873. 最长的斐波那契子序列的长度 : 经典序列 DP 运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 873. 最长的斐波那契子序列的长度 ，难度为中等。

Tag : 「序列 DP」、「哈希表」、「动态规划」

如果序列 $X_1, X_2, ..., X_n$ 满足下列条件，就说它是斐波那契式的：

n >= 3
对于所有 i + 2 <= n，都有 $X_i + X_{i+1} = X_{i+2}$

给定一个严格递增的正整数数组形成序列 arr，找到 arr 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果一个不存在，返回 $0$ 。

（回想一下，子序列是从原序列 arr 中派生出来的，它从 arr 中删掉任意数量的元素（也可以不删），而不改变其余元素的顺序。例如， [3, 5, 8] 是 [3, 4, 5, 6, 7, 8] 的一个子序列）

示例 1：

输入: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8]

输出: 5

解释: 最长的斐波那契式子序列为 [1,2,3,5,8] 。

示例 2：

输入: arr = [1,3,7,11,12,14,18]

输出: 3

解释: 最长的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18] 。

提示：

$3 <= arr.length <= 1000$
$1 <= arr[i] < arr[i + 1] <= 10^9$

序列 DP

定义 $f[i][j]$ 为使用 $arr[i]$ 为斐波那契数列的最后一位，使用 $arr[j]$ 为倒数第二位（即 $arr[i]$ 的前一位）时的最长数列长度。

不失一般性考虑 $f[i][j]$ 该如何计算，首先根据斐波那契数列的定义，我们可以直接算得 $arr[j]$ 前一位的值为 $arr[i] - arr[j]$ ，而快速得知 $arr[i] - arr[j]$ 值的坐标 $t$ ，可以利用 arr 的严格单调递增性质，使用「哈希表」对坐标进行转存，若坐标 $t$ 存在，并且符合 $t < j$ ，说明此时至少凑成了长度为 $3$ 的斐波那契数列，同时结合状态定义，可以使用 $f[t][j]$ 来更新 $f[i][j]$ ，即有状态转移方程：

f[i][j] = \max(3, f[j][t] + 1)

同时，当我们「从小到大」枚举 $i$ ，并且「从大到小」枚举 $j$ 时，我们可以进行如下的剪枝操作：

可行性剪枝：当出现 $arr[i] - arr[j] >= arr[j]$ ，说明即使存在值为 $arr[i] - arr[j]$ 的下标 $t$ ，根据 arr 单调递增性质，也不满足 $t < j < i$ 的要求，且继续枚举更小的 $j$ ，仍然有 $arr[i] - arr[j] >= arr[j]$ ，仍不合法，直接 break 掉当前枚举 $j$ 的搜索分支；
最优性剪枝：假设当前最大长度为 ans，只有当 $j + 2 > ans$ ，我们才有必要往下搜索， $j + 2$ 的含义为以 $arr[j]$ 为斐波那契数列倒数第二个数时的理论最大长度。

代码：

class Solution {
    public int lenLongestFibSubseq(int[] arr) {
        int n = arr.length, ans = 0;
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) map.put(arr[i], i);
        int[][] f = new int[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0 && j + 2 > ans; j--) {
                if (arr[i] - arr[j] >= arr[j]) break;
                int t = map.getOrDefault(arr[i] - arr[j], -1);
                if (t == -1) continue;
                f[i][j] = Math.max(3, f[j][t] + 1);
                ans = Math.max(ans, f[i][j]);
            }
        }
        return ans;
    }
}

时间复杂度：存入哈希表复杂度为 $O(n)$ ；DP 过程复杂度为 $O(n^2)$ 。整体复杂度为 $O(n^2)$
空间复杂度： $O(n^2)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.873 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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