dfs序和欧拉序构造方法及常用性质

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

背景：有个题解需要介绍下这两者的性质，这里就顺便写了个总结了核心：将树上问题转化成区间问题

欧拉序

欧拉序，有2*n或2*n-1个编号 dfs序，有n个编号

（2021年8月30日21点27分）upd：更新下面的第二种叫法为 欧拉环游序 欧拉序，我理解的有两种搞法（~~可能叫法有误，思想就是那个思想~~ ）

具体代码体现为 $dfn[x]$ 记录的是， $x$ 节点的时间戳

$sa[y]$ 记录的是，时间戳为 $y$ 的是哪个节点（也就是“谁”的意思） 第一种

void dfs(int u) {
	sa[++tim] = u;
	dfn[u] = tim;
	for (son...) dfs(son);
	
	sa[++tim] = u;
}

第二种

void dfs(int u) {
	sa[++tim] = u;
	dfn[u] = tim;
	for (son...) {
		dfs(son);
		sa[++tim] = u;
	}
}

这两者之间在处理树上问题时有不同的性质例如有一棵树为

1 2 1 3 2 4 2 5 3 6 3 7

这里时间戳 $dfn$ ，指的是第一次进入节点的时间第一种欧拉序可以为,2*N

欧拉序：1 2 4 4 5 5 2 3 6 6 7 7 3 1 时间戳：1 2 3 3 5 5 2 8 9 9 11 11 8 1

第二种为,2*N-1

欧拉序：1 2 4 2 5 2 1 3 6 3 7 3 1 时间戳：1 2 3 2 5 2 1 8 9 8 11 8 1

第一种的性质：

树上任意一点 $x$ 的子树，在第一次出现 $x$ 和最后一个 $x$ 之间的所有出现的数，另外有个性质是这些出现次数和为偶数举例：2 的子树，截取为2 4 4 5 5 2中的4 4 5 5，自行尝试一下其它的子树
树上任意两点 $x$ 和 $y$ ，路径上的点，为最后一个 $x$ 到第一个 $y$ 之间，出现奇数次的数。另外再加上lca(最近公共祖先) 举例：4 到 7 的树上路径截取为4 5 5 2 3 6 6 7,出现奇数次的数字4 2 3 7，加上lca，树上路径的节点最终为4 2 1 3 7
通常将树上的问题，转化为区间问题求解，比如树上莫队，求解树链上不同数字的个数等等

第二种的性质：

树上任意一点的子树为，第一次出现 $x$ 和 最后一个 $x$ 之间出现了的所有数，除去本节点的数 举例：2的子树，截取为2 4 2 5 2，除去本节点为4 5
树上任意两点 $x$ 和 $y$ ，两点的 $lca$ ，为第一次出现 $x$ 和第一次出现 $y$ 区间内，时间戳最小的那个值举例：4到7的lca，截取为4 2 5 2 1 3 6 3 7，注意，这里的时间戳，指的是第一次进入节点的时间按照截取的数字，给出时间戳为 3 2 5 2 1 8 9 8 11，时间戳最小的为1时刻，那么去找1时刻的那个点是谁，也就是欧拉序第1个位置的那个点，lca就是节点1
通常用作求 lca，结合ST表，在 $O(1)$ 时间内求解 $lca$ ，适合在频繁求解 $lca$ 的场景

仅进入节点的时候记录代码体现为

void dfs(int u) {
	sa[++tim] = u;
	dfn[u] = tim;
	for (son...) dfs(son);
}

d f s序：1 2 4 5 3 6 7 时间戳：1 2 3 4 5 6 7

性质：

树上任意点 $x$ 的子树（包含 $x$ ）为，当前第一次出现 $x$ 的位置到往后 $sz[x]$ 个节点的区间， $sz[x]$ 表示 $dfs$ 时计算的以 $x$ 为根的树大小，假设 $sz[x]$ 包含了 $x$ 举例： $2$ 的子树， $sz[2]=3$ 那么截取为，2 4 5，如果要不包含 $x$ ，取 $x$ 往后，区间大小为 $sz[x]-1$ 即可，也就是4 5
树上两点 $x$ 和 $y$ 的 $lca$ ，需要配合链剖分，将树链变成一块块连续的序列，跳 $top$ 求解，这里不细说，但是却是比较重要常用的一部分，详细可以找找树链剖分的板子题康康
通常结合树剖等等进行维护树上链上的信息，比如，给某条链全部节点加上1，求解最大最小值等等