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微积分是牛顿和莱布尼茨的最伟大的发现之一。他们的独立工作导致了微积分基本定理的证明和对其重要性的认识，该定理将积分与导数联系起来。随着积分的发现，此后可以研究面积和体积。
微积分是我们将要探索的微积分之旅的后半部分。
在本教程中，你将发现微分和积分之间的关系。
完成本教程后，你将知道。
- 微积分和积分的概念是由微积分基本定理联系在一起的。
- 通过应用微积分基本定理，我们可以通过计算积分来寻找曲线下的面积。
- 在机器学习中，微积分的应用可以为我们提供一个评估分类器性能的指标。
让我们开始吧。
微分和积分微积分--相对于任何事物的微分
照片由Maxime Lebrun拍摄，保留部分权利。
教程概述
本教程分为三个部分；它们是：。
- 微分和积分 - 什么是联系？
- 微积分的基本定理
- 扫除面积的比喻
- 微积分的基本定理--第一部分
- 微积分的基本定理--第二部分
- 积分实例
- 积分在机器学习中的应用
微积分和积分--有什么联系？
在我们迄今为止的微积分旅程中，我们已经了解到微积分是关于变化率的测量的。我们还发现了微分，并从第一原理上将其应用于不同的函数。我们甚至已经明白了如何应用规则来更快地达到导数的目的。
但我们的旅程只走了一半。
从二十一世纪的角度来看，微积分通常被视为变化的数学。它用两个大概念来量化变化：导数和积分。衍生品模拟变化率......积分模拟变化的积累......。
- 第141页，无限大，2020年。
记得曾说过，微积分包括两个阶段：切割和重建。
切割阶段将一个弯曲的形状分解成无限小的直线部分，可以分别进行研究，比如应用导数来模拟它们的变化率，或_斜率_。
微积分历程的这一半被称为_微分_，我们已经对其进行了一些详细的研究。
重建阶段收集了无限小的和直的碎片，并将它们重新加起来，试图研究原来的整体。通过这种方式，我们可以在将规则和不规则图形切成无限薄的片状后，确定其面积或体积。微积分之旅的后半部分是我们接下来要探索的。它被称为_积分_微积分。
将这两个概念联系在一起的重要定理被称为_微积分的基本定理_。
微积分的基本定理
为了理解微积分的基本定理，让我们再来看看汽车的位置和速度的例子。
汽车的位置与时间的关系线图
汽车的速度与时间的关系线图
在计算导数的过程中，我们已经解决了_前向_问题，即从位置图的斜率中找到了任意时间_t_的速度。但如果我们想解决_后向_问题，即我们得到了速度图_v__(t_)，并希望找到行驶的距离呢？这个问题的解决方法是计算到时间_t_为止的_曲线下的面积_（阴影区域）。
阴影区域是曲线下的面积
我们没有一个具体的公式来直接定义阴影区域的面积。但我们可以运用微积分的数学原理，将曲线下的阴影区域切割成许多无限细的矩形，对此我们有一个公式。
将阴影区域切割成许多宽度为Δt的矩形
如果我们考虑第i个矩形，任意选择跨越时间间隔Δ_t_，我们可以将其面积定义为其长度乘以宽度。
矩形的面积 =v_(t_)i) Δ_t__i_
我们可以有尽可能多的矩形，以跨越感兴趣的区间，在这种情况下，它是曲线下的阴影区域。为了简单起见，我们用_[a_,b]来表示这个封闭区间。找到这个阴影区域的面积（以及，因此，旅行的距离），然后就可以找到_n_个矩形的总和。
total_area =v_(t0) Δt0 + v(t1) Δt1+ ... + v(_tn) Δtn
我们可以通过应用带有西格玛符号的黎曼和来更紧凑地表达这个和。
如果我们用有限数量的矩形来切割（或划分）曲线下的区域，那么我们会发现黎曼和给了我们一个面积的_近似值_，因为这些矩形不会完全适合曲线下的区域。如果我们必须将矩形定位到它们的左上角或右上角接触到曲线，那么黎曼和就会分别给我们一个低估或高估的真实面积。如果每个矩形的中点都必须接触曲线，那么矩形在曲线上方突出的部分就可以_大致_弥补曲线和相邻矩形之间的差距。
用左边的和来逼近曲线下的面积
用右边的和来逼近曲线下的面积
用中点求和的方式逼近曲线下的面积
找到_准确的_曲线下面积的方法是减少矩形的宽度，使其变得_无限_薄（回顾微积分中的无穷大原理）。这样一来，这些矩形就覆盖了整个区域，将它们的面积相加，我们就可以找到_定积分_了。
定积分（"简单 "定义）。在t=a和t=b之间的曲线下的确切面积由定积分给出，它被定义为黎曼和的极限......
- 第227页，《傻瓜微积分》，2016年。
那么，定积分可以由黎曼和来定义，因为矩形的数量_n_接近无穷大。让我们也用_A__(t_)来表示曲线下的面积。然后。
请注意，现在的符号变成了积分符号，∫，取代了σ，Σ。这一变化背后的原因仅仅是为了表明我们在大量的薄片矩形上求和。左手边的表达式读作，v_(t_)从_a_到_b的_积分，寻找积分的过程被称为_积分_。
扫除面积的比喻
也许有一个更简单的比喻可以帮助我们把积分和微分联系起来，那就是想象一下，拿着一个薄薄的切片，以无限小的步骤在曲线下向右拖动。当它向右移动时，薄片会在曲线下掠过一个更大的区域，而它的高度会根据曲线的形状而改变。我们想回答的问题是，当薄片向右扫过时，面积会以何种_速度_累积？
让_dt_表示扫过的薄片所经过的每一个无限小的步骤，v_(t_)表示它在任何时候的高度，t。
dA_(t_) =v_(t_)dt
将方程除以_dt_，就得到了_A__(t_)的导数，并告诉我们，面积积累的速度等于时间_t_时曲线的高度_v__(t_)。
dA_(t_) /dt=v_(t_)
我们终于可以定义微积分的基本定理了。
微积分的基本定理--第一部分
我们发现，在一个函数_v__(t_)下扫过的面积_A__(_t)可以通过以下方式定义。
我们还发现，该区域被扫过的速度等于原始函数_v__(t_)。
dA_(t_) /dt=v_(t_)
这给我们带来了微积分基本定理的第一部分，它告诉我们，如果_v__(t_)在一个区间_[a_,b]上是 ，并且如果它也是_A__(t_)的导数，那么_A__(t_)就是_v__(t_)的_反导_数。
A'__(t) =v_(t_)
或者用更简单的话说，积分是微分的反向操作。因此，如果我们首先对_v__(t_)进行积分，然后对结果进行微分，我们将得到原始函数_v__(t_)。
微积分的基本定理--第二部分
该定理的第二部分为我们提供了一个计算积分的捷径，而不必走计算黎曼和的极限的漫长道路。
它指出，如果函数_v__(t_)在一个区间_[a_,b]上是连续的，那么。
这里，F_(t_)是_v__(t_)的任何反导数，而积分被定义为在_a_和_b_处评估的反导数的减法。
因此，定理的第二部分是通过从某个起点_C_和下限_a_之间的曲线下面积减去同一起点_C_和上限_b_之间的面积来计算积分的。
由于常数_C_定义了_X_轴上开始扫描的点，所以要考虑的最简单的反导数是_C_=0的反导数，不过也可以使用任何_C_值的反导数，这只是把起点设置在_X_轴上的不同位置。
积分实例
考虑函数，v_(t_) =x3。通过应用幂律，我们可以很容易地找到其导数，v'__(t)=3x2。3x2的反导数又是x3--我们进行相反的操作来得到原来的函数。
现在假设我们有一个不同的函数，g_(t_) =x3+ 2。它的导数也是3x2，另一个函数_h__(t_)=x3-5的导数也是3x2。这两个函数（以及其他类似的）的反导数都_是_x3。因此，我们通过_不定积分_来指定3x2的所有反导数家族。
不定积分并没有定义计算曲线下面积的极限。常数_C_的出现是为了弥补我们对极限或扫描起点信息的缺乏。
如果我们对极限有了解，那么我们可以简单地应用微积分第二基本定理来计算_定_积分。
我们可以简单地将_C_设为零，因为在这种情况下，它不会改变结果。
积分在机器学习中的应用
我们把汽车的速度曲线_v__(t_)作为一个熟悉的例子来理解积分和微分之间的关系。
但你可以用这种加法--矩形区域的方案来加任何东西的微小部分--比如说距离、体积或能量。换句话说，曲线下的面积不一定要代表实际面积。
- 第214页，Calculus for Dummies，2016。
成功应用机器学习技术的重要步骤之一包括选择适当的性能指标。例如，在深度学习中，通常的做法是测量_精度_和_召回_率。
精确率是指模型报告的检测结果中正确的部分，而召回率是指检测到的真实事件的部分。
- 第423页，深度学习，2017。
通常的做法是，将精度和召回率绘制在精度-召回（PR）曲线上，将召回率放在_X_轴上，将精度放在_Y_轴上。一个分类器最好同时具有高召回率和高精确度的特点，这意味着该分类器可以正确地检测出许多真实的事件。这样一个好的分类性能的特点是PR曲线下的面积较高。
你可能已经知道这是怎么回事了。
事实上，PR曲线下的面积可以通过应用积分计算来计算，从而使我们能够描述分类器的性能。
进一步阅读
如果你想深入了解，本节提供了更多关于该主题的资源。
书籍
- 单变量和多变量微积分》，2020年。
- 傻瓜微积分》, 2016.
- 无限的力量, 2020.
- The Hitchhiker's Guide to Calculus, 2019.
- 深度学习》, 2017.
摘要
在本教程中，你发现了微分与积分的关系。
具体来说，你学到了。
- 微分和积分的概念是由微积分基本定理联系在一起的。
- 通过应用微积分基本定理，我们可以通过计算积分来寻找曲线下的面积。
- 在机器学习中，微积分的应用可以为我们提供一个评估分类器性能的指标。
你有什么问题吗？
在下面的评论中提出你的问题，我将尽我所能回答。
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The postDifferential and Integral Calculus - Differentiate with Respect to Anythingappeared first onMachine Learning Mastery.
