统计学基础之样本方差和总体方差

641 阅读2分钟

本文已参与「新人创作礼」活动,一起开启掘金创作之路。

1. 方差(variance)的定义

方差是用来度量随机变量和其数学期望(均值)之间的偏离程度的一个统计量。

统计学中(所有样本)的总体方差公式:

σ2=(Xμ)2N(1-1)\sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N} \tag{1-1}

其中σ2\sigma^2是总体方差,XX是随机变量,μ\mu是总体均值(有时也用Xˉ\bar X表示),NN是总体样本数。这里提到的样本,是基于样本数量NN(几乎)无限的假设。对应的各个统计量,也是所有的样本所服从的分布的真实参数,是客观正真实的。

2. 样本方差

现实情况中,我们往往得不到所有的无限样本,而只能抽样出一定数量的有限样本。通过有限的样本来计算的方差,称为样本方差,公式如下:

S2=1n1i=1n(XiXˉ)2(2-1)S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\tag{2-1}

注意上式的系数和总体方差公式里面的系数不一样,分母是n1n-1。为什么不用nn作为分母呢?这是因为如果沿用总体方差的公式得到的样本方差,是对方差的一个有偏估计。用n1n-1作为分母的样本方差公式,才是对方差的无偏估计。

3. 总体方差公式的有偏性证明

1ni=1n(XiXˉ)2=1ni=1n[(Xiμ)+(μXˉ)]2=1ni=1n(Xiμ)2+2ni=1n(Xiμ)(μXˉ)+1ni=1n(μXˉ)2=1ni=1n(Xiμ)2+2(Xˉμ)(μXˉ)+(μXˉ)2=1ni=1n(Xiμ)2(μXˉ)2(3-1)\begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[(X_i-\mu)+(\mu-\bar X)\right]^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2+\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)(\mu-\bar X)+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\mu-\bar X)^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2+2(\bar X-\mu)(\mu-\bar X)+(\mu-\bar X)^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2-(\mu-\bar X)^2\\ \tag{3-1} \end{aligned}

换言之,除非正好有Xˉ=μ\bar X=\mu,否则一定会有

1ni=1n(XiXˉ)2<1ni=1n(Xiμ)2(3-2)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2<\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\tag{3-2}

上式的右边是对方差的正确估计,左边是有偏估计。 产生这一偏差的本质是因为均值用的是样本均值Xˉ\bar X。这将导致采样出来的样本之间不是完全相互独立的,自由度从nn降为了n1n-1。(注意,一个好的采样有两点要求:随机采样,并且样本之间是相互独立的)这是因为,给定Xˉ\bar X和任意n1n-1个样本,就能确定剩下的一个样本,也即只有n1n-1个样本是完全相互独立的,自由度为n1n-1

4. 样本方差公式分母为n-1的推导

在正式推导之前,先给几个公式作为铺垫:

  1. 方差计算公式:
D(X)=E(X2)[E(X)]2(4-1)D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\tag{4-1}
  1. 均值的均值:
E(Xˉ)=E(1ni=1nXi)=1nE(i=1nXi)=E(Xi)=Xˉ(4-4)\begin{aligned} E(\bar X)&=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)\\ &=\frac{1}{n}E(\sum_{i=1}^{n}X_i)\\ &=E(X_i)\\ &=\bar X\tag{4-4} \end{aligned}
  1. 均值的方差
D(Xˉ)=D(1ni=1nXi)=1n2D(i=1nXi)=1nD(Xi)(4-5)\begin{aligned} D(\bar X)&=D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)\\ &=\frac{1}{n^2}D(\sum_{i=1}^{n}X_i)\\ &=\frac{1}{n}D(X_i)\\ \tag{4-5} \end{aligned}

对于没有修正的方差计算公式,计算其期望:

E(S2)=E(1ni=1n(xixˉ)2)=E(1ni=1n(xi)22n(Xi)(Xˉ)+1ni=1n(Xˉ)2)=E(1ni=1n(xi)22(Xˉ)2+(Xˉ)2)=E(1ni=1n(xi)2(Xˉ)2)=E((Xi)2)E((Xˉ)2)=D(Xi)+(E(Xi))2(D(Xˉ)+(E(Xˉ))2)(4-6)\begin{aligned} E(S^2)&=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\right)\\ &=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2-\frac{2}{n}(X_i)(\bar X)+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\bar X)^2\right)\\ &=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2-2(\bar X)^2+(\bar X)^2\right)\\ &=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2-(\bar X)^2\right)\\ &=E((X_i)^2)-E((\bar X)^2)\\ &=D(X_i)+\left(E(X_i)\right)^2-\left(D(\bar X)+\left(E(\bar X)\right)^2\right) \tag{4-6} \end{aligned}

结合{4-4}和{4-5},可将{4-6}化简为

E(S2)=D(Xi)1nD(Xi)=n1nD(Xi)=n1nσ2(4-7)\begin{aligned} E(S^2)&=D(X_i)-\frac{1}{n}D(X_i)\\ &=\frac{n-1}{n}D(X_i)\\ &=\frac{n-1}{n}\sigma^2\\ \tag{4-7} \end{aligned}

要使样本方差的期望等于总体方差,就需要进行修正,也即给样本方差乘上nn1\frac{n}{n-1} 因此得到修正后的样本方差公式:

S2=nn1(1ni=1n(xixˉ)2)=1n1i=1n(xixˉ)2(4-8)\begin{aligned} S^2&=\frac{n}{n-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\right)\\ &=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\\ \tag{4-8} \end{aligned}

推导完毕!

参考资料:

www.cnblogs.com/zzdbullet/p…