通用算法 - [数组算法] -数组的前缀和

1、前缀和介绍

对于一个数组$A$，我们新建一个长度相等的数组$B$，新数组中的每一项$B[i]$表示的是数组$A$的前$i$项和，即 前缀和：$B$中的每一项$B[i]$保存$A[0,1,...,i]$的和;

类似的概念还有： 后缀和：$B$中的每一项$B[i]$保存$A[i,i+1,...,n-1]$的和； 前缀积： $B$中的每一项$B[i]$保存$A[0,1,...,i]$的积; 后缀积： $B$中的每一项$B[i]$保存$A[i,i+1,...n-1]$的积；

2、前缀和性质

(1)$B[i] =A[i] + (i > 1 ? B[i-1] : 0 )$; (2)$A[i]+A[i+1]+...+A[j] = B[j] - B[i]$;

3、前缀和应用

(1) 数组分成差值最小的两部分 寻找一个位置$p$，把数组$nums$从位置$p$分开，使得$nums[0]+nums[1]+...+nums[p]$与$nums[p+1] + nums[p+2]+...+nums[n-1]$之差的绝对值最小。 分析：这道题相当于求位置$p$，使得位置$p$的前缀和与整个数组和-位置$p$的前缀和的差的绝对值最小，即: $minabs\{ sum[p] - (sum[n] - sum[p] \} = minabs \{ 2*sum[p] - sum[n] \}$

（2）和为0的子数组 在数组nums中找到所有和为0的子数组，返回这些子数组的起始和终止下标。 分析：若$nums[i] + nums[i+1] + ... + nums[j]=0$，则有$nums[0] + nums[1] + ... + nums[j] = nums[0] + nums[1] +... +nums[i-1]$，即$nums[i-1]=nums[j]$，根据这一性质，我们可以知道和为$0$的子数组包含两种情况： a、位置$i$的前缀和为$0$，子数组的起始位置和终止位置分别为$0$和$i$； b、位置$i$的前缀和和位置$j$的前缀和相等，子数组的起始位置和终止位置分别为$i+1$和$j$。

（3）最接近0的子数组和 找到和最接近0的子数组。 分析：对前缀和数组进行排序，然后看相邻排序后数组的相邻两个值$sum[i]$和$sum[j]$是否接近，若接近，则子数组$nums[i+1,...,j]$的和接近0.