【C/C++】464. 我能赢吗

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题目链接：464. 我能赢吗

题目描述

在 "100 game" 这个游戏中，两名玩家轮流选择从 1 到 10 的任意整数，累计整数和，先使得累计整数和 达到或超过 100 的玩家，即为胜者。

如果我们将游戏规则改为 “玩家 不能 重复使用整数” 呢？

例如，两个玩家可以轮流从公共整数池中抽取从 1 到 15 的整数（不放回），直到累计整数和 >= 100。

给定两个整数 maxChoosableInteger （整数池中可选择的最大数）和 desiredTotal（累计和），若先出手的玩家是否能稳赢则返回 true ，否则返回 false 。假设两位玩家游戏时都表现 最佳 。

提示:

• 1 <= maxChoosableInteger <= 20
• 0 <= desiredTotal <= 300

示例 1：

输入：maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 11
输出：false
解释：
无论第一个玩家选择哪个整数，他都会失败。
第一个玩家可以选择从 1 到 10 的整数。
如果第一个玩家选择 1，那么第二个玩家只能选择从 2 到 10 的整数。
第二个玩家可以通过选择整数 10（那么累积和为 11 >= desiredTotal），从而取得胜利.
同样地，第一个玩家选择任意其他整数，第二个玩家都会赢。

示例 2：

输入： maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 1
输出： true

示例 3：

输入： maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 1
输出： true

整理题意

题目给定一个整数 maxChoosableInteger ，两个人可以从 [1, maxChoosableInteger] 中轮流选择整数，且每个整数只能选择一次，将两个人选择的整数累加求和，首先使得累计整数和 达到或超过 desiredTotal 的人，即为获胜者。求先手玩家能否获胜，能够获胜返回 true ，否则返回 false。题目给定前提：假设两位玩家游戏时都表现 最佳 ，也就是两人都使用 最优策略。

解题思路分析

首先观察题目数据范围，给定的整数不会超过 20 ，且每个整数只有两种状态（已被选和未被选），这里可以想到使用 状态压缩 来存储所有整数的选择情况。

对于每种状态来说，当前可以选择剩下未被选择的整数，对于每个未被选择的整数进行暴搜，将选择后的状态交给对手进行选择（继续暴搜），如果对手无法获胜，就是我们获胜。如果当前无论选择哪个整数都无法获胜就返回 false。

这样暴力搜索会超时 TLE，此时我们考虑对于每种状态我们是否仅需暴搜一遍即可，如果是，我们就可以通过记录每个状态的答案，当再次遍历到这种状态时就可以直接返回答案即可。

因为每种状态暴搜后的结果不会改变，仅需遍历一次即可，而对于所有整数的选择存在先后顺序问题，但最后会得到相同的状态，也就是殊途同归的，所以我们可以采用 记忆化搜索 来优化时间复杂度，将每个状态所得到的结果记录下来，当再次遍历到这种情况时就不需要再次搜索了（重复计算），而是直接返回答案。

需要注意的是，我们需要考虑边界情况，当所有数字选完仍无法到达给定的总和 desiredTotal 时，两人都无法获胜，此时返回 false。

具体实现

1. 首先判断边界情况，当所有数字选完仍无法到达给定的总和 desiredTotal 时返回 false。
2. 从状态 0 开始搜索。
3. 每次判断当前状态是否遍历过，如果遍历过直接返回答案。
4. 尝试选取当前状态下未被选择的每一个整数，判断选择后是否能够获胜，否则将选择后的状态交给对手进行搜索，需要注意的是，这里需要判断对手拿到选择后的状态是否能够获胜，如果不能获胜则是我们获胜，反之我们失败（这里因为排除了边界总和小于 desiredTotal 的情况，所以当所有数字的和大于等于 desiredTotal 时，其中一方一定能获得胜利）。
5. 如果当遍历完所有未被选择的整数后都无法获得胜利，那么就失败了，此时返回 false。
6. 期间不断记录每种状态的最终结果。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(2 ^ n \times n)$，其中 n = maxChoosableInteger。记忆化后，函数 dfs 最多调用 $O(2 ^ n)$ 次，每次消耗 $O(n)$ 时间，总时间复杂度为 $O(2 ^ n \times n)$。
• 空间复杂度：$O(2 ^ n)$，其中 n = maxChoosableInteger。搜索的状态有 $O(2 ^ n)$ 种，需要消耗空间记忆化。

代码实现

class Solution {
private:
    //改用数组记录状态，0表示没有遍历过，1表示结果赢返回真，2表示结果输返回假
    int mp[1 << 21];
    bool dfs(int maxChoosableInteger, int state, int desiredTotal, int currentTotal){
        if(mp[state] == 1) return true;
        if(mp[state] == 2) return false;
        //遍历所有可选择的数
        for(int i = 1; i <= maxChoosableInteger; i++){
            //没有选过i才进行选取搜索和判断，注意运算符优先级 == 运算符比 & 运算符优先
            if(((state >> i) & 1) == 0){
                //如果选取i后大于目标数则返回true
                if(currentTotal + i >= desiredTotal){
                    mp[state] = 1;
                    return true;
                }
                //如果选取i后对手无法获胜返回true
                if(!dfs(maxChoosableInteger, (1 << i) | state, desiredTotal, currentTotal + i)){
                    mp[state] = 1;
                    return true;
                }
            }
        }
        //无论选择哪个数都无法赢的话就输了
        mp[state] = 2;
        return false;
    }
public:
    bool canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal) {
        //如果总和小于目标和，无法达到目标，输
        if(maxChoosableInteger * (maxChoosableInteger + 1) / 2 < desiredTotal) return false;
        //如果当前可选择的数大于目标和，直接获胜
        if(maxChoosableInteger >= desiredTotal) return true;
        //初始化记录数组
        memset(mp, 0, sizeof(mp));
        return dfs(maxChoosableInteger, 0, desiredTotal, 0);
    }
};

总结

• 当我们看见数据范围较小（小于等于 20 时），同时这道题目中有涉及到是否选取、是否使用这样的二元状态，那么这道题目很可能就是一道状态压缩的题目。
• 在暴力搜索题中如果存在重复搜索的时候，往往需要记录答案，避免重复计算，这就叫做 记忆化搜索，这样就能够降低时间复杂度。
• 该题需要判断 必胜态和必败态，同时还需要对 边界 进行处理，该题边界为两人都无法取得胜利时返回 false。
• 测试结果：

结束语

我们总在仰望和羡慕着别人，一回头，却发现自己正被别人仰望和羡慕着。其实，每个人都有属于自己的幸福，与其总是与别人攀比，不如珍惜此刻所拥有的。把我当下的生活，才能通往明天的幸福。