浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度
最好、最坏情况时间复杂度
// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
int i = 0;
int pos = -1;
for (; i < n; ++i) {
if (array[i] == x) pos = i;
}
return pos;
}
在数组中查找一个数据，并不需要每次都把整个数组都遍历一遍，因为有可能中途找到就可以提前结束循环了。但是，这段代码写得不够高效。我们可以这样优化一下这段查找代码。
// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
int i = 0;
int pos = -1;
for (; i < n; ++i) {
if (array[i] == x) {
pos = i;
break;
}
}
return pos;
}
要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是O(1)。但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。所以，不同的情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的。
**最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。**就像我们刚刚讲到的，在最理想的情况下，要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素，这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。
**最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。**就像刚举的那个例子，如果数组中没有要查找的变量 x，我们需要把整个数组都遍历一遍才行，所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。
平均情况时间复杂度
💡 最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度，我们需要引入另一个概念：平均情况时间复杂度，要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：
时间复杂度的大 O 标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量，所以，咱们把刚
刚这个公式简化之后，得到的平均时间复杂度就是 O(n)。
如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去，那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样：
这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。
前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。
💡 实际上，在大多数情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。很多时候，我们使用一个复杂度就可以满足需求了。只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。均摊时间复杂度
更加高级的概念，均摊时间复杂度，以及它对应的分析方法，摊还分析（或者叫平摊分析）。
💡 均摊时间复杂度应用的场景比最好，最坏，平均更加特殊、更加有限。// array表示一个长度为n的数组
//代码中的array.length就等于n
int[] array = new int[n];
int count = 0;
void insert(int val) {
if (count == array.length) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
sum = sum + array[i];
}
array[0] = sum;
count = 1;
}
array[count] = val;
++count;
}
最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。
**平均时间复杂度:**假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：
首先，find() 函数在极端情况下，复杂度才为 O(1)。但 insert() 在大部分情况下，时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下，复杂度才比较高，为O(n)。这是 insert()第一个区别于find() 的地方。
第二个不同,对于 insert() 函数来说，O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时 间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个O(n) 插入之后，紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作，循环往复。
针对这种特殊的场景，我们引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法， 通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度
💡 继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路。应用场景：
对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。
💡 均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度，没必要花太多精力去区分它们。最应该掌握的是它的分析方法，摊还分析。小结
几个复杂度分析相关的概念，分别有：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度、平均情况时间复杂度、均摊时间复杂度。之所以引入这几个复杂度概念，是因为，同一段代码，在不同输入的情况下，复杂度量级有可能是不一样的。
思考
分析一下下面这个 add() 函数的时间复杂度。
//全局变量，大小为10的数组array，长度len，下标i。
int array[] = new int[10];
int len = 10;
int i = 0;
//往数组中添加一个元素
void add(int element) {
if (i >= len) { //数组空间不够了
//重新申请一个2倍大小的数组空间
int new_array[] = new int[len*2];
//把原来array数组中的数据依次copy到new_array
for (int j = 0; j < len; ++j) {
new_array[j] = array[j];
}
// new_array复制给array，array现在大小就是2倍len了
array = new_array;
len = 2 * len;
}
//将element放到下标为i的位置，下标i加一
array[i] = element;
++i;
}
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