计算机图形学 9.6-笔记

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正文

9 信号处理

9.5 抽样理论

如果你只对实现感兴趣,可以在这里停止阅读;前几节中的算法和建议将让您实现执行采样和重建的程序并获得出色的结果。

然而,有一个更深层次的采样数学理论,其历史可以追溯到电信中采样表示的首次使用。抽样理论回答了许多难以通过严格基于尺度论证的推理来回答的问题。

但最重要的是,抽样理论为抽样和重建的工作提供了宝贵的见解。它为学习它的学生提供了一套额外的智力工具,用于推理如何使用最有效的代码获得最佳结果。

9.5.1 傅里叶变换

傅里叶变换与卷积一起,是构成采样理论的主要数学概念。您可以在许多有关分析的数学书籍以及有关信号处理的书籍中阅读有关傅立叶变换的信息。
傅里叶变换背后的基本思想是通过将所有频率的正弦波(正弦波)相加来表达任何函数。通过为不同的频率使用适当的权重,我们可以安排正弦曲线叠加到我们想要的任何(合理的)函数。
例如,图 9.41 image.png中的方波可以用一系列正弦波表示:

image.png 这个傅里叶级数以频率为 1.0 的正弦波 (sin 2πx) 开始——与方波相同——其余项添加越来越小的修正以减少波纹,并在极限情况下精确地再现方波。请注意,总和中的所有项的频率都是方波频率的整数倍。这是因为其他频率会产生与方波不同周期的结果。

一个令人惊讶的事实是,信号不必是周期性的,以便以这种方式表示为正弦曲线的总和:非周期性信号只需要更多的正弦曲线。我们将在一个连续的正弦曲线族上积分,而不是对离散的正弦曲线序列求和。例如,盒函数可以写成余弦波族的积分:

image.png

等式 (9.6) 中的积分将无限多个余弦相加,通过权重 (sin πu)/πu 对频率 u 的余弦进行加权。结果,当我们包含越来越高的频率时,会收敛到盒函数(见图 9.42)。image.png
当函数 f 以这种方式表示时,这个权重是频率 u 的函数,称为 f 的傅里叶变换,记为 ^f。函数 ^f 告诉我们如何通过对一系列正弦曲线进行积分来构建 f: image.png

方程 (9.7) 被称为傅里叶逆变换 (IFT),因为它以 f 的傅里叶变换开始并以 f² 结束。

2 请注意,在方程 (9.7) 中,复指数 e2πiux 已替换为前面方程中的余弦。此外,^f 是一个复值函数。需要复数机制来控制正弦曲线的相位和频率;这对于表示任何在零上不对称的函数是必要的。 ^f 的大小被称为傅里叶谱,对于我们的目的,这已经足够了——我们不需要担心相位或直接使用任何复数。

事实证明,从 f 计算 ^f 看起来非常像从 ^f 计算 f:

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方程(9.8)被称为(前向)傅里叶变换(FT)。指数中的符号是正向和反向傅里叶变换之间的唯一区别,它实际上只是一个技术细节。出于我们的目的,我们可以将 FT 和 IFT 视为相同的操作。

有时 f– ^f 表示法不方便,然后我们将 f 的傅里叶变换表示为 F {f},将 ^f 的傅里叶逆变换表示为 F-1{ ^f}。

一个函数和它的傅里叶变换以许多有用的方式相关。我们将在本章后面使用的一些事实(其中大部分很容易验证)是: • 函数及其傅里叶变换具有相同的平方积分: image.png 物理解释是两者具有相同的能量(图 9.43)。 image.png 特别是,将函数按比例放大 a 也会将其傅里叶变换按比例放大。也就是说,F {af} = aF {f}。

• 沿 x 轴拉伸函数会以相同的因子沿 u 轴压缩其傅里叶变换(图 9.44):

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(需要用 b 重整化以保持能量相同。)这意味着如果我们对一系列不同宽度和高度的函数感兴趣(比如所有以零为中心的框函数),那么我们只需要知道傅立叶一个规范函数的变换(比如宽度和高度等于一的盒子函数),我们可以很容易地知道该函数的所有缩放和扩张版本的傅里叶变换。

例如,我们可以立即推广等式(9.6)来给出宽度为 b 和高度为 a 的盒子的傅里叶变换:

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• f 的平均值等于^f(0)。这是有道理的,因为 f(0) 应该是信号的零频率分量(如果我们考虑电压,则为直流分量)。
• 如果f 是实数(它对我们来说总是如此),则^f 是一个偶函数——即^f(u) = ^f(-u)。同样,如果 f 是偶函数,那么 ^f 将是实数(这在我们的领域中通常不是这种情况,但请记住,我们实际上只关心 ^f 的大小)。

9.5.2 卷积和傅里叶变换

傅里叶变换的最后一个值得特别提及的属性是它与卷积的关系(图 9.45)。简要地,

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两个函数卷积的傅里叶变换是傅里叶变换的乘积。按照现在熟悉的对称性,

image.png 两个傅里叶变换的卷积是两个函数乘积的傅里叶变换。从定义中得出这些事实相当简单。

这种关系是傅里叶变换在研究采样和重建效果方面有用的主要原因。我们已经看到了如何在卷积方面看到采样、过滤和重建;现在傅里叶变换为我们提供了一个新的域——频域——在这个域中,这些操作只是简单的乘积。

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9.5.3 傅里叶变换库

现在我们已经了解了有关傅立叶变换的一些事实,让我们看一些单独函数的示例。特别是,我们将查看第 9.3.1 节中的一些过滤器,它们在图 9.46 image.png中显示了它们的傅里叶变换。我们已经看到了 box 函数:

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函数 3 sin x/x 非常重要,它有自己的名字 sinc x。

tent函数是box与自身的卷积,所以它的傅里叶变换就是box函数的傅里叶变换的平方:

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我们可以继续这个过程来获得 B 样条滤波器的傅里叶变换(参见练习 3):

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高斯有一个特别好的傅里叶变换:

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这是另一个高斯!标准差为 1.0 的高斯分布变为标准差为 1/2π 的高斯分布。

9.5.4 抽样理论中的狄拉克脉冲

脉冲在采样理论中有用的原因是我们可以使用它们在连续函数和傅里叶变换的背景下讨论样本。我们通过转换到该位置并按该值缩放的脉冲来表示具有位置和值的样本。位置 a 处具有值 b 的样本由 bδ(x - a) 表示。这样,我们可以将在 a 处对函数 f(x) 进行采样的操作表示为 f 乘以 δ(x-a)。结果是 f(a)δ(x - a)。 因此,在一系列等距点对函数进行采样表示为将函数乘以一系列等距脉冲的总和,称为脉冲序列(图 9.47)。具有周期 T 的脉冲序列,这意味着脉冲间隔距离 T 是

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image.png s1 的傅里叶变换与 s1 相同:所有整数频率的脉冲序列。通过思考当我们将脉冲序列乘以正弦曲线并积分时会发生什么,您可以了解为什么这应该是正确的。我们最终将所有整数的正弦值相加。对于非整数频率,该总和将完全抵消为零,对于整数频率,它将发散到 ∞。

由于傅里叶变换的膨胀特性,我们可以猜测周期为 T 的脉冲序列的傅里叶变换(类似于 s1 的膨胀)是一个周期为 1/T 的脉冲序列。使空间域中的采样更精细使脉冲在频域中相距更远。

9.5.5 采样和混叠

现在,我们已经构建了数学机械,我们需要从频域的角度了解采样和重建过程。

引入傅立叶变换的关键优势在于,它使卷积过滤对信号的影响更清晰,并且提供了更精确的解释,说明为什么在采样和重建时我们需要过滤。

我们从原始的连续信号开始过程。通常,它的傅立叶变换可能包括任何频率的组件,尽管对于大多数信号(尤其是图像),但我们希望随着频率越高,内容会降低。图像也倾向于在零频率下具有较大的组件 - 请记住,零频率或DC组件是整个图像的组成部分,并且由于图像都是正值,因此这往往是一个大数字。 让我们看看如果我们在不进行任何特殊过滤的情况下采样和重建傅立叶变换会发生什么(图9.48)。当我们采样信号时,我们将操作用脉冲序列建模为乘法。采样信号为FST。由于具有乘法 - 卷积属性,采样信号的FT为image.png

回想一下δ是卷积的身份。这意味着

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也就是说,与脉冲序列卷积会生成 f 谱的一系列等距副本。对这个看似奇怪的结果的一个很好的直观解释是,所有这些副本只是表达了这样一个事实(正如我们在第 9.1.1 节中看到的那样),一旦我们进行了采样,相差采样频率整数倍的频率就无法区分——它们将产生完全相同的样本集。原始光谱称为基础光谱,副本称为混叠光谱。

如果信号频谱的这些副本重叠,麻烦就开始了,如果信号包含任何超过采样频率一半的重要内容,就会发生这种情况。发生这种情况时,频谱会增加,并且有关不同频率的信息会不可逆转地混合在一起。这是第一个可能发生混叠的地方,如果它发生在这里,那是由于采样不足——对信号使用了太低的采样频率。

假设我们使用最近邻技术重建信号。这等效于与宽度为 1 的框进行卷积。(用于执行此操作的离散连续卷积与具有表示样本的一系列脉冲的连续卷积相同。)卷积乘法属性意味着重建的信号将是采样信号的频谱和盒子的频谱的乘积。得到的重构傅立叶变换包含基本光谱(尽管在较高频率处有所衰减),以及所有混叠光谱的衰减副本。因为盒子有一个相当宽的傅里叶变换,这些混叠频谱的衰减位是显着的,并且它们是混叠的第二种形式,由于重建滤波器不充分。这些别名成分在图像中表现为最近邻重建特征的正方形图案。

防止采样中的混叠

为了进行高质量的采样和重建,我们已经看到我们需要适当地选择采样和重建滤波器。从频域的角度来看,采样时低通滤波的目的是限制信号的频率范围,使混叠谱不与基谱重叠。图 9.49 显示了采样率对采样信号傅里叶变换的影响。更高的采样率将混叠光谱移得更远,最终留下的任何重叠都无关紧要。

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关键标准是频谱的宽度必须小于副本之间的距离——也就是说,信号中存在的最高频率必须小于采样频率的一半。这称为奈奎斯特准则,最高允许频率称为奈奎斯特频率或奈奎斯特极限。 Nyquist-Shannon 采样定理指出,频率不超过 Nyquist 极限的信号(或者换句话说,频带限制在 Nyquist 频率的信号)原则上可以从样本中精确重建。

对于特定信号具有足够高的采样率,我们不需要使用采样滤波器。但是如果我们被一个包含很宽频率范围的信号卡住了(例如其中有锐利边缘的图像),我们必须使用采样滤波器对信号进行带宽限制,然后才能对其进行采样。图 9.50 显示了频域中三个低通(平滑)滤波器的效果,图 9.51 显示了在采样时使用这些相同滤波器的效果。即使频谱在没有滤波的情况下重叠,使用低通滤波器对信号进行卷积也可以使频谱变窄,以消除重叠并产生滤波信号的良好采样表示。当然,我们已经失去了高频,但这比让它们被信号打乱并变成伪影要好。

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防止重建中的混叠

从频域的角度来看,重建滤波器的工作是去除混叠频谱,同时保留基本频谱。在图 9.48 中,我们可以看到最粗略的重建滤波器(方框)确实衰减了混叠光谱。最重要的是,它完全阻止了所有混叠光谱的直流尖峰。

这是所有合理的重构滤波器的一个特征:它们在所有采样频率倍数的频率空间中都为零。结果证明这等效于空间域中的无波纹特性。

因此,一个好的重构滤波器需要是一个好的低通滤波器,另外还需要完全阻断所有采样频率的倍数。

使用与盒式滤波器不同的重构滤波器的目的是更彻底地消除混叠频谱,减少高频伪影泄漏到重构信号中,同时尽可能少地干扰基础频谱。图 9.52 说明了在重建过程中使用不同滤波器的效果。正如我们所看到的,盒式滤波器非常“泄漏”,即使采样率足够高也会导致大量伪影。帐篷滤波器产生线性插值,对高频衰减更多,产生更温和的伪影,B样条滤波器非常平滑,非常有效地控制混叠频谱。它还平滑了一些基本频谱——这是我们之前看到的平滑和混叠之间的权衡。

防止重采样中的混叠

当重构和采样的操作在重采样中结合起来时,同样的原理适用,但是一个滤波器同时做重构和采样的工作。图 9.53 说明了重采样滤波器必须如何去除混叠光谱,并使光谱足够窄,以便以新的采样率进行采样。

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