考研题分析总结-哈夫曼树

大熊爱睡觉
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前言：最近在给我的小程序(数据结构算法演示)增加题库时，做了很多考研真题，所以在这里给大家总结下做题的思路和考点

题型1：哈夫曼树性质

  • 结点度数为0或者2
    • 一定是二叉树
    • n0=n2+1
    • n1=0
    • n=n0+n1+n2
    • n2有可能为0，即一个结点的特殊情况
  • 父结点权值等于两个子结点权值之和
    • 权值非负
    • 结点N的子树任意结点的权值都小于N的权值
  • 其他
    • 深度高的结点的权值一定不大于深度低的结点的权值：即N1(h1)和N2(h2)，若h1>h2，那么N1<=N2（这个可通过反证法+构造哈夫曼树过程推断出）

(简单)考察结点数、度数相关

n个具有权值的叶子结点构造的霍夫曼树包含的结点总数是（）
A. n-1
B. n+1
C. 2n-1
D. 2n+1

答案：C. 直接记住上面性质可得答案

2019年408单选题
对n个互不相同的符号进行哈夫曼编码。若生成的哈夫曼树共有115个结点，则n的值是（）
A. 56
B. 57
C. 58
D. 69

答案：C. 直接记住n0=n2+1,n1=0,这里n就是n0，可得答案

华东师范大学单选题
下列哪个数不可能是某棵哈夫曼树的结点个数?
A. 803
B. 308
C. 83
D. 以上选项都不对

答案：B n=n0+n2=2n2+1

关于结点数和度数的解题思路

  1. 需要把问题抽象成n0、n1、n2
  2. 直接套用性质即可：n0=n2+n1,n1=0

(简单)考察树形态的知识点

2010年408单选题
对n(n≥2)个权值均不相同的字符构成哈夫曼树，关于该树的叙述中，错误的是（）
A. 该树一定是一颗完全二叉树
B. 树中一定没有度为1的结点
C. 树中两个权值最小的结点一定是兄弟结点
D. 树中任一非叶结点的权值一定不小于下一层任一结点的权值

答案：A. A显然错误，BCD也可以通过上面总结的性质得到正确与否

下列有关霍夫曼树(huffman)的说法，其中正确的是（）
A. 霍夫曼树一定是一颗完全二叉树
B. 霍夫曼树与二叉排序树是同义词
C. 霍夫曼树结点的度数只可能是0或者2
D. 霍夫曼树结点的度数有可能为0、1、2

答案：C. 显而易见

题型2：计算WPL

知识点参考这个juejin.cn/post/709831… 推荐选择方案3和方案2

(简单)给出哈夫曼树直接计算WPL

计算下图哈夫曼树的带权路径长度长度()
答案：37+52+16+21+22+30+10+12=200 已经给出了哈夫曼树，直接用方法二计算即可

graph4.png

(中等)给出叶结点权值直接计算WPL

2021年408单选题
若某二叉树有5个叶子结点，其权值分别为10，12，16，21，30。则其最小的带权路径长度(WPL)是()
A. 89
B. 200
C. 208
D. 209

答案：B. 使用方案2或者方案3即可计算WPL

(中等)给出编码的权重，计算编码平均长度

重庆大学单选题
Huffman编码树中所有结点(含叶结点)的权重分别为：
0.05,0.15,0.18,0.2,0.26，0.36,0.38,0.62,1.0。则该Huffman编码平均编码长度是（）
A. 2.2
B. 2.8
C. 3.4
D. 3.6

答案：A. 因为每个叶结点哈夫曼编码的长度=路径长度，所以这里的平均编码长度就相当于WPL。
因此采用方法二或者方法三计算WPL即可

(困难)求WPL值的算法题

2014年408算法题
二叉树的带权路径长度(WPL)是二叉树中所有叶结点的带权路径长度之和。给定一棵二叉树T，
采用二叉链表存储，结点结构为:(left,weight,right)。
其中叶结点的weight域保存该结点的非负权值。
设root为指向T的根结点的指针，请设计求T的WPL的算法

答案思路：遍历哈夫曼树(用自己最熟悉的遍历方法)，计算所有非根结点的权值之和即可

下面我也给出方法1的计算WPL的代码，可以发现写起来很复杂，且必须要按层遍历来做

/**
 *
 * @param root
 * @param maxSize 队列最大值
 * @return 按层遍历计算WPL
 */
int getTreeWpl(struct TreeNode *root, int maxSize) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    // 动态数组做队列
    struct TreeNode **queue = (struct TreeNode **) malloc(sizeof(struct TreeNode *) * maxSize);
    int rear = 0, front = 0;
    // 根结点入队
    queue[rear++] = root;
    // 当前层的size
    int currentSize = 1;
    // 下一层的size
    int nextSize = 0;
    int level = 0;
    struct TreeNode *temp;
    int wpl = 0;
    while (rear > front) {
        // 出队
        temp = queue[front++];
        currentSize--;
        if (temp->left == NULL && temp->right == NULL) {
            wpl += (temp->data * level);
        }
        if (temp->left) {
            queue[rear++] = temp->left;
            nextSize++;
        }
        if (temp->right) {
            queue[rear++] = temp->right;
            nextSize++;
        }
        if (currentSize == 0) {
            // 说明这一层已经遍历完
            currentSize = nextSize;
            nextSize = 0;
            level++;
        }
    }
    return wpl;
}

困难算法题：给定叶结点权值数组，求WPL值
方案1：用递归的方式计算WPL
方案2：先构造一个哈夫曼树，然后遍历哈夫曼树计算WPL(太麻烦、不推荐)

参考juejin.cn/post/709831…

题型3：哈夫曼树构造

  • 每次都选最小权值的两个结点向上合成一个新结点
    • 贪心
    • n个叶结点的哈夫曼树：要进行n-1次合并操作
  • 每次最小权值的两个结点只需要是兄弟就行，没有要求顺序
    • 哈夫曼树不唯一
    • n个叶结点的哈夫曼树：有2^(n-1)种形态的哈夫曼树

(简单)构造过程的概念题

只要记住怎么构造哈夫曼树、基本就没问题

构造霍夫曼树依据的基本思路是
A. 回溯算法
B. 贪心算法
C. 分治算法
D. 递归算法

答案：B

我自己编的题
以1,2,3对应叶结点的权值构造的哈夫曼树有多少种形态？

答案：一共4种：2^2=4

(简单)给叶结点权值，手画哈夫曼树

分别以 6,3,8,12,5,7 对应叶结点的权值构造的哈夫曼树的深度为（）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

答案：C 
这题有没有什么简单办法：是不是可以通过结点数推断深度呢？
很显然是不行，因为权值不一样树的形态不确定，所以直接画树即可

(困难)考察构造过程中关键点：每次都是选择最小的两个结点合成父结点

需要灵活应变，记住每次都选两个最小权值结点构造二叉树这条原则

2012年408应用题
设有 6 个有序表 A、B、C、D、E、F，分别含有10、35、40、50、60和200个数据元素，各表中元素按升序排列。
要求通过5次两两合并，将6个表最终合并成1个升序表，并在最坏情况下比较的总次数达到最小
1. 给出完整的合并过程，并求出最坏情况下比较的总次数。
2. 根据你的合并过程，描述 N(N≥2)个不等长升序表的合并策略，并说明理由。

答案：总比较次数为：44+84+109+194+394=825
这题看起来和哈夫曼树无关，但是简单思考下每次两两合并的最坏情况的次数是两个个数相加，
这就和哈夫曼树构造很类似，而且一个数越早参与到合并，对最后的总次数影响就越大；因此这就是哈夫曼树构造过程

2015年408选择题
下列选项给出的是从根分别到达两个叶结点路径上的权值序列，能属于同一棵哈夫曼树的是()
A. 24,10,5  和 24,10,7
B. 24,10,5  和 24,12,7
C. 24,10,10 和 24,14,11
D. 24,10,5  和 24,14,6

答案：D 排除法来做，记住每次都是最小的权值的连个结点合成新结点

第一眼看上去什么24,10,5这都是啥跟啥啊，看题意这是路径上结点的权值，所以需要手画以下才能明白，
比如A：第一个结点24肯定只能是根结点，
第二个结点是10，所以24的子结点只能是10和14，所以10的子结点是5和7
5+7!=10,所以不对

题型4：哈夫曼编码

  • 哈夫曼编码是前缀码
    • 任何一个字符的编码都不能是其他字符编码的前缀
    • 解决二义性
  • 哈夫曼编码是平均长度最短的编码方式
    • 存储空间代价最小的编码方式
    • 定理：在变长编码中，如果码字长度严格按照对应符号出现的概率大小逆序排列，则其平均码字长度为最小
    • 叶结点编码长度=叶结点路径长度
  • 哈夫曼编码过程
    • 构造哈夫曼树
    • 左0右1

(简单)直接考察编码应用

2017年408选择题
已知字符集{a,b,c,d,e,f,g,h}，若各字符的哈夫曼编码依次是 
0100，10, 0000, 0101，001, 011，11，0001，
则编码序列 0101001001001011110101 的译码结果是（）
A. a c g a b f h
B. a d b a g b b
C. a f b e a g d
D. a f e e f g d

答案：D 哈弗曼编码唯一性，所以直接匹配就行

2018年408选择题
已知字符集{a,b,c,d,e,f,g,h}，若个字符出现的次数分别为6，3，8，2，10，4，
则对应字符集中各字符的哈弗曼编码可能是（）
A. 00，1011，01，1010，11，100
B. 00，100，110，000，0010，01
C. 10，1011，11，0011，00，010
D. 0011，10，11，0010，01，000

答案：A. 
我们要把问题抽象下，既然是哈夫曼编码，肯定要代价小，也就是说次数越少长度越短，也就是次数等于权重，所以画出哈夫曼树我们便知道字符集的编码是哪些了
所以解题步骤还是：画哈夫曼树+编码

4047.png

(简单)考察前缀码

2014年408单选题
5个字符有如下4种编码方案，不是前缀编码的是（）
A. 01,0000,0001,001,1
B. 011,000,001,010,1,
C. 000,001,010,011,100
D. 0,100,110,1110,1100

答案：D 理解前缀码概念的送分题

(中等)哈夫曼编码和哈夫曼树性质、构造结合的应用

关于编码只需要记住左0右1、前缀码，加上其他哈夫曼知识万物皆可解决哈

南京航空航天大学单选题
根据使用频率为5个字符设计的哈夫曼编码不可能是()
A. 000,001,010,011,1
B. 0000,0001,001,01,1
C. 000,001,01,10,11
D. 00,100,101,110,111

答案：D  
1. 如果不是前缀码肯定不是哈夫曼
2. 左0右1画出对应哈夫曼树，判断是否满足哈夫曼树性质
D对应的哈夫曼树，有度数为1的结点，所以肯定不是哈夫曼编码

对于一个字符集中具有不同权值的字符进行Huffman编码时，
如果已知某个字符的Huffman编码为 0101，对于其他字符的Huffman编码；请分析说明
1. 具有哪些特征的编码是不可能的
2. 具有哪些特征的编码是一定会有的

答案：
1. 0，01，010和以0101为前缀的编码
2. 以1，00，011，0100为前缀的编码

这题比较巧妙，只给了一个字符的编码，所以还是按照左0右1的原则画哈夫曼树，同时根据哈夫曼树构造过程的要求补齐其他确定的结点，如下图，然后记住一点编码一定是叶结点就行

4161.png

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