机器学习实战之主成分分析（PCA）

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如果人类适应了三维，去掉一个维度，进入了二维世界，那么人类就会因为缺少了原来所适应的一个维度，而无法生存。 ——《三体》

在许多科幻电影中，有许多降维的例子。在《十万个冷笑话2》（可能只有萌新看过）中，大boss将主角降维到二维，就成了纸片人，进而失去了战斗能力；降维到一维，就变成了线条，这就是降维打击。

说直白点，降维就是将维度降低。在机器学习中，降维常常用来做数据的预处理。为什么要对数据进行降维了？那来从数据本身说起。

大数据时代，数据冗余，维度高。例如个人用户信息，存储了身份证，同时也存储了生日，就造成了冗余。
数据维度有相关性。例如，人脸头像具有对称性，去掉一般的像素点也是没有太大问题的。
数据有噪声。噪声对学习会产生干扰，去掉噪声可以提高算法的精度。

那如何进行降维了？难道要随机去掉一些维度吗？答案是否定的。直接去掉维度会导致数据信息的大量确实。主成分分析（PCA）技术可以尽量保证数据信息少量减小的情况下，进行维度的缩减。

PCA原理

首先看下图，这是一个二维数据，有三个类别（不同颜色表示）。我们希望将其降到一维，那是按u1方向投影还是按u2方向呢。明显可以看出，u1比u2好。

推导

为什么说u1比u2好呢？我们可以基于两点进行解释。

样本点到这个直线的距离足够近。
样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。

基于这两个原则，进行公式推导（这里进行省略），可以得到下面公式。XX^T为样本的协方差矩阵。

流程

根据公式可以得到PCA的流程：

去除平均值
计算协方差矩阵
计算协方差矩阵的特征值和特征向量
特征值从大到小排序
保留最上面的N个特征向量
将数据转换到N个特征向量构建的新空间

PCA代码

数据情况

首先编写代码读入数据，可以看出其为二维数据。

from numpy import *

def loadDataSet(filename):
    dataMat = []
    fr = open(filename)
    for line in fr.readlines():
        curLine = line.strip().split('\t')
        fltLine = list(map(float,curLine))
        dataMat.append(fltLine)
    return mat(dataMat)

算法代码

通过上述的算法流程，对代码进行编写，最后可视化降维后的结果。

def pca(dataMat, topNfeat=9999999):
    meanVals = mean(dataMat, axis=0)
    meanRemoved = dataMat - meanVals
    covMat = cov(meanRemoved, rowvar=0)
    eigVals,eigVects = linalg.eig(mat(covMat))
    eigValInd = argsort(eigVals)
    eigValInd = eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]
    redEigVects = eigVects[:,eigValInd]
    lowDataMat = meanRemoved * redEigVects
    reconMat = (lowDataMat * redEigVects.T) + meanVals
    return lowDataMat, reconMat

算法优缺点

优点：降低数据复杂度
缺点：有可能损失有用信息