通过学习，假定对线性变换有一个形象的理解，并且知道如何用矩阵表示它们。
现在想象一些线性变换，我们注意到有的将空闲向外拉伸，有的则将空间向内挤压。有件事对于理解这些线性变换很有用，那就是测量变换对究竟对空间有多少拉伸或者挤压。更具体：就是测量一个给定区域面积增大或减小的比例。
比如说下图一个以[(3,0), (0,1)]为列的矩阵：
它将i帽伸长为原来的3倍，将j帽伸长为原来的两倍，现在我们关注以i帽为底边以j帽为左边的11的方形，在变换后，它会成为一个23的矩形，因为这个区域初始面积为1，最终面积为6，所以我们说这个线性变换将它的面积变为六倍。
剪切矩阵的列为[(1,0), (1,1)]：
也就是说i帽保持不变，而j^移动至（1,1）由i帽和j帽决定的的单位正方形在变换倾斜后成为一个平行四边形，但这个平行四边形的面积仍旧为1，因为它的底和高的长度还是1，所以说即便这个变换将空间向右挤压，至少对于这个单位正方形来说，它似乎并不改变面积。
实际上你只要知道这个正方形面积变化的比例，它就能告诉你其它任意区域面积变化的比例。
首先要注意一点，无论一个方格如何变幻，其它大小的方格来说都会有相同变化，这是由网格线保持平行且等距分布这一事实推断出来的。
对于不是方格的形状，它们可以使用许多方格良好近似，只要方格足够小，近似就能足够好。
由于所有小方格都进行了一个比例的缩放，所以整个形状也进行了同样比例的缩放，这个特殊的缩放比例即线性变换改变面积的比例,被称为是这个变换的行列式。
比如说一个线性变换的行列式是3，就是说它将一个区域面积增加为原来的三倍。一个线性变换的行列式是二分之一就是说它将原来的区域面积缩小为原来的一半。而一个二维线性变换行列式为0，说明它将整个平面压缩到一条直线上甚至是一个点上，因为此时任何一个区域的面积都变成了0。最后这个例子相当重要，这是说只需要检查一个矩阵的行列式是否为0，我们就能了解这个矩阵所代表的变换是否将空间压缩到更小的维度上。
完整概念下的行列式是允许出现负数的。那将一个区域缩放到负数倍是什么意思？这和定向的概念有关。
举个例子：
将一个矩阵反转，如果将二维空间想象成一张纸，这个变换就像是将纸反转到了另一面，我们称类似这样的变换改变了空间的定向。
另一种方式是根据i^和j^来考虑：
初始状态时j^在i^的左边，如果变换之后j^处在i^右边那么空间定向就发生了改变，当空间定向发生改变的情况发生时，行列式为负。
但是行列式的绝对值依然表示区域面积的缩放比例，比如说由[(1,1),(2,-1)]为列的矩阵所代表的线性变换的行列式为-3，也就是说变换后空间被反转，并将面积放大为原来的三倍。
那么负的缩放比例为什么会自然地用来描述定向改变呢？
考虑i帽逐渐靠近j帽所形成的一系列变换当i帽靠近j帽时空间也被压缩的更严重了，这意味着行列式趋近于0，当i帽和j帽完全重合是行列式为0如果i帽继续沿着这个方向运动，行列式继续减小为赋值难道不是一件很自然的事情吗？
以上就是二维空间对行列式的理解。
那么行列式在三维空间中是什么意义？它告诉你的依然是变换前后的缩放比例，不过这次它说得是体积的缩放。
二维空间中我们最容易考虑面积为1的特殊正方形，并观察变换对它的影响。
在三维空间中你聚焦于一个特定111立方体。
它的棱处于基向量i帽，j帽和k帽上，
在变换后这个立方体可能变成了一个斜不拉几的形状（平行六面体），因为这个立方体的初始体积为1，而行列式给出的是体积缩放比例，所以可以把行列式简单看做这个平行六面体的体积，行列式为0意味着整个空间被压缩为0体积的东西，也就是一个平面或一条直线，或者更加极端的情况下一个点。这是在说矩阵的列线性相关。
那么对于负值行列式它在三维下是什么意思？
有一种方法来描述三维空间的定向，那就是《右手定则》，右手食指指向i帽的方向，伸出中指指向j帽的方向，当你把大拇指竖起来就正好是k帽的方向，如果在变换后你仍可以这么做，那么定向没有发生改变行列式为正。否则如果在变换后你只能用左手这么做，说明定向发生了改变，行列式为负。
到底怎么计算行列式？
二维行列式：
以下是对这个公式来源的直观理解：
假如b和c恰好为0，那么a告诉你i帽在x轴方向的伸缩比例，d高告诉你j帽在y轴方向的伸缩比例，因为其它项均为0，所以ad给出的是单位正方形伸缩后形成的矩形的面积。即便b和c其中只有一项为0，那么最后得到的是一个平行四边形，低为a且高为d面积仍旧为a*d，如果b和c均不为0，那么bc想就会告诉你平行四边形在对角方向上拉伸或者压缩了多少，
对于迫切想知道bc项精确含义的人下方简图可以帮忙：
下图是三阶行列式：
