【动态规划の数位 DP】数位 DP 的经典运用

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【动态规划の数位 DP】数位 DP 的经典运用

题目描述

这是 LeetCode 上的 1012. 至少有 1 位重复的数字 ,难度为 困难

Tag : 「动态规划」、「数位 DP」、「容斥原理」

给定正整数 nn,返回在 [1,n][1, n] 范围内具有 至少 1 位 重复数字的正整数的个数。

示例 1:

输入:n = 20

输出:1

解释:具有至少 1 位重复数字的正数(<= 20)只有 11 。
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示例 2:

输入:n = 100

输出:10

解释:具有至少 1 位重复数字的正数(<= 100)有 11,22,33,44,55,66,77,88,99 和 100 。
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示例 3:

输入:n = 1000

输出:262
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提示:

  • 1<=n<=1091 <= n <= 10^9

数位 DP

首先 [1,n][1, n] 共有 nn 个数,而求解 [1,n][1, n] 范围内有多少个「至少有 11 位重复数字」的数的个数,等价于「总数 nn」减去「没有重复数的数的个数」。

于是问题转换为:如何求解「没有重复数」的数的个数,同时为了更具一般性,我们将求解 [1,n][1, n] 范围内「没有重复数」的数的个数,修改为求解 [0,n][0, n] 范围内「没有重复数」的数的个数

即将问题转换为 (题解) 357. 统计各位数字都不同的数字个数 中的进阶部分。

假定我们存在函数 int dp(int x) 函数,能够返回区间 [0,x][0, x] 内合法数的个数,那么配合「容斥原理」我们便能够回答任意区间合法数的查询:

ans(l,r)=dp(r)dp(l1)ans_{(l, r)} = dp(r) - dp(l - 1)

然后考虑如何实现 int dp(int x) 函数,我们将组成 [0,x][0, x] 的合法数分成三类:

  • 位数和 xx 相同,且最高位比 xx 最高位要小的,这部分统计为 res1
  • 位数和 xx 相同,且最高位与 xx 最高位相同的,这部分统计为 res2
  • 位数比 xx 少,这部分统计为 res3

其中 res1res3 求解相对简单,重点落在如何求解 res2 上。

xx 进行「从高到低」的处理(假定 xx 数位为 nn),对于第 kk 位而言(kk 不为最高位),假设在 xx 中第 kk 位为 curcur,那么为了满足「大小限制」关系,我们只能在 [0,cur1][0, cur - 1] 范围内取数,同时为了满足「相同数字只能使用一次」的限制,我们需要使用一个 int 变量 ss 来记录使用情况(用 ss 的低十位来代指数字 [0,9][0, 9] 是否被使用),统计 [0,cur1][0, cur - 1] 范围内同时符合两个限制条件的数的个数,记为 cntcnt

当第 kk 位有 cntcnt 种合法选择之后,后面的位数可以在满足「相同数字只能使用一次」的限制条件下任意选择(因为大小关系已经由第 kk 位保证),为了快速知道剩下的 nkn - k 位有多少种方案,我们还需要预处理乘积数组,其中 f[l][r]f[l][r] 代表 l(l+1)...(j1)jl * (l + 1) * ... * (j - 1) * j 的乘积之和。

上述讲解若是觉得抽象,我们可以举个 🌰,假设 x=678x = 678,我们该如何求解 res2:由于限定了 res2 为「位数和 xx 相同,且最高位与 xx 最高位相同的」的合法数个数,因此最高位没有选,只能是 66,然后考虑处理次高位,次高位在 xx 中为 77,为了满足大小关系,我们只能在 [0,6][0, 6] 范围内做限制,同时由于 66 已用过,因此次高位实际只有 [0,5][0, 5],共 66 种选择,当确定次高位后,后面的位数任意取,由于前面已经填充了 p=2p = 2 位(即消耗了 pp 个不同数字),因此从后面的位数开始应该是 a=10pa = 10 - p 开始往后自减累乘到 b=(10p)(np)+1b = (10 - p) - (n - p) + 1 为止,即此时方案数为 cntf[b][a]cnt * f[b][a](当前位不是最低位)或者 cntcnt(当前位是最低位)。按照此逻辑循环处理所有位数即可,直到遇到重复数值或正常结束。

需要说明的是,上述的举例部分只是为方便大家理解过程,看懂了举例部分不代表理解了数位 DP 做法成立的内在条件,阅读的重点还是要放在前面加粗字体部分,只会使用样例理解算法永远不是科学的做法。

其他细节:乘积数组的预处理与样例无关,我们可以使用 static 进行打表优化,同时可以将 res1res2 两种情况进行合并。

代码:

class Solution {
    // f[l][r] 代表 i * (i + 1) * ... * (j - 1) * j
    static int[][] f = new int[10][10];
    static {
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            for (int j = i; j < 10; j++) {
                int cur = 1;
                for (int k = i; k <= j; k++) cur *= k;
                f[i][j] = cur;
            }
        }
    }
    int dp(int x) {
        int t = x;
        List<Integer> nums = new ArrayList<>();
        while (t != 0) {
            nums.add(t % 10);
            t /= 10;
        }
        int n = nums.size();
        if (n <= 1) return x + 1; // [0, 9]
        // 位数和 x 相同(res1 + res2)
        int ans = 0;
        for (int i = n - 1, p = 1, s = 0; i >= 0; i--, p++) {
            int cur = nums.get(i), cnt = 0;
            for (int j = cur - 1; j >= 0; j--) {
                if (i == n - 1 && j == 0) continue;
                if (((s >> j) & 1) == 0) cnt++;
            }
            int a = 10 - p, b = a - (n - p) + 1;
            ans += b <= a ? cnt * f[b][a] : cnt;
            if (((s >> cur) & 1) == 1) break;
            s |= (1 << cur);
            if (i == 0) ans++;
        }
        // 位数比 x 少(res3)
        ans += 10;
        for (int i = 2, last = 9; i < n; i++) {
            int cur = last * (10 - i + 1);
            ans += cur; last = cur;
        }
        return ans;
    }
    public int numDupDigitsAtMostN(int n) {
        return (n + 1) - dp(n);
    }
}
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  • 时间复杂度:O(logn)O(\log{n})
  • 空间复杂度:O(C)O(C)

总结

相同的总结在 第一篇数位 DP 系列文章 中也讲过了,考虑到有新同学是第一次看到这个系列,再提一次:

数位 DP 的难度取决于「限制条件」的多少,而 LC 上仅有的几道数位 DP 题目限制条件都很少,且不需要引入额外的数据结构来记录状态,因此都属于数位 DP 的入门难度(LC 难度均为 Hard)。

几乎所有的数位 DP 问题都可以归纳到上述的解法 :「将问题抽象为求解一个 [0,x][0, x]/[1,x][1, x] 范围方案数的方法」->「对方案数统计根据 位数 来分情况讨论:数位相等的情况 + 数位不等情况」->「统计数位相等的方案数时,需要按位处理,并根据限制条件做逻辑;统计数位不等的方案数时,通常要做一些预处理,然后配合乘法原理直接算得」。

在还没卷到数位 DP 烂大街的现在,掌握此类求解方式单一,普遍定位为「困难」的数位 DP 类型,还是极具性价比的。

在「动态规划の数位 DP」这个系列,我会带大家把 LC 上所有「数位 DP」类型的题目都做一遍。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1012 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:github.com/SharingSour…

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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