基本算法

在1中我们提到了一个物化视图更新的基本框架，就是根据change propogation function来推导出视图 $V$ 的更新。2中给出了在这个框架下更新aggregation的算法：

并且推导出了一个满足strong minimality的更新算法：

Untitled 1.png

这里有我们假设一定包含有count这个聚合函数，如果没有则添加一个。其中使用到的一些符号如下：

$- \atop \ltimes$ : semi join

$GB(A)$ : group by的attributes

Aggregation Change Table的优化

上面提到的方法虽然比较通用，但是在某些条件下还是会产生不必要的查询或者状态的维护。3中提出了一个基于change table的优化方法。我们先以如下的例子来举例：

CREATE VIEW SISales AS
SELECT storeID, itemID, sum(price) AS SumSISales, count(∗) AS NumSISales FROM sales
WHERE date > 1/1/95
GROUP BY storeID, itemID;

CREATE MATERIALIZED VIEW CitySales AS
SELECT city, sum(SumSISales) AS SumCiSales, sum(NumSISales) AS NumCiSales FROM SISales, stores
WHERE SISales.storeID = stores.storeID
GROUP BY city;

CREATE MATERIALIZED VIEW CategorySales AS
SELECT category, sum(SumSISales) AS SumCaSales, sum(NumSISales) AS NumCaSales FROM SISales, items
WHERE SISales.itemID = items.itemID
GROUP BY category;

上面的图示view的关系可以用下图来表示：

Untitled 2.png

如上面的SQL所示，当sales这个表有数据插入时，如果我们按照2中提到的方法，变更只能是Insert/Deletion的话，那么更新过程如下所示：

Untitled 3.png

可以看出，为了产生SIsales的更新，我们需要重新查下sales表，或者维护一个SIsales的物化视图。这2种都会产生一定的代价，要么增加维护时的查询成本，要么会增加存储成本。

3中提到了一种Change Table的方法，即我们的变更不仅包含Insert和Delete，还可以增加一种Change Table，这样能在某些情况下减少查询。如上面的例子如果使用Change Table则可以减少掉中间aggregation的查询操作。

Untitled 4.png

一些定义

Aggregation Change Table并不是在所有情况下都能产生的，而是需要通过一个aggregation才能产生出来。我们假设 $V$ 是一个定义在某个 $SPJ$ 上的aggregation，这个aggregation用 $\pi_{G,B=f(A)}(R)$ 来表示，其中 $R$ 表示 $SPJ$ 的view。当 $R$ 产生Insert/Deletion的时候， $V$ 所产生的Aggregation Change Table如下：

\Box V = \pi_{G, f(A), Count = sum(\_count)}(\Pi_{G, A, \_count=1}(\triangle R) \uplus (\Pi_{G, N(A), \_count=-1}(\triangledown R))

其中 $N$ 根据aggregation算法的不同定义如下：

Untitled 5.png

而 $V$ 的更新算法如下：

New(V) = V \sqcup_{\theta}^{U} \Box V

其中我们把 $\sqcup_{\theta}^{U}$ 称为refresh operator 。其中 $\theta$ 是两个join条件 $\mathcal{J_1}, \mathcal{J_2}$ ， $U$ 是一系列的update函数 $U=<(A_{i_1}, f_1), (A_{i_2}, f_2), \ldots, (A_{i_k}, f_k)>$ ，其中每个 $f_i$ 是 $V$ 和 $\Box V$ 中对应属性的函数。refresh算子算法如下：

当 $\Box V$ 中某个tuple与 $V$ 中因为 $\mathcal{J_1}$ 匹配上时，我们按照 $U$ 来更新
当 $\Box V$ 中某个tuple与 $V$ 中因为 $\mathcal{J_2}$ 匹配上时，删除此tuple
否则新增此tuple

并且我们定义 $\equiv_{G} = \bigwedge_{g\in G}(LHS.g = RHS.g)$ ， $Attr$ 定义某个表达式的属性集，比如 $Attr(G)$ 表示 $G$ 中的所有属性。

我们以上一段中的CategorySales表为例，来展示一下上述一些定义：

Untitled 6.png

Aggregate-refresh operator是refresh operator的一种特例，是如果一个refresh operator $\sqcup_{\theta}^{U}$ 满足如下条件则可以成为aggregate-refresh operator:

$\mathcal{J_1}, \mathcal{J_2}$ 可以分别表示为：
1. $\mathcal{J_1}:(\equiv_G \wedge p_1)$
2. $\mathcal{J_2}: \equiv_G \wedge \neg p_1$
$G \bigcap Attrs(U) = \empty$

Change Propogation

有了上面的定义之后，我们可以根据2中的框架得到下图中的change propogation公式。

Untitled 7.png

3中对上述公式给予了证明：当第3列是aggregation refresh operator的时候，上述公式成立且第四列也是aggregation refresh operator。

上表中我们看到并不是所有的关系代数运算符都被包含了进去，所以当不支持的关系代数运算符存在时，我们退回到2中提到的原始框架即可。

参考文献

物化视图更新算法(一)：基础框架
Quass, Dallan. "Maintenance expressions for views with aggregation." (1996).
Gupta, Himanshu, and Inderpal Singh Mumick. "Incremental maintenance of aggregate and outerjoin expressions." Information Systems 31.6 (2006): 435-464.

物化视图更新算法（三）：Aggregation的优化

基本算法

Aggregation Change Table的优化

一些定义

Change Propogation

参考文献