LeetCode 动态规划之三角形最小路径和

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题目

三角形最小路径和

给定一个三角形 triangle ,找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说,如果正位于当前行的下标 i ,那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

 

示例 1:

输入:triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出:11
解释:如下面简图所示:
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11(即,2 + 3 + 5 + 1 = 11)。

示例 2:

输入:triangle = [[-10]]
输出:-10

提示:

1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-104 <= triangle[i][j] <= 10^4

题解

解题分析

解题思路

  1. 在本题中,给定的三角形的行数为 n,并且第 i 行(从 00 开始编号)包含了 i+1 个数。如果将每一行的左端对齐,那么会形成一个等腰直角三角形,如下所示:
[2] 
[3,4] 
[6,5,7] 
[4,1,8,3]
  1. 我们使用 f[i][j] 表示从三角形顶部走到位置 (i, j) 的最小路径和。这里的位置 (i,j)指的是三角形中 i 行和 j 列(均从 0 开始) 的位置。由于每一行只能移动到下一行的【相邻的节点】上,因此想要走到位置 (i, j), 上一步只能在位置 (i-1, j-1) 或者位置 (i -1, j) . 我们在这两个位置中选择一个路径最小的来进行转移。

  2. 状态转换方程:

f[i][j] = min(f[i-1][j-1], f[i-1][j]) + c[u]

其中 c[i][j] 表示位置 (i, j)对应元素值。

注意:第 i 行上有 i + 1 个元素,他们对应 j 的范围为 [0, i]。 当 j = 0 或者 j = i 时,上述状态转移方程中有些项是没有意义的。例如当 j = 0 时, f[i-1][j-1] 没有意义,因此状态转移方程为:

f[i][0] = f[i-1][0] + c[i][0]
  1. 即当我们在第 i 行的最左侧时,我们只能从第 i-1 行的最左侧移动过来。当 j=i 时,f[i-1] 没有意义,因此状态转移方程为:
f[i][i] = f[i-1][i-1] + c[i][i]

即当我们在第 i 行的最右侧时,我们只能从第 i-1 行的最右侧移动过来。

最终的答案即为 f[n-1][0]f[n-1][n-1] 中的最小值,其中 n 是三角形的行数。

  1. 注意:状态转移方程的边界条件是什么?由于我们已经去除了所有「没有意义」的状态,因此边界条件可以定为:
f[0][0]=c[0][0]

即在三角形的顶部时,最小路径和就等于对应位置的元素值。这样一来,我们从 1 开始递增地枚举 i,并在 [0, i] 的范围内递增地枚举 j,就可以完成所有状态的计算。

复杂度
时间复杂度: O(N^2)
空间复杂度: O(N^2)

解题代码

题解代码如下(代码中有详细的注释说明, 注意本次选用 C 语言答题):

int minimumTotal(int** triangle, int triangleSize, int* triangleColSize){
    int f[2][triangleSize];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    // 初始化值
    f[0][0] = triangle[0][0];

    for (int i=1; i < triangleSize; i++) {
        int curr = i %2;
        int prev = 1 - curr;
        f[curr][0] = f[prev][0] + triangle[i][0];
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            f[curr][j] = fmin(f[prev][j-1], f[prev][j]) + triangle[i][j];
        }
        f[curr][i] = f[prev][i-1] +  triangle[i][i];
    }
    
    int ret = f[(triangleSize  -1) %2] [0];

    for (int i =1; i< triangleSize; i++) {
            ret = fmin(ret, f[(triangleSize - 1) %2][i]);
    }
    return ret;
}

提交后反馈结果:

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