 配项法： 1 = A + ¬ A 1 = A+\neg A 1=A+¬A， A = A + A A = A+A A=A+A

卡诺图化简方法

• 几何位置相邻的最小项可以合并（ A + ¬ A = 1 A+\neg A = 1 A+¬A=1），满足：

  • 圈中必须包含 2 n 2^n 2n个方格
  • 所有1都入圈
  • 圈中必须包含至少一个不在其它圈中的1

• 几何位置的相邻有三种情况

• 卡诺图结果可能不同，但形式相同

• 对没有意义/不出现的项的称作无关项，使用d来表示，比如8421码表示10进制时，超过10进制的部分。在化简时可用于扩圈。
  
  

2.5 逻辑函数表达式的转换

目的

将函数表达式转换为适合芯片使用的表达式，我们喜欢只需要一种门的门电路！

方法

• 最简与或->最简与非-与非：二次取反
• 最简与或->最简与或非：对Y非的最简与或式求反
  
• 最简与或->最简或非-或非：对Y的最简与或非式中的乘积项二次取反