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防卫导弹

描述

一种新型的防卫导弹可截击多个攻击导弹。它可以向前飞行，也可以用很快的速度向下飞行，可以毫无损伤地截击进攻导弹，但不可以向后或向上飞行。但有一个缺点，尽管它发射时可以达到任意高度，但它只能截击比它上次截击导弹时所处高度低或者高度相同的导弹。现对这种新型防卫导弹进行测试，在每一次测试中，发射一系列的测试导弹（这些导弹发射的间隔时间固定，飞行速度相同），该防卫导弹所能获得的信息包括各进攻导弹的高度，以及它们发射次序。现要求编一程序，求在每次测试中，该防卫导弹最多能截击的进攻导弹数量，一个导弹能被截击应满足下列两个条件之一： a)它是该次测试中第一个被防卫导弹截击的导弹； b)它是在上一次被截击导弹的发射后发射，且高度不大于上一次被截击导弹的高度的导弹。

输入

多个测例。每个测例第一行是一个整数n（n不超过100），第二行n个整数表示导弹的高度（数字的顺序即发射的顺序）。 n＝0表示输入结束。

输出

每个测例在单独的一行内输出截击导弹的最大数目。

输入样例：

5 5 6 100 6 61 0

输出样例：

思路：

枚举每一个导弹i（i from 1 to n），这个导弹一定是由之前更高的导弹击中（设未击中导弹的时候，拦截导弹的高度为0x3f3f3f3f）枚举之前的所有导弹，一旦h[j]>=h[i]，那么dp[i]=max{dp[i],dp[j]+1},当然被拦截的导弹i也可以作为第一个被拦截的导弹，dp[i]=1。最后在线性查找一遍最大的数量,ans=max{ans,dp[i]};

这个方法特别简单，不粘贴代码了。时间复杂度 O(n^2)。

这个复杂度不够优秀，下面就介绍O(nlogn)的做法。

先介绍一下lower_bound,upper_bound函数的使用方法。

lower_bound(dp+1,dp+1+n,h[i])dp[]中第一个>=h[i]的下标 upper_bound(dp+1,dp+1+n,h[i])dp[]中第一个>h[i]的下标 lower_bound(dp+1,dp+1+n,h[i],greater< int >())dp[]中第一个<=h[i]的下标 greater< int >() == cmp(int x,int y){return x>y} upper_bound(dp+1,dp+1+n,h[i],greater< int >())dp[]中第一个<h[i]的下标

greater< int >()表示内置类型从大到小排序，比如说原序列是1，2，4，7，15，34，在greater< int >()的表示下， 1>2>4>7>15>34,lower_bound(num,num+6,7,greater< int >()) 返回greater< int >序列下第一个大于或等于被查数7的值，即4；也就是返回的是原序列的中第一个小于或等于被查数7的值

下面介绍二分+动态规划来解决最长不上升子序列问题：

我们在O(n^2)的做法是将导弹i(1-n)之前的导弹j(1-i)都枚举一遍，然后更新dp[i]的值，但实际上根本没有必要将导弹j全部枚举一遍。我们定义一个dp[]数组，dp[]数组储存的是答案所求的最长的不上升子序列。那么我们对于导弹i，如果它要加入到dp[]中，那么就要找到dp[]数组中第一个小于h[i]的导弹，然后把它替换成h[i].（dp[]初始化为0），当已加入的导弹均高于当前导弹，就直接加入该导弹（无需替换）。

思考这样做的正确性：因为将dp[j]替换成了h[i]，此时dp[]依旧是非递增序列，并且保证dp[]相较于之前是更加优化的（因为它整体要更大了）。

如何查找这个最先小于h[i]的dp[j]呢？显然dp[]是非递增序列，所以可以考虑用二分查找。对于很多单调性问题，首先考虑单调栈、单调队列、二分。尤其是这种带查找的最优化问题很有可能用二分。二分查找到最先小于的h[i]的进行替换。并且如果h[i]是直接假如dp[]，记得更新dp[]数组的大小。最后的dp[]数组的大小就是答案。

PS：那如果问题是问，最少需要几枚导弹呢？这就是最长上升序列问题了。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1000+50;
int n,h[maxn],dp[maxn];
int max(int x,int y){
	if(x>=y)return x;
	return y;
}
int cmp(int x,int y){
	return x>y;
}
int main(){
	int i;
	while(1){
		cin>>n;
		if(n==0)break;
		for(i=1;i<=n;i++)cin>>h[i],dp[i]=0;
		int ans=0;
		for(i=1;i<=n;i++){
			int t=upper_bound(dp+1,dp+1+n,h[i],cmp)-dp;
			dp[t]=h[i];
			ans=max(ans,t);
		}
		cout<<ans<<endl;		
	}
	return 0;
}

NOJ-1046-防卫导弹

防卫导弹

描述

思路：

代码：