简介
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。对应问题：在无向图G=(V,E)中，假设每条边E(i)的长度W(i)，求由顶点V0到各节点的最短路径。
工作过程
Dijkstra算法将顶点集合分为两组，一组记录已经求得最短路径的顶点记为finallyNodes，一组正在求解中的顶点记为processNodes，step1:finallyNodes中顶点最开始只有源节点，最短路径长度为0，而processNodes中包含除源节点以外的节点，并初始化路径长度，与源节点直接相连的记路径长度为权重，不相连的记为♾️。step2:从process中选择路径长度最小的顶点，加入finallyNodes，并且更新processNodes，将与当前顶点相连的顶点路径长度更新为min（当前权重，当前顶点最短路径长度+当前顶点与顶点相连边权重）。step3:重复step2，直至processNodes数组为空。
总体思路
这次我想先描述一下自己的大概思路，下面再写具体实现。首先为了方便，我采用的是邻接表存储图结构，邻接表是一个二维数组，值存储权重。根据上面工作过程中描述的内容，我们会有两个中间集合记录，finallyNodes记录的是最终结果，我们只需要将计算的结果往里面塞即可。但是processNodes却是一个不断变化更新的集合，其中的操作包括删除节点，更改节点值，查找节点值，同时我们每次需要拿出processNodes中记录的距离最小的值，所以ProcessNodes准备用最小堆来做，那再删除节点，更改节点值之后都需要调整堆为最小堆，java自带的优先队列没有提供更改节点值的操作，因此我们这里需要自己实现一个小根堆，支持以上操作。然后就中规中矩实现dijkstra算法即可。
实现
小根堆
如果对堆不太熟悉的可以先看看这篇文章：堆（优先队列），这里就不过多解释了，直接贴代码。这里堆中存的数据格式为int二维数组,存储节点下标位置和对应距离，排序按存储的距离进行排序。
public class MinHeap { List<int[][]> heap ; /** * 获取并移除堆顶元素，并调整堆 * @return */ public int[][] pop() { int[][] top = heap.get(0); heap.set(0, heap.get(heap.size() - 1)); heap.remove(heap.size() - 1); //调整堆 this.adjust(0, heap.size() - 1); return top; } /** * 判断是否为空 * @return true/false */ public boolean isEmpty() { if (null == this.heap) { return true; } if (this.heap.size() == 0) { return true; } return false; } /** * 修改index位置节点的value值，并调整最小堆（Java priorityQueue未提供） * @param index 修改节点位置 * @param value 修改值 */ public void changeValue(int index, int value) { int src = heap.get(index)[0][1]; heap.get(index)[0][1] = value; //直接比较当前值是变大还是变小,然后考虑是向上调整还是向下调整 //则当前值可能往上移动 if (src > value) { this.upAdjust(index); return; } this.adjust(index, heap.size() - 1); } public void upAdjust(int index) { //依次与双亲节点进行比较，小于双亲节点就直接交换。一直到根节点 while (index > 0) { int parent = index >> 1; //双亲节点本来小于当前节点不需要进行调整 if (heap.get(parent)[0][1] <= heap.get(index)[0][1]) { break; } swap(index, parent); index = parent; } } /** * 初始化一个最小堆 * @param nums */ public void init(int[][] nums) { heap = new ArrayList<>(nums.length); for (int i = 0 ; i < nums.length; i ++) { int[][] temp = new int[1][2]; temp[0][0] = nums[i][0]; temp[0][1] = nums[i][1]; heap.add(temp); } //从最后一个双亲节点开始将堆进行调整 for (int i = nums.length / 2 ; i >= 0 ; -- i) { this.adjust(i, nums.length - 1); } } /** * 从当前index开始调节为最小堆 * @param index 当前节点下标 * @param end 最后一个节点下标 */ private void adjust(int index, int end) { //找到当前节点的孩子节点，将较小的节点与当前节点交换，一直往下，直至end while (index <= end) { //左孩子节点 int left = index << 1; if (left + 1 <= end && heap.get(left + 1)[0][1] < heap.get(left)[0][1] ) { //找到当前较小的节点 ++ left; } //没有孩子节点，或者当前的孩子节点均已大于当前节点，已符合最小堆，不需要进行调整 if (left > end || heap.get(index)[0][1] <= heap.get(left)[0][1]) { break; } swap(index, left); index = left; } } private void swap(int i, int j) { int[][] temp = heap.get(i); heap.set(i, heap.get(j)); heap.set(j, temp); } }
Dijsktra
数据结构
图节点仅存储节点值，一个Node数组nodes，存储图中所有节点，一个二维数组adjacencyMatrix，存储图中节点之间边的权重，行和列下标与nodes数组下标对应。
//节点 Node[] nodes; //邻接矩阵 int[][] adjacencyMatrix;public class Node { private char value; Node(char value) { this.value = value; } }
初始化
初始化图values标志的图中所有节点值，edges标志图中边，数据格式为（node1的下标，node2的下标，边权重）
private void initGraph(char[] values, String[] edges) { nodes = new Node[values.length]; //初始化node节点 for (int i = 0 ; i < values.length ; i ++) { nodes[i] = new Node(values[i]); } adjacencyMatrix = new int[values.length][values.length]; //初始化邻接表，同一个节点权重记为0，不相邻节点权重记为Integer.MAX_VALUE for (int i = 0 ; i < values.length ; i++) { for (int j = 0 ; j < values.length ; j ++) { if (i == j) { adjacencyMatrix[i][j] = 0; continue; } adjacencyMatrix[i][j] = Integer.MAX_VALUE; adjacencyMatrix[j][i] = Integer.MAX_VALUE; } } //根据edges更新相邻节点权重值 for (String edge : edges) { String[] node = edge.split(","); int i = Integer.valueOf(node[0]); int j = Integer.valueOf(node[1]); int weight = Integer.valueOf(node[2]); adjacencyMatrix[i][j] = weight; adjacencyMatrix[j][i] = weight; } visited = new boolean[nodes.length]; }
初始化dijsktra算法必要的finallyNodes和processNodes
/** * 标志对应下标节点是否已经处理，避免二次处理 */ boolean[] visited; /** * 记录已经求得的最短路径 finallyNodes[0][0]记录node下标，finallyNodes[0][1]记录最短路径长度 */ List<int[][]> finallyNodes; /** * 记录求解过程目前的路径长度，因为每次取当前已知最短，所以最小堆进行记录 * 但是java优先队列没有实现改变值，这里需要自己实现 * 首先每次取出堆顶元素之后，堆顶元素加入finallyNodes，此时需要更新与当前元素相邻节点的路径长度 * 然后重新调整小根堆 * 首先：只会更新变小的数据，所以从变小元素开始往上进行调整，或者直接调用调整方法，从堆顶往下进行调整 */ MinHeap processNodes; /** * 初始化，主要初始化finallyNodes和processNodes，finallyNodes加入源节点，processNodes加入其他节点 * @param nodeIndex */ private void initDijkstra(int nodeIndex) { finallyNodes = new ArrayList<>(nodes.length); processNodes = new MinHeap(); int[][] node = new int[1][2]; node[0][0] = nodeIndex; node[0][1] = adjacencyMatrix[nodeIndex][nodeIndex]; finallyNodes.add(node); visited[nodeIndex] = true; int[][] process = new int[nodes.length - 1][2]; int j = 0; for (int i = 0 ; i < nodes.length ; i++) { if (i == nodeIndex) { continue; } process[j][0] = i; process[j][1] = adjacencyMatrix[nodeIndex][i]; ++ j; } //初始化最小堆 processNodes.init(process); }
dijsktra算法实现
public void dijkstra() { //1。堆顶取出最小元素，加入finallyNodes //2。将与堆顶元素相连节点距离更新， while (!processNodes.isEmpty()) { int[][] head = processNodes.pop(); finallyNodes.add(head); int nodeIndex = head[0][0]; visited[nodeIndex] = true; //跟堆顶元素相邻的元素 for (int j = 0 ; j < nodes.length ; j ++) { //找到相邻节点 if (visited[j] || Integer.MAX_VALUE == adjacencyMatrix[nodeIndex][j]) { continue; } for (int i = 0 ; i < processNodes.heap.size() ; i++) { int[][] node = processNodes.heap.get(i); //找到节点并且值变小，需要调整 if (node[0][0] == j && node[0][1] > head[0][1] + adjacencyMatrix[nodeIndex][j]) { processNodes.changeValue(i, head[0][1] + adjacencyMatrix[nodeIndex][j]); break; } } } } }
测试
public static void main(String[] args) { char[] values = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G','H'}; String[] edges = new String[]{"0,1,2","0,2,3","0,3,4","1,4,6","2,4,3","3,4,1","4,5,1","4,6,4","5,7,2","6,7,2"}; Dijkstra dijkstra = new Dijkstra(); dijkstra.initGraph(values, edges); int startNodeIndex = 0; dijkstra.initDijkstra(startNodeIndex); dijkstra.dijkstra(); for (int[][] node : dijkstra.finallyNodes) { System.out.println(dijkstra.nodes[node[0][0]].value + "距离" + dijkstra.nodes[startNodeIndex].value + "最短路径为：" + node[0][1]); } }
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