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时间复杂度

对于时间复杂度大家并不陌生，我们看看多项式是什么。 多项式（polynomial）的一般表达为：$a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_kx^k$，例如常见的2次多项式：$5x^2+3x+8$。

求解输入规模为n的问题，在最坏的情况下的求解时间为$O(n^k)$，其中k为某个常数，则该算法为多项式时间的算法。

多项式时间是当今计算科学里，问题“可解”与“不可解”的分水岭。实际上，当指数系数 $k$ 很大时，求最优解也会很困难，但无论如何理论上是可行的。

比多项式时间更可怕的是指数时间，$O(k^n)$，这相当于调换了一下，但是难度陡然上升。就算k是最小的2，也就是$O(2^n)$，那也不得了。随着输入规模n的缓慢增加，例如1到100，其计算量指数增加，将会导致指数爆炸。

当然，指数时间还不是最可怕的。如果问题复杂可能会出现阶乘时间：$O(n!)$，这是目前计算机的算力无法承受的计算量。给大家列个表：

时间复杂度	级别
$O(1)$	常数级
$O(n)$	线性级
$O(n^2)$	平方级
$O(a^n)$	指数级
$O(n!)$	阶乘级

P问题

P问题（这里的P代表Polynomial）：指一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法。即问题可以在多项式时间内求解。P类问题就是所有复杂度为多项式时间的问题的集合。

确定一个问题是否是多项式问题，在计算机科学中非常重要。已经证明，多项式问题是可解问题，因为除了P问题之外的问题，其时间复杂度都很高，即求解需要大量时间。

理论上有解但其时间复杂度巨大的问题，科学家将其称为难解型问题。对计算机来说，这类问题是不可解的。因此，P问题成了区别问题是否可以被计算机求解的一个重要标志。

NP问题

NP代指Nondeterministic Polynomially（非确定性多项式）。NP问题指：一个问题不能确定是否在多项式时间内可以求解，但是可以在多项式时间内验证答案是否正确。

注意：NP问题是不知道该问题是否存在一个多项式时间的算法。是不知道，而非不存在。也就是说NP问题，可能存在多项式时间的求解方法，只是目前还没找到（也可能不存在，但目前也无法证明它不存在）。

NPC问题

NPC（NP Complete，NP完全）问题是一类特殊的NP问题。先说下约化的概念：

问题A可以约化为问题B的含义是：可以用问题B的解法解决问题A，或者说，问题A可以“转变成”问题B。

NPC问题的定义非常简单。第一，它是一个NP问题；第二，所有的NP问题都可以约化到它。同时满足这两个条件的问题就是NPC问题。

NPC问题有一个令人惊讶的性质，即如果一个NPC问题存在多项式时间算法，那么所有NP问题都可以在多项式时间内求解，即P=NP成立。这是因为每一个NPC问题都可以在多项式时间内转化成任何一个NP问题。只要任意一个NPC问题找到了一个多项式算法，那么所有NP问题都能用这个算法解决，也就解决了NP=P问题。

NP难问题

NP Hard问题定义也很简单：满足NPC问题定义的第二条但不一定满足第一条。即所有的NP问题都能在多项式时间约化到它，但是它不一定是一个NP问题。范围如下：

NPC 和 NP-hard 的主要区别在于：验证一个问题A是否为NP-hard问题，无需判断A是否属于NP问题。

也就是说NP-hard问题可能是这样一个问题：该问题不确定是否存在多项式时间的求解算法，也不确定是否能在多项式时间内验证它的一个解。换句话说，你出了一个问题A，让我设计一个多项式时间的求解算法。我设计不出来。然后你扔给我一个答案，说这是这个问题的解。我也无法在多项式时间内验证这个答案究竟是不是它的解。

上图其实不是很准确，NP hard应该是包含了NP。